ham so sieu hay

*Chúng cắt nhau tại k điểm nếu phơng trình hoành độ giao điểm: fx=gx.. bCắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng.. bTại điểm có hoành độ x=2 cTại điểm uốn, tại giao điểm với trục tun

1 ;

B

B B

→∞ − + = ⇒ tiÖm cËn xiªn : y=ax+b

- TÝnh låi lâm ; ®iÓm uèn

-Giao ®iÓm víi trôc tung x=0; y=

-Giao ®iÓm víi trôc hoµnh y=0 ; x=

-§å thÞ qua Ẳ) ; B(?)

-VÏ ®å thÞ :

_NhËn xÐt t©m ; trôc ®èi xøng

2 BiÕn ®æi ®å thÞ: Cho ( C ) : y = f(x) ; suy ra ®å thÞ c¸c hµm sè:

ạ (C1): y = - f(x); (C1) ®èi xøng víi (C) qua Ox

b ( C2): y = f( -x); ( C2) ®èi xøng víi (C) qua Oy

c (C3): y = f(x) +a ; ( C3 ) tÞnh tiÕn (C) theo trôc Oy ®Õn ®¬n vÞ chiÒu ©m

d ( C4): y =f( x+a); (C4) tÞnh tiÕn (C) theo trôc Ox ®Õn ®¬n vÞ chiÒu ©m

e (C5): y = f(x) giữ nguyên phần của (C) với x≥0 và phần đối xứng với phần này qua Oy

g (C6) : y = | f(x) | giữ nguyên phần f(x) ≥ 0 của (C) và lấy đối xứng phần f(x) < 0 của (C) qua Ox

h (C7): Đối xứng với (C) qua x =a; (C7) có pt: y = - f(x) +2a

i (C8): Đối xứng với (C) qua y = b; (C8) có pt: y = f(2b-x)

k (C9) có pt: | y| = f(x) :bỏ phần đồ thị phía dới 0x, giữ nguyên phần f(x) > 0 của ( C) và phần lấy

đối xứng phần trên qua Ox

2 Ví dụ:

2.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :

2

5 3 2

y’ - 0 + 0 - 0 +Hàm số đồng biến trong (− 3;0)∪( 3;+∞)

Nghịch biến trong (−∞;− 3)∪(0; 3)

Hàm số đạt cực tiểu tại x=± 3 và yct = y(± 3)=−2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và ycđ = y(0) = 5/2

+ y’’ = 6x2 – 6

y’’ = 0 ↔x= ± 1

; ) 1 (

2 1

Dấu của y’

x − ∞ -1- 2 -1 -1+ 2 +∞

y + 0 - - 0 +

Hàm số đồng biến (− ∞,-1- 2) và ( -1+ 2, +∞)

Hàm số nghịch biến trong(-1- 2, -1) và (-1 , -1+ 2)

Hàm số đạt cực đại tại x = -1- 2 ; ycđ = y(-1- 2) = 1-2 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1+ 2 ; yct = y( -1+ 2 ) = 1+2 2

2 (

+

= +

các bài toán liên quan đến đồ thị

1 Sự tơng giao của 2 đồ thị:y=f(x) và y=g(x).

*Chúng cắt nhau tại k điểm nếu phơng trình hoành độ giao điểm: f(x)=g(x) có k nghiệm phân biệt

*Tiếp xúc nhau nếu hệ : ( ) ( )

a)CMR đồ thị luôn cắt y=x3+2x2+7 tại 2 điểm phân biệt với mọi m.

b)Tìm m để đồ thị cắt y=1 tại 3 điểm C(0;1) và D ,E mà tiếp tuyến tại D, E vuông góc

Ví dụ3 : Tìm m để ĐT : y =x4 – 2(m+1)x2 + 2m+1 (1) cắt Ox tại 4 điểm cách đều nhau ( Hoành

độ là cấp số cộng )

Giải: t = x2 →t ≥ 0

(1) trở thành: y = t2 – 2( m+1) t + 2m+1 (2)

Nhận xét : Với 1 giá trị của t: t > 0 cho ta 2 giá trị x = ± t

Với t = 0 cho ta giá trị x = 0

Vậy ycbt →(2) có 2 nghiệm phân biệt dơng

2

2 1

2

1

; ,

t

t t

t

t

là cấp số cộngvì t2 − t1 = t1 − ( − t1) = − t1 − ( − t2) ↔ t2 = 3 t1 ↔t2 = 9t1

9

4

; 1

; 9 1

4

; 9

; 1

0 1 2 9

0 ) 1 2 ( 10 9

9

0 1 2

.

