Tính chất của môđun con s cốt yếu và môđun e cs

Hạng tử trực tiếp của môđun M luôn đóng trong M.. Cho P là hạng tử trực tiếp của môđun M, N là hạng tử trực tiếp của M, nếu P là môđun con của N thì P là hạng tử trực tiếp của N... Do đ

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O

Đ I H C ĐÀ N NG

ĐINH THANH HUY N

LU N V N TH C S KHOA H C

Đà N ng – N m 2015

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O

Đ I H C ĐÀ N NG

ĐINH THANH HUY N

L IăCAMăĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực, có nguồn gốc rõ ràng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình khoa học

nào

Tác giả luận văn

ĐinhăThanhăHuy n

M CăL C

M ăĐ U 1

1.Tính c p thi t c a đề tài 1

2 M c tiêu nghiên c u c a đề tài 2

3 Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u 2

4 Phương pháp nghiên c u 2

5 B c c đề tài 2

CH NGă1: KI NăTH CăC ăB N 3

1.1 Đ NH NGHƾA VĨ Vệ D .3

1.2 M T S TệNH CH T 9

CH NGă2: MỌĐUNăCS 15

2.1 KHÁI NI M VĨ M T S Vệ D 15

2.2 M T S TệNH CH T 17

2.3 MÔĐUN CS V I ACC TRÊN CÁC H NG T TR C TI P 27

CH NGă3: MỌĐUNăE-CS 32

3.1 MÔĐUN CON S-C T Y U VĨ E-Đ I C T Y U 32

3.2 MÔĐUN E-CS 38

K TăLU NăVĨăKI NăNGH 47

DANHăM CăTĨIăLI UăTHAMăKH O 49

DANHăM CăCÁCăKụăHI U

NM : N là môđun con c a môđun M

N M e : N là môđun con c t y u c a môđun M

N M : N là môđun con đ i c t y u c a môđun M

M ăĐ U

1 Tínhăc păthi tăc aăđ ătƠi

Lý thuy t vành và môđun đóng m t vai trò quan trọng trong đ i s k t

h p V i s tổng quát hóa không gian vectơ ta có đư c các môđun và các

ph m trù đặc trưng vành R L p môđun n i x là m t trong nh ng công c để nghiên c u lý thuy t vành và môđun trên vành không giao hoán Trong

nh ng thập niên 60, 70 khái ni m môđun n i x đã khẳng đ nh đư c s quan trọng trong lý thuy t môđun và s tổng quát c a nó trong đ i s hi n đ i ng

d ng môđun n i x , người ta nghiên c u ra nhiều khái ni m m i chẳng h n như: Môđun liên t c, môđun n a liên t c,…Các môđun này đều có m t tính

ch t chung đó là tính ch t mở r ng c a các môđun con, mọi môđun con là c t

y u trong m t h ng t tr c ti p D a vào tính ch t chung đó, vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis đưa ra khái ni m môđun CS (hay môđun mở r ng) Khi môđun CS ra đời thì lý thuy t môđun đã phát triển m nh m và có nhiều

ng d ng quan trọng trong vi c nghiên c u lý thuy t vành…

Gần đây, vi c nghiên c u môđun CS phát triển m nh nhờ s nghiên

c u về tính ch t mở r ng c a các môđun con thương cyclic Trong nh ng k t

qu đã đ t đư c có Đ nh lý Osofsky-Smith là m t đ nh lý r t quan trọng Nhờ

có đ nh lý này mà m t s v n đề trư c đây b bác b đã đư c gi i quy t bằng phương pháp khác

Trong đề tài này chúng tôi xét m t trường h p tổng quát c a môđun CS

đó là môđun e-CS thông qua khái ni m môđun con s-c t y u và nghiên c u

về nh ng tính ch t c a nó Đây là m t v n đề hoàn toàn m i và có nhiều tính

ch t cần đư c nghiên c u Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài « Tính chất của

môđun con s-cốt yếu và môđun e-CS »

2 ăăM cătiêuănghiênăc uăc aăđ ătƠi

T các khái ni m cơ b n, chúng tôi xây d ng nên khái ni m môđun con s-c t y u, môđun e-CS và nghiên c u về các tính ch t c a nó

