Vấn Đề : Bài Giảng Hàm Số Đồng Biến-Hàm Số Nghịch Biến Nguyễn Đức Huân.0979236484 A.Lý thuyết: Cho hàm số y=fx xác định trên D xét chiều biến thiên của HS: -Cách giải:muốn xác định chi
Trang 1Vấn Đề : Bài Giảng Hàm Số Đồng Biến-Hàm Số Nghịch Biến
Nguyễn Đức Huân.0979236484
A.Lý thuyết:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên D xét chiều biến thiên của HS:
-Cách giải:muốn xác định chiều biến thiên của hs ta cần căn cứ vào dấu của y'
-Các bớc tiến hành:
+B1:Tìm TXĐ,xác định y'
+B2 :Lập bảng xét dấu y'
+B3: Kết luận
-Chú ý: nếu y'≥ 0 ∀x∈D ⇒ HS đồng biến ∀x∈D
Nếu y'≤ 0 ∀x∈D ⇒ HS nghịch biến∀x∈D
-Ví dụ:xét chiều biến thiên của hs y= 2 8 7
3
1 3 2
− +
− x x
B.Các dạng bài tập.
1.Dạng 1: cho y=g(x,m), tìm đk để hàm số luôn đồng biến.
-Hớng giải: a.Nếu hs có dạng y'=f(x)= ax2 +bx+c (a≠ 0), hoặc y'=f(x)/k(x) thì để hàm
số luôn đồng biến y'≥ 0 ∀x∈R ⇔
≤
∆
〉
0
0
a
(dựa vào định lý ∆ 〈 0 ⇔a.f(x) 〉 0)
b.Muốn cm 1 hs không thể đồng biến ta cần cm y'=0 có 2 No ⇔ 〉∆ 0
-Bài toán :
Bài 1:cho y=x3 − 3(2m+ 1)x2 +(12m+ 5)x+ 2 tìm m để hàm số luôn đồng
biến.kq(-6
1 6
1
≤
Bài 2: (Đại học thủy lợi 1997)
Tìm m để : y=m x mx (3m 2)x
3
1 3 + 2 + −
− đồng biến ∀x∈R KQ:m≥ 2
4
3 cos
sin 2
1 3
+
−
−
KQ: π +kπ ≤ α ≤ π +kπ
12
11 12
7
Bài 4:Cho y=x3 −(m+ 1)x2 −(2m2 − 3m+ 2)x+ 2m(2m− 1) CMR hàm số này không thể đồng biến 2.Dạng 2: cho hs y=g(x,m) tìm m để hs đồng biến ∀x∈(α ; + ∝)
- Hớng giải:để hsđb với ∀x∈(α ; + ∝) ⇔ x 1 x 2 α〈≤ ( ) 0
2
0
≥
〈
〉∆
⇔ α
α
s af
-Bài toán :
Bài 1:tìm đk của m để hs y=x3 −(m+ 1)x2 −(2m2 − 3m+ 2)x+ 2m(2m− 1) đồng biến ∀x∈(2 ; + ∝)
KQ:-2≤m≤ 23
Trang 2Bài 2:Cho y= ( 1)
3
1x3 −m x+ tìm m để hs : a.luôn đồng biến KQ:m≤ 0
b.hsđb ∀x∈(1 ; + ∝) KQ:m≤ 1
Bài 3:Tìm m để hàm số y= ( )
m x
m x
m x
−
+ +
−
2 2
đồng biến ∀x∈(1 ; + ∝)
HD:do 2( 1)2 0
≥ +
=
∆ m nên xét ∆ = 0 ⇔m= − 1 (thỏa mãn) 〉∆ 0
3.Dạng 3: cho hs y=g(x,m) tìm m để hs đồng biến ∀ x ∈(− ∝ ; α)
- Hớng giải:tơng tự dạng 2.