0 ) 1 ( 2

2 1

2 1

2 1 1

1 2

t t

m t

t

m t

m t

t t

3

3

0 3 )(

(

3 3

9 ) (

3 9

) (

3

9 ) (

3 )

(

9 ) (

3 )

(

3 2

2 3 1 3

1

3 3 2

2 3 1 2

1

2

1

3 2 3 2

2 3

2 2 2

1 2 1

2 3

2 2

3

2

2 1 2 1

2 2

2 1 2

−

↔

− +

=

− +

↔

− +

− + +

=

− +

− +

+

↔

− +

− + +

−

=

− +

− + +

−

↔

x x

x x x

x

x

x x x x x x

x

x

x x x x x x x

x x x x

x

x x x x x x

x

x

x x x x x x

x

x

x3 = 1 suy ra điểm uốn thuộc Ox→ 0 = 1 − 3 − 9 +m↔m= 11

+ ĐK đủ : m = 11→ y=x3 − 3x2 − 9x+ 11

) / ( 12 1

Kết luận : m =11

* Bài tập:

1) Tìm m để đt : y = x4 + 2x2 + m cắt Ox theo 4 điểm cách đều nhau

2) Tìm a,b để đt : y = x3 – 3x2 - 9x + 1 cắt đt : y = ax + b tại 3 điểm cách đều nhau

( HD: Đa về đt: y = x3 – 3x2 – (9+a) x – b +1 cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau

a)Tìm m để y=-x+m cắt đồ thị tai 2 điểm A , B với A , B đối xứng qua y=x+3

b) Tìm m để y=-x+m cắt đồ thị tai 2 điểm A , B với A , B thuộc 2 nhánh

a) Cắt 0x tại 3 điểm phân biệt

b)Cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng

c)Tiếp xúc Ox

Vd7) Tìm m để y=2x3-3(m+3)x2+18mx-8

a)Tiếp xúc Ox

b)Trên đồ thị có cặp điểm đối xứng qua O

c) Cmr trên đồ thị có 2 điểm mà y=x2 không thể đi qua mọi m

vd8) y=x3-(m-1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1) tiếp xúc y=-49x+98

vd9)Tìm m để y=1 tiếp xúc với : (m 1) (x2 2x) m 4

Vd11) Tìm m để y= x2 x m

x m

− + + + cắt y=x-1 tại 2 điểm phân biệt A; B Tìm hệ thức liên hệ của : yA

− Tìm trên đồ thị các điểm cách đều 2 trục tọa độ.Tìm m để trên đồ thị

có 2 điểm M(x1;y1) và N(x2;y2) mà x1+y1=x2+y2=m, cmr khi đố M,N thuộc cùng 1 nhánh

Vd 13)Tìm m để 2

1

mx x m y

x

+ +

=

− cắt 0x tại 2 điểm A, Ba) mà AB=4

<-> [a−(2m+ 1) ]2 = 4[m2 −(b+ 1) ] , ∀m

<-> 4(1-a)m +[ (a2 − 2a+ 1)+(b+ 1) ]= 0 , ∀m

<-> 1 – a = 0 <-> a = 1

(a - 1)2+ (b + 1) = 0 b = -15)Cmr các đồ thị của họ sau tiép xúc nhau:

a) y=x3+mx2-(2m+1)x+m-1 b) y=mx3+2(3m+1)x2+(12m-1)x+8m+5

6)Cmr y=x3-2x2+mx+(1-m2)/4 tiếp xúc đờng cong cố định

7)Cmr y=x3+4x2+mx+m2/2 tiếp xúc h/s cố định.(Đạo hàm F’(m)=0,m=g(x) thay)

2 Biện luận số nghiệm của phơng trình:

* C¸ch lµm: BiÖn luËn sè nghiÖm cña pt: f(x) = g(m)

2

5 3 2

2 4

+ m< - 2 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

2) BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh :

) 1 ( 1

4 3 1

+ +

k k x

+

+ +

= +

+ +

1

4 3 2

xem (C) : y =

1

4 3 2

+

+ +

x

x x

Nhng m =

1

4 3 2

+

+ +

1

2 2

; 2 1 ( ) 2 1

; (

)

