ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Dạng 1.. Tìm các giới hạn sau:... Giới hạn một phía 11... Xét tính liên tục của các hàm số sau.
Trang 1VẤN ĐỀ 4 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Dạng 1 Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
• Ta có định nghĩa giới hạn hữu hạn:
( )
( )
xlim f ( x )x x ,x x ,lim x x lim f ( x )
( )
xlim f ( x )x x ,x x ,lim x x lim f ( x )
1 a) Cho hàm số
2
( )
2
x
y f x
x
−
− và một dãy bất kỳ ( ) xn ≠ 2 sao cho nlim x n 2.
→+∞ = Tìm ( )
lim n
n f x
→+∞ từ đó suy ra lim2 ( )
x f x
→
b) Cho hàm số
2
( )
1
x x
y f x
x
+ và một dãy bất kỳ ( ) xn ≠ − 1 sao cho nlim x n 1.
Tìm lim ( )n
n f x
→+∞ từ đó suy ra lim1 ( )
x f x
→−
2 Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau:
a)
1 x
4 x x lim 2
1
−
−
−
1
1 5
x
lim
x
xlim cxx
3 Sử dụng nguyên lý kẹp của giới hạn dãy số và định nghĩa giới hạn hàm số, hãy tìm
a) lim0 sin1
x
→
1
x xc
x
→
4 Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn
a) lim os0 1
x
→
1 lim sin
Dạng 2 Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
• Ta thừa nhận định lý: Cho ( ) ( )
xlim f xx a, lim g xx x b
( ) ( ) 0
0
→ − = −
( ) ( ) 0
x lim f x g x x ab
0
0
x x
→
5 Tìm các giới hạn sau:
Trang 2a) lim | x 8 |
2
3
x x lim 34
1
−
x
3
1
x → − −
d)
1 x
1 x x
4
2
− +
2 3
) 1 x ( x 2 lim
−
+
3 x x 2
x x 1 lim 2
3 2
−
−
−
→
2
lim
x
x
→−
+
6 Tìm các giới hạn sau
a)
x 0
1 lim x(1 )
x
2 9
x 9x x
3 x lim
−
−
→
c)
2 x
2 2 x lim 3 2
2
+
−
→
d)
9 x x
2
x 27 x
4
3
−
8 x 6 x
16 x lim 2
4
2
−
−
1 x x 2
1 x
2
1
−
→
h)
3 x 4 x
2 x x
lim 4
3
1
+
−
1 x x
1 x 2 x lim 5 3
1
−
−
−
16 x x
2 x x 2 lim 3
2 2
−
−
→
ĐS: c)
2
2 3
7 Tìm các giới hạn sau:
a)
2
3 5 lim
2
− +
−
x
1 + −
−
x
x
x
1 1
lim
0
−
−
→
d)
3 7
2 lim
−
−
x
x 3 x 6
1 x lim
2 1
+
−
2 3 1
1
lim
x x
x x
x x
→
<
− + −
−
h)
3 x 2
3 7 x
lim
1
x − +
− +
3 x x
4 x 7 x lim 3 2
1
− + +
→
8 Tính các giới hạn sau
a)
3 3
x 1 x 1
lim
−
− +
−
− +
2 3 x
1 x lim
2 3 1
+
−
1 x
2 x x
lim
3 1
−
−
→
3 x 3 7 x
lim
−
− +
−
− +
x
1 x 1 limm
0 x
− +
→
9 Tính các giới hạn sau
Trang 3a)
1 x
x 2 1 x 2 lim4
1
−
−
−
1 x
x 5 7 x lim
3 2 1
−
− +
x
x 8 1 x 2
0 x
−
− +
→
x 0
sin x
x
→ = Tổng quát hơn ta có ( )
( )
x 0
sin u x
u x
→ = với u 0 ( ) = 0.