3 Đ iăt ngăvƠăph măviănghiênăc u

Nghiên c u các khái ni m và tính ch t c a lý thuy t môđun

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên c u t các tài li u, các giáo trình về lý thuy t môđun và tài

li u liên quan đ n môđun CS

4 Ph ngăphápănghiênăc u

Trong luận văn, các phương pháp s d ng nằm trong các lƿnh v c sau đây: Lý thuy t môđun, lý thuy t vành

5 B ăc căđ ătƠi

Luận văn đư c chia làm ba chương cùng v i phần mở đầu, k t luận và

ki n ngh , danh m c các ký hi u và tài li u tham kh o

Chương 1: Trình bày các đ nh nghƿa, ví d và các tính ch t cơ b n có liên quan đ n luận văn

Chương 2: Trình bày đ nh nghƿa và m t s tính ch t c a môđun CS Chương 3: Trình bày đ nh nghƿa, m t sô tính ch t c a môđun con s-c t

y u, e-đ i c t y u và môđun e-CS

Luận văn bắt đầu t tháng 7 năm 2013, đư c th c hi n và hoàn thành

t i Khoa sau đ i học Trường Đ i học Sư ph m Đà Nẵng dư i s hư ng dẫn

c a TS.Trương Công Quỳnh

CH NGă1

KI NăTH CăC ăB N

Trong toàn b luận văn, vành đư c xét là vành k t h p có đơn v ký

hi u 1 và các môđun là các môđun ph i unita trên m t vành R nào đó

1.1 Đ NHăNGHƾAăVĨăVệăD

Đ nhănghƿa 1.1.1 Cho môđun M và NM Môđun con N đư c gọi là

c t y u trong M, ký hi u N M, n u b t kì môđun con K c a M v i Ne K0 suy ra K0

N u N là môđun con c t y u c a M, thì ta nói rằng M là mở r ng c t y u

c a N

Víăd 1.1.2 Môđun M M; ne  , e  n 0

Đ nhănghƿa 1.1.3 Cho môđun M và NM Môđun con N đư c gọi là

đ i c t y u trong M, ký hi u N M, n u b t kì môđun con K c a M v i N+ KM suy ra KM

Đ nhănghƿaă1.1.4.ăMôđun U đư c gọi là đều n u b t kỳ môđun con A và

B khác 0 c a U thì AB0, hay mọi môđun con khác không c a U là

môđun c t y u trong U

Đ nhănghƿaă1.1.5 Cho R-môđun M

M đư c gọi là có chiều Goldie (hay chiều đều) h u h n n u M không

ch a tổng tr c ti p vô h n các môđun con khác không Ngư c l i ta nói M có chiều Goldie vô h n

S h ng t khác không l n nh t c a tổng tr c ti p các môđun con M

đư c gọi là s chiều Goldie (hay chiều uniform) c a M và đư c kí hi u là Gdim(M) (hay U dim(M))

Víă d 1.1.6 -môđun là đều vì b t kỳ 0A, B thì A=n , B= m , v i m n ,  *

Víăd 1.1.8 Cho A và B là hai môđun con c a M th a mãn M=AB thì môđun B là đóng trong M

Đ nhănghƿa 1.1.9 Cho môđun M và NM Môđun con K c a M đư c gọi là bao đóng c a môđun con N trong M n u K là m t môđun con t i đ i trong M sao cho N K e

Víăd 1.1.10 Xét - môđun, 2 có bao đóng là

Đ nhănghƿa 1.1.11 Cho M Rvà NM N đư c gọi là h ng t tr c ti p

c a môđun M n u tồn t i môđun con P c a M sao cho M N P  Ta nói P

là môđun con ph c a N trong M

Đ nhănghƿa 1.1.12 Cho các môđun M và N, HM Môđun H đư c gọi

là m t phần bù c a N trong M n u H là môđun con t i đ i trong M th a mãn

HN= 0

Đ nhănghƿa 1.1.13

(1) M t môđun M khác không đư c gọi là môđun đơn trong trường h p

nó không có nh ng môđun con không tầm thường

(2) Cho họ (Mi)i I là m t tập h p nh ng môđun con đơn c a M N u

M là tổng tr c ti p c a tập h p này, thì M=iI Milà m t s phân tích n a đơn

c a M M t môđun M đư c gọi là môđun n a đơn trong trường h p nó có

m t s phân tích n a đơn

Đ nhănghƿa 1.1.14

(1) M t môđun M đư c gọi là không thể phân tích đư c trong trường

h p nó khác không và không có nh ng h ng t tr c ti p không tầm thường (2) M t h ng t tr c ti p K c a môđun M đư c gọi là m t h ng t tr c