; 2 1 ( ) 2 1

; 1 (

k k

2 1 2

2

1

2 1 2

=

+

k m

k m

→ +

1) Biện luận số nghiệm của pt: x3 + 3x2 +4 = 2k2 -1

2) Biện luận số nghiệm của pt: 1

1

1 2

+

= +

−

−

m x

x x

HD: vẽ đồ thị :

1

1 :

x x y

3) Biện luận số nghiệm pt: e2t + ( 3-m).et + 2 ( 3-m) =0 theo m

HD: vẽ (C) :

2

6 3 2

+

+ +

=

x

x x

y đặt x = et > 0

4) Biện luận số nghiệm : k

x

x x

= +

+ +

) 1 ( 3

4 3

− Tìm m để pt: sin 6 x+ cos 6 x m= sin 2x có nghiệm

6) Từ đồ thị y=2x3-9x2+12x-4 biện luận số nghiệm pt:

3 Biện luận theo tham số để phơng trình có n nghiệm ( n cho trớc )

* Cách làm : Dung BBT hoặc ĐT để suy ra kết quả.

Pt↔a=x3 −3x2

2 log

3 π π đặt t = cos2x

3) Tìm m để ( cos3x – cos 2x + m cosx -1) = 0 có đúng 7 nghiệm trong −2π ;2π( đặt t = cosx )

4)Điều kiện tồn tại cực trị và đờng thẳng cực tri hàm đa thức:

y=y’(mx+n)+ax+b thì đờng thẳng qua các điểm cđ-ct là y=ax+b.

Ví dụ 1: y=x3-3mx2+9x+3m-5 ; y=x3-6x2+3(m+2)x-m-6

k)Tìm m để có CĐ-CT vuông góc với y=3x-7

m)Tìm m để có CĐ-CT đối xứng qua y=x-2

n) Tìm m để có CĐ-CT ở về 2 phía đ/t y=-x+1

Chú ý: Đồ thị hàm y = ax3 + bx2 + cx + d ( a # 0 )

+ Cắt trục hoành tại 3 điểm : ↔ Có 2 cực trị

ycđ yct < 0

+ Cắt trục hoành tại 2 điểm ↔ có 2 cực trị và 1 cực trị bằng 0

+ Cắt trục hoành tại 1 điểm ↔ Không có cực trị

Có 2 cực trị cùng dấu+ Cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn α

2 1 3

0 ) 1 (

)

0

(

0 ) 1 2 )(

3 )(

1 (

0 2

3

2

0 9 ) 9 9 ( 9

'

0 ) 1 ( 9

2

2 2

m m m

m y

y

m

S

m m

m y

1 3 (

1 2

1

0 ) 1 4 2

1

3

2

0 2

1 ( 8 )

− +

=

∆

m

m m

f

m

s

m m

f

m m m

m m

Ví dụ 9) Cho y=x3-3mx+m

a Chứng tỏ (∆) và (C) cùng đi qua điểm cố định

b Tìm k để (∆) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

5)Tìm m để y=mx4+(m2-9)x2+10 có 3 cực trị

6)Tìm m để y=x4+2(m+1)x2+1 có CĐ-CT , viết pt đờng cong qua các điểm cực trị.7) Cho :y=x4-2(m+1)x2+2m+1 , tìm m để:

a)Có CĐ-CT lập thành một tam giác đều

b) Có CĐ-CT lập thành một tam giác vuông cân

c) Có CĐ-CT lập thành một tam giác có diện tích bằng 8

d)Có CT mà không có CĐ

e)Có CĐ-CT mà O(0;0) là trọng tâm tam giác tạo bởi 3 cực trị

8) Cho y= 2x3 +(2m− 3)x2 −(3m+ 2)x+ 3 Cmr đồ thị cắt 0x tại 3 điểm với mọi m

Tìm m để h/s nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng m

y= x − m− x + m− x+ có CĐ-CT mà x1+2x2=110)Viết phơng trình parabol qua 3 điểm cực trị của: y=x4-6x2+4x+6

2 3

đờng thẳng cực trị là : ''( )( )

u x y

v x

=Vd1) Tìm m để các hàm số sau có cđ-ct:

Dạng1) Tiếp tuyến tại 1 điểm M(x0 ;y0) trên đồ thị dùng: y-y0= y’x0 (x-x0)

Dạng 2:Tiếp tuyến đi qua A(x1;y1) cho trớc với đồ thị (C)

Tiếp tuyến có dạng : y-y1=k(x-x1)

+Cách 1: →x0 là nghiệm của phơng trình y1 = ý( )x0 (x1−x0) +y x( )0 Giải tìm x0 và quay vềdạng 1.