10 Tính các giới hạn sau
0
x 6 cos 1
x 5 cos 1
x 3 cos 1 lim
0
−
0
x sin tgx
→
d)
x 1
1 x cos lim
1
+ π
) 4 x sin(
tgx 1 lim
4
3 0
x sin 1 tgx 1 lim + − +
→
h) lim ( 1 cos 2 x ) tgx
2
x
+
π
tgx 1 lim 4
−
π
x cos x sin lim 4
−
π
→
x sin x (
lim
x
π
∞
x sin
x 1 x 1 lim
0 x
+
− +
→
Dạng 3 Giới hạn một phía
11 Tìm giới hạn bên trái, giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) tại x = x0 và xét xem lim f ( x )
0
x
x →
có tồn tại hay không trong những trường hợp sau đây
a) f(x) =
≤
−
>
−
+
−
1 x khi 2
x
1 x khi 1
x
2 x x
2 2
tại x0 = 1 b) f(x) =
≥
−
<
−
−
2 x khi x 1
2 x khi 2 x
x
tại x0 = 2
c ) f(x) = 2 3
x x
2
+ tại x = 0 d ) f(x) =
>
− +
− +
≤ 0 x khi 1 1 x
1 1 x
0 x khi 2
3
3
tại x0 = 0
12 Tìm a để lim f ( x )
1
x → tồn tại, trong đó f(x) =
≥ +
<
−
−
1 x khi 2 ax
1 x khi 1 x
1
x3
Dạng 4 Giới hạn của hàm số tại vô cực
13 Tìm các giới hạn sau:
Trang 4a)
1 x 2
7 x x
2
+
−
−∞
1 x
15 x 7 x
3 4
− +
−∞
1 x
2 x lim 3
6
+ +∞
→ d)
1 x
2 x lim 3
6
+
−∞
→
e) 3
2 2
x 2 x lim
+
−
+
−∞
→
g)
2 x x
x x lim 2
x → +∞ − +
14 Tìm các giới hạn sau:
3
1 2
lim
x x
x x
+ +
+∞
5
3 lim
x x
x x
+
−
+∞
1
4 3 2
3
+
−
−
− +
−∞
x x x
d)
3
) 2 1 )(
1 (
5 2
+ +
−
−
−∞
x x
1 2
1 4
lim 2
4 2
+ +
+
− +
−∞
x x x
x
x x
x
1 4
−
+
− +
−∞
→
15 Tìm các giới hạn sau:
a) lim( x2 1 x)
2
3 lim
2
+
−
−∞
x x
x c) lim→−∞( x2 −x− x2 +1)
x
d) lim( 2 − − 2 +1
+∞
+∞
−∞
→
g) lim( x2 1 x)
+∞
3 4
12 15 2
2
+
−
x x
x
16 Tính các giới hạn sau
A =
x 2
x 3 1 lim
−
∞
1 x x
3 x
2
+
∞
1 x
1 x 2 x
2 5
− +
∞
→
17 Tính các giới hạn sau
M =
x 2 1 x
1 x 3 x x lim
2 2
+ + + +
∞
1 x 1 x
x 2 x x lim
2 2
+ + +
∞
→
P =
1 x
1 x x 1 x x lim
2 2
+ +
− + +
∞
→
18 Tính các giới hạn sau
A = lim( x2 x x)
∞
∞
→
C = lim ( x2 1 3 x3 1 )
∞
∞
→
Dạng 5 Hàm số liên tục
19 Xét tính liên tục của các hàm số sau
Trang 5a) f(x) =
=
≠
−
−
−
2 x khi 1
2 x khi x
2
3 x 1
tại x0 = 2 b) f(x) =
=
≠
−
0 x khi 4
1
0 x khi x sin
x cos 1
2
tại x0 = 0
c) f(x) =
= π
−
≠
−
π
1 x khi
1 x khi 1 x
x sin
tại x0 = 1
20 Tìm m để các hàm số sau liên tục tại x0= 0
a) f(x) =
≥ +
− +
<
+
−
−
0 x khi 2
x
x 4 m
0 x khi x
x 1 x 1
b) f(x) =
≥ +
+ +
<
−
0 x khi m
1 x
4 x
0 x khi x
sin x
x cos 1
21 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên R
a) f(x) =
=
≠ 0 x khi 1
0 x khi
| x
x sin
=
≠
0 x khi 1
0 x khi
| x
|
x sin
22 Tìm m để hàm số f(x) =
≤ +
>
−
− +
2 x khi 4
1 mx
2 x khi 2
x
2 2 x
3
liên tục trên R
23 Không giải phương trình, hãy chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm
a) cosx + mcos2x = 0 b) m(x – 1)3(x + 2) + (2x + 3) = 0 c) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0