ti p t i đ i c a M n u và ch n u K có m t bù h ng t tr c ti p không phân tích đư c N trong M

(3) M t s phân tích M=iIMic a m t môđun M như m t tổng tr c ti p

c a nh ng môđun con khác không (Mi)iI đư c gọi là bù h ng t tr c ti p (bù h ng t tr c ti p t i đ i) trong trường h p cho mọi h ng t tr c ti p K

(1) Môđun I đư c gọi là J-n i x n u v i m i đơn c u

ii) -môđun không ph i là -n i x

Đ nhănghƿa 1.1.17 Cho hai môđun P và J

(1) Môđun P đư c gọi là J-x nh n u v i m i toàn c u

g: J K và v i m i đồng c u h: P K thì có m t đồng c u h *

: P J sao cho g.h*= h

(2) Môđun P đư c gọi là t a x nh n u P là P-x nh.

Đ nhănghƿa 1.1.18 Cho họ các môđun A ii / I. Khi đó tích Đềcác

Đ nhănghƿa 1.1.19 Môđun A đư c gọi là tổng tr c ti p trong c a m t

họ các môđun con A ii / I n u các điều ki n sau đư c th a mãn:

Đ nhănghƿaă1.1.22 (1) Tập  các môđun con nào đó c a M đư c gọi là

th a mãn điều ki n dãy tăng (ascending chain condition, thường đư c vi t tắt

là ACC) trong trường h p v i mọi dãy

L1   L2 Ln

trong , tồn t i n ∈ để cho Ln1 L in( 1,2,3, )

(2) Tập  các môđun con nào đó c a M đư c gọi là th a mãn điều

ki n dãy gi m (descending chain condition, thường đư c vi t tắt là DCC) trong trường h p v i mọi dãy

H ăqu 1.2.1 N là môđun con đóng trong A và A là môđun con đóng

trong M thì N là môđun con đóng trong M

Chứng minh: Do N là môđun con đóng trong A nên v i mọi môđun con H  0

c a A mà N H thì H = N e

L y H=A ta có : N A thì N=A e

Mặt khác: Do A là môđun con đóng trong M n u v i mọi môđun con

K0 c a M mà A K thì A=K e

Vậy v i mọi môđun con K0 c a M mà N A, Ae  K, t c là Ne  K ethì N= A= K suy ra N là môđun con đóng trong M

M nhăđ 1.2.2 Hạng tử trực tiếp của môđun M luôn đóng trong M

Chứng minh: Gi s A là h ng t tr c ti p c a môđun M suy ra tồn t i

là A là môđun con t i đ i th a mãn A B 0 (1)

L y A'M sao cho A c t y u trong 'A

Do A c t y u trong 'A nên suy ra A' B 0 (2)

T (1) và (2) suy ra 'A = A Vậy A đóng trong M

H ăqu 1.2.3 Cho P là hạng tử trực tiếp của môđun M, N là hạng tử

trực tiếp của M, nếu P là môđun con của N thì P là hạng tử trực tiếp của N Chứng minh: Theo gi thi t suy ra tồn t i P và Q là môđun con c a

môđun M sao cho:

(1) L là môđun con đóng trong M

(2) LK là môđun con cốt yếu của M

Vì KL = 0 nên ta suy ra điều vô lý

Do đó N=L hay L là môđun con đóng trong M

(2) Ta ch ng minh LK M e

L y xA và x0 suy ra tồn t i n để xKn, mà H Ke n suy ra

RxH0 suy ra H A suy ra Ae S

Vậy m i tập sắp th t tuy n tính đều có cận trên Theo Bổ đề Zorn suy

ra S có phần t t i đ i là K

Ta ch ng minh K là bao đóng c a H Do KS suy ra H K, n u tồn t i e

BM sao cho K B suy ra He  B suy ra Be S điều này mâu thuẫn v i gi thi t tính t i đ i c a K suy ra B=K