+Cách 2;

Sử dụng hệ pt : f(x) = k(x-x1)+y1 có nghiệm

f’(x) = k

từ đó tìm k suy ra phơng trình của tiếp tuyến

Dạng 3:Tiếp tuyến biết hệ số góc k.

b)Tại điểm có hoành độ x=2

c)Tại điểm uốn, tại giao điểm với trục tung, trục hoành

d) Đi qua A(23/9, -2)

e)Song song y=9x+3

f)Vuông góc y=1/3x+2

h) Tại giao điểm với trục tung

g) Qua A(-1;-2)

m)Tìm trên đ/t y=-2 các điểm kẻ đợc 2 tiếp tuyến với đồ thị vuông góc nhau

n) Tìm trên 0x các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến với đồ thị

Giảid) Phơng trình tiếp tuyến tại (x0, y0) ∈(C) có dạng:

y = (3x0 – 6x0)(x – x0) + (x0 – 3x0 + 2) Tiếp tuyến đi qua A( , 2 )

9

23 − nên

0 0 0

x x

25 9 2

x y

x y y

Gi¶i: x0 lµ nghiÖm pt: 5 = f’(x)(-2-x) + f(x) ↔(x - 1)(2x2 – x - 37) = 0

Ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt → cã 3 tiÕp tuyÕn

x

+ +

= qua A(2;1)Gi¶i: pttt qua A(2;1) cã d¹ng: y=k(x-2)+1 , ta cã hÖ:

( )( )

íï

ï - = ïïïî

=

−

Vd8)Khảo sát : y=x3-2x2+x

a) Viết pttt song song y=x

b) Biện luân số nghiệm và dấu các nghiệm pt:

a) Với m=1 viết pttt qua A(2;-1) và tính góc tạo bởi 2 ttuyến

b) Tìm m để qua A(2;-1) kẻ đợc 2 ttuyến vuông góc

(Chú ý cách viết pttt qua điểm của hàm phân thức làm theo ví dụ 3)

*Bài tập :

1) Tìm tiếp tuyến qua A(0; -1) của y = 2x3 + 3(m-1)x2 + 6(m-2)x – 1

Cmr tiép tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.

2) Tìm A ∈Ox có thể kẻ 3 tiếp tuyến tới y = x3 – 3x + 2

3) Tìm điểm trên y = 2 có thể kẻ 3 tiếp tuyến với y = -x3+ 3x2 -2

4) Cho (C): y = x4 – ax3 – (2a+1)x2 + ax +1

a Khảo sát và vẽ đồ thị với a =0

b Tìm A∈ Oy có thể kẻ 3 tiếp tuyến với (C) (a=0)

5) Cho y = x3+3x2+mx + 1 (Cm)

a Tìm m để (Cm) cắt y = 1 tại 3 điểm phân biệt

b Giả sử trong 3 điểm có 2 gđ D, E có hoành độ khác 0 Tìm m để tiếp tuyến tại D, E với (Cm)vuông góc với nhau

x x

−

+

−

−

a Biện luận số tiếp tuyến của (C) đi qua 1 điểm trên y = 7

8) Cho y = x3+ 3x2 + 3x + 5 (C) và k ∈R Tìm số tiếp tuyến của (C) vuông góc với y = kx

10) Chứng tỏ qua mỗi điểm của (C):

chỉ có 1 tiếp tuyến của (C)

11) Chứng tỏ qua mỗi điểm của đờng cong bậc 3 khác điểm uốn có 2 tiếp tuyến của đồ thị ( 1 tại

b)cmr tiếp tuyến tại 1 điểm bất kỳ cắt 2 tiêm cận tại tại A và B thì I là trung điểm

2x 2m k

−

= +Tìm m để đồ thị cắt 0x tại 2 điểm mà tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc

14)Tìm m để tiếp tuyên tại điểm M có hoành độ x=-1 của h/s: 1 3 2 1

= +a) vuông góc với đ/t : x-3y-6=0

b)vuông góc với tiệm cận xiên ,cmr tiếp điểm là trung điểm đ/t bị chắn bởi 2 tiệm cận