Tínhăch t 1.2.6 N là một môđun con của môđun M tồn tại môđun con

H đóng trong M sao cho N là môđun con cốt yếu trong H

Chứng minh: Theo Bổ đề Zorn, tồn t i môđun con H c a môđun M là

môđun l n nh t trong tập các môđun con V c a M v i H là c t y u trong V

Rõ ràng H là đóng

CH NGă2 MỌĐUNăCS

Trong chương này chúng tôi nghiên c u m t s tính ch t c a môđun CS Đồng thời, nghiên c u m t s áp d ng c a chúng trong lý thuy t vành và môđun

Bổă đ ă 2.1.1.ă Cho M là R- môđun phải Khi đó, các điều kiện sau là

tương đương:

(1) Mỗi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M

(2) Với mọi môđun con A M, tồn tại hạng tử trực tiếp C của M sao

cho A  C e

Chứng minh:

(1)  (2)

Gọi C là bao đóng c a A trong M Theo đ nh nghƿa bao đóng suy ra C

là môđun con đóng trong M Theo (1) ta có C là h ng t tr c ti p c a M Mà

C l i là bao đóng c a A trong M nên A  C Vậy suy ra điều ph i ch ng eminh

c a Bổ đề 2.1.1 thì M đư c gọi là môđun CS

Đ nhănghƿaă2.1.3 M t môđun M đư c gọi là xoắn n u v i mọi phần t

a thu c M, thì tồn t i m t s nguyên dương n khác không sao cho na=0

Víăd ă2.1.4

1) Môđun n a đơn là môđun CS

2) Môđun đều là môđun CS

3) Môđun n i x là môđun CS

4) Môđun t n i x là môđun CS

5) M i Z-môđun xoắn t do h u h n sinh là môđun CS

Chứng minh 5:

L y A là Z-môđun t do xoắn h u h n sinh, B là môđun con c a A và C

là môđun con c a A và B sao cho C/B là môđun con xoắn c a A/B Suy ra A/C

là môđun t do xoắn h u h n sinh Do C là môđun t do và C là h ng t tr c

ti p c a A, C/B là xoắn, A là môđun t do xoắn nên B c t y u trong C Vậy A

là môđun CS

M nhăđ ă2.2.1 Mỗi môđun con đóng của một môđun CS là môđun CS

Chứng minh: Gọi M là m t môđun CS và N là môđun con đóng c a M

L y C là môđun con đóng b t kì trong N Ta cần ch ng minh C là h ng

t tr c ti p c a N

Do N môđun con đóng trong M và M là môđun CS nên N là h ng t

tr c ti p c a M Suy ra tồn t i Q  M, sao cho Q + N = M, Q N = 0

Mặt khác, C là môđun con đóng trong N, N là môđun con đóng trong

M nên C là môđun con đóng trong M Vì M là CS nên suy ra C là h ng t tr c

ti p c a M Suy ra tồn t i P  M, P + C = M, P C = 0

Theo Luật Modular ta có: N   và (C (P N) P   N) C 0

Suy ra C là h ng t tr c ti p c a N Vậy N là CS

H ăqu 2.2.2 Mỗi hạng tử trực tiếp của môđun CS là CS

Chứng minh: Do h ng t tr c ti p c a m t môđun là môđun con đóng

Mặt khác, theo M nh đề 2.2.1, m i môđun con đóng c a môđun CS là môđun

y u trong H Suy ra H đóng trong M Rõ ràng HM1  theo gi thi t H là 0,

h ng t tr c ti p c a M, t c là tồn t i 'H Msao cho M  H H'. Theo Luật Modular ta có:L  H (L H'). Suy ra L đóng trong L, mà L Hđóng trong M nên L H đóng trong M 