16) Viết pttt với y=x4+x2-2 song song với 6x+y-1=0

17)tìm những điểm có hoành độ x>1 trên 2

1

x y x

-đ/t : y=ax+b : 0 0

2 1

ax y b d

+

= + có tổng k/c đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.

x

=

− và tìm α để k/c đólớn nhất

4) Cho h/s : 1

1

x y x

−

= + cmr y=x+2 và y=-x là 2 trục đối xứng của đồ thị và tìm điểm M trên đồthị có tổng k/c đến 2 trục tọa độ nhỏ nhất

5) Tìm điểm M trên đồ thị: 2 3

2

x y x

−

=

− có tổng k/c đến 2 trục tọa độ nhỏ nhất.

6)Tìm điểm M trên : y=x2-1 để OM ngắn nhất , cmr khi đó OM vuông góc với tiếp tuyến tại M

7)Tìm m để tiệm cận xiên của 2 1

1

x mx y

Tìm m để đồ thị cắt 0x tại 2 điểm A, B mà AB=4

9)Cmr y=1/3x3-mx2-x+m+1 có CĐ-CT mọi m,tìm m để k/c CĐ-CT bé nhất và tìm m để có CTtại x=1

10) Tìm m để y=mx+1/x có CT cách tiệm cận xiên 1 khoảng: 1

Đờng thẳng x=x0 là trục đối xứng nếu phép đổi trục: X x x0

4)Tìm m để :y=x4+4mx3-2x2-12mx và y=x4+4x3+mx2 có trục đối xứng //oy

5)Tìm m để trên đồ thị các h/s sau có cặp điểm đối xứng qua 0

=

− qua:I(2;3) ; đ/t : x=-1 ; đ/t :y=2

− tìm trên đ/thị 2 điểm đối xứng qua y=x ; y=-x

I là giao 2 tiệm cận , một tiếp tuyến tại điểm M bất kì cắt 2 tiệm cận tại A và B.CMR:

a) Mlà trung điểm AB

b)Diện tích tam giác AIB khômg đổi.Suy ra IA.IB không đổi

c)Diện tích hình bình hành tạo bởi 2 tiệm cận và 2 đ/t qua M song song 2 tiệm cận không

đổi

d)Hai điểm thuộc 2 nhánh có k/c ngắn nhất nằm trên đờng phân giác góc tạo bởi 2 tiệmcận

e)Tích k/c từ M đến 2 tiệm cận không đổi

9)Cmr y=x+2 và y=-x là 2 trục đối xứng của 1

1

x y x

−

= +

+ cắt đ/t y=-x-4 tại 2 điểm đối xứng qua y=x.

11)Tìm m để y=x3-3mx2+4m3 có CĐ-CT đối xứng qua y=x

9)Điểm cố định và điểm không bao giờ qua của họ đồ thị:

Để tìm điểm cố định của họ đồ thị y=f(m,x) ta giả sử điểm cố định là M(x0;y0), khi đó đẳng thứcy0=f(m,x0) thõa mãn với mọi m, đa về đa thức ẩn m:

Amk+Bmk-1+ +Em+F=0 thõa mãn mọi m khi:A=B= =E=F từ đó tìm đợc x0,y0

Điểm không bao giờ qua thì y0=f(m,x0) không thõa mãn với mọi m,Khi A=B= =E=0 , F#0.( hoặc V < 0)

Ví dụ: Tìm điểm cố định của các họ:

− tìm trên mf tọa độ các điểm mà đthị không bao giờ qua.

11) Tìm trên đ/t x=1 các điểm có ít nhất một đồ thị của y=x3+m2x-2m+1 đi qua

12)Cmr trên y=x2 có 2 điểm mà đồ thị của y=2x3-3(m+3)x2+18mx-8 không qua với mọi m.13)Tìm trên đ/t x=3 các điểm mà y=x3-2mx2+(2m2-1)x+m2-5m+2 không bao giờ qua

Tìm quĩ tích của một điểm M , thì tìm tọa độ điểm M

+Nếu cả 2 tọa độ đều chứa m thì khử m từ 2 tọa độ sẽ có phơng trình quĩ tích điểm M.+Nếu 1 trong 2 tọa độ không chứa m thì tìm điều kiện có nghiệm m cho phơng trình tọa