NM LH   nên N M L(H'N) , suy ra L là h ng M

t tr c ti p c a M Vậy M là CS

Nh năxét 2.2.4

a) Một môđun tự do F là CS nếu và chỉ nếu F có cơ sở hữu hạn

Chứng minh: Gi s F là môđun t do, F có cơ sở vô h n Khi đó tồn

t i môđun con G c a F sao cho F G Q Ta có F G là môđun không xoắn

t do, G đóng trong F Tuy nhiên, G không ph i là m t h ng t tr c ti p Thật vậy, gi s G là m t h ng t tr c ti p thì:

( )

F G F G G Q

Do đó F không ph i là CS Điều này mâu thuẫn Vậy F có cơ sở h u

h n

b) Gọi p là một số nguyên tố thì -môđun 2

( / p)( / p ) là

CS Tuy nhiên, -môđun 3

( / p)( / p )không phải là CS vì môđun con

Bổăđ 2.2.6 Cho A và B là các môđun với vành các tự đồng cấu là địa

phương và M A B   là CS Lấy C là một môđun con của A và f: C B là

một đồng cấu Khi đó các khẳng định sau là đúng

(i) Nếu f không thể mở rộng tới một đẳng cấu từ A B thì f là

một đơn cấu và B nhúng trong A

(ii) Nếu mỗi đơn cấu từ B  là một đẳng cấu thì B là A-nội xạ A

Chứng minh:

(i) Theo gi thi t f không thể mở r ng t i A Đặt:

 ( ) / 

U  x f x x C   A B

Do U C là m t môđun con c a môđun M và U  Khi đó tồn B 0

t i h ng t tr c ti p *U c a môđun M sao cho U U*.

Theo Đ nh lý Krull-Schmidth-Azumaya

Ta có:M U* hay A M U* B

Gi s rằng M U* B

Gọi  :U*  là toàn c u chính tắc D th y rằng AB B  là m t

mở r ng c a :f C (mâu thuẫn) Vì vậy chúng ta có B M U* nghƿa A

là f x( ) v i 0 x nào đó, f là đơn c u Do vậy *0 U   suy ra B B 0

L y :i M M ii( 1,2) là phép chi u chính tắc Gọi N là môđun con

c a M sao cho NM1 Ta có biểu đồ gồm các đồng c u sau: 0

Gi s v i mọi môđun con N c a M th a mãn NM10 thì tồn t i

g LM là đồng c u

Đặt H   g x( )x xL thì H là m t môđun con c a M và

1 0

HM 

Khi đó tồn t i môđun con 'H c a M sao cho M M1 và H' H H'.

Gọi  : MM1 là phép chi u chính tắc v i Ker là H thì '

trường hợp tổng quát: Tổng trực tiếp của hai môđun CS không phải là môđun

Bổăđ ă2.2.10 Gọi M là một môđun sao cho mọi môđun con đều là

cốt yếu trong mọi hạng tử của M và KMlà môđun con đóng với chiều

Goldie hữu hạn thì K là hạng tử trực tiếp của M

Chứng minh: L y U là môđun con đóng c a K Khi đó M   U U'

v i 'U M Do K U  (K U') nên K là môđun con đóng trong M U'

Rõ ràng K có chiều Goldie nh hơn K Suy ra U' K là h ng t tr c ti p U'

c a M và cũng là c a 'U Vậy K là h ng t tr c ti p c a M

H ăqu 2.2.11 Môđun M có chiều Goldie hữu hạn là CS nếu và chỉ nếu

một môđun con đều của M là cốt yếu trong mọi hạng tử của M

M nhăđ 2.2.12 Gọi 1

n

M M  M là tổng trực tiếp hữu hạn của

các môđun nội xạ tương hỗ Mi Khi đó M là môđun CS nếu và chỉ nếu tất cả

Đ nhănghƿa 2.2.14

a) Môđun con suy bi n c a R-môđun ph i M là:

Z M  {m M mE /  v i iđean ph i c t y u 0 E nào đó c a R} b) Môđun con suy bi n th hai Z2 M c a M là môđun con c a M

ch a Z M  sao cho Z2   M Z M là môđun con suy bi n c a môđun thương M Z M 

Môđun M đư c gọi là suy bi n n u M Z M( ) và không suy bi n