-Bài toán :
Bài 1:(Đại học quốc gia HN B.2000)
Cho y=x3 − 3mx2 +m− 1.Tìm m để hs đồng biến ∀x∈(− ∝ ; 0) KQ:m 〉 0
Bài 2:Cho y=x3 − 3 ( 2m+ 1 )x2 + ( 12m+ 5 )x+ 2 Tìm m để hs đồng biến ∀x∈(− ∝ ; − 1)
4.Dạng 4: Cho hs y=f(x,m) tìm m để hs đồng biến ∀ x ∈(α ; β).Với y'=f(x,m)=ax2 +bx+c
- Hớng giải : * Nếu a>0 :đkbt ( )
≤
≥
〉∆
⇔
〈
≤〈
⇒〉
∆
∈
∀
≥
⇒
≤∆
⇔
2 0
0 0
' 0
2
1
S
af x x
R x o y
β
β βα
* Nếu a<0 :đkbt ( )
( )
≥
≥
⇔
≤
<
≤
⇔
0
0
2
α β
α
f
f x x
-Bài toán :
Bài 1: tìm a để hs y= x (a 1)x (a 3)x
3
2 3
+ +
− +
− đồng biến ∀ x ∈(0 ; 3) KQ:a≥127 Bài 2: Cho y=x2(m−x)−m tìm m để hs đồng biến ∀ x ∈( )1 ; 2 KQ: m≥ 3
5.Dạng 5: cho hs y=g(x,m) tìm m để hs nghịch biến ∀x∈(α ; + ∝)
- Hớng giải :xét dấu tơng tự nh trên.
- Bài toán :
Bài 1: Tìm m để hs y=
x a
a ax x
−
+
− 2
3
2 2 2
nghịch biến ∀x∈(1 ; + ∝) KQ:
Bài 2:(Đại học ngoại thơng Hà Nội 1997)
Trang 3Tìm m để y= x3 + 3x2 +(m+ 1)x+ 4m Nghịch biến trên (− 1 ; 1) KQ: m≤ − 10
Bài 3:( Học viện tài chính 2001)
m x
m m mx x
m
−
+
−
−
−
.Tìm m để hs nghịch biên trên TXĐ
Vấn Đề 3 Điểm Tới hạn Của Hàm Số
1.Định nghĩa: cho hs y=f(x) xác định trên D x0 ∈D.Điểm x0 đợc gọi là điểm tới hạn của hàm
số nếu f'(x0)=0 hoặc f'(x0) không xác định
2.Bài tập:
Bài 1: tìm điểm tới hạn của hàm số: y=3 +3+ 5
x
Bài 2: tìm điểm tới hạn của hàm số: y=3 x2(x− 5)
Vấn Đề 4.Cực Trị Của Hàm Số
1.Định nghĩa:
-Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x0 ⇔f(x0)>f(x) ∀x∈D
-Hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại x0 ⇔f(x0)<f(x) ∀x∈D
⇒Các điểm cực đại,cực tiểu gọi là cực trị của hàm số
2.1.Phơng pháp:
+B1:Tìm TXĐ,xác định y'
+B2 :Lập bảng xét dấu y'
+B3: Kết luận điểm cực trị
*)Chú ý:Để tính yCD,yCT của hàm số hữu tỷ y=u v((x x)) ta làm nh sau:
+) cho y'=0 tìm nghiệm x0
+) Thay x0 vào y=u v''((x x)) suy ra yCD,yCT
2.2.Dùng đạo hàm bậc 2 để tìm cực trị:
-Giả sử hám số y=f(x) có y'=0 có các nghiệm x i (i= 1 ,n)
Nếu y"(x i)>0 ⇒ x i cực tiểu
Nếu y"(x i)<0 ⇒ x i cực đại
VD1: Tìm cực trị của hàm số:y=x4 − 2x2 + 1
VD2 : Tìm cực trị của các hàm số:
a.y=−x2 + 6x+ 1 b.y=2x3 − 3x2 − 12x+ 5
b.y= 3
4 3 4 +
−x
x d.y=
x
x x
−
+
− 1
2 2 2
3.Dạng toán :
3.1.Dạng 1:Tìm đk để hs đạt cực tiểu tại x= x0
-Cách giải: +B1:Tìm TXĐ,xác định y',y"
Trang 4+B2 : đk ( )
( )
>
=
⇔
0
"
0 '
0
0
x y
x y
+B3: Giải hệ này để tìm m
3
2 2 3
+ +
− +
−mx m m x
x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=1.KQ:Φ
Bài 2: Cho y=(1 −m)x4 −mx2 + 2m− 1 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=1 KQ:m= 32
3.2.Dạng 2: Tìm đk để hs đạt cực đại tại x= x0
-Cách giải: +B1:Tìm TXĐ,xác định y',y"
+B2 : đk ( )
( )
<
=
⇔
0
"
0 '
0
0
x y
x y
+B3: Giải hệ này để tìm m
Bài 3: Cho y=
1
2 2
−
+ +
x
mx
x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=3.KQ:Φ 3.3.Dạng 3: Tìm đk để hs đạt cực trị tại x= x0
+B1:Tìm TXĐ,xác định y'
+B2:Giải y'( )x0 =o tìm ra m
+B3:Thay giá trị của m vào y'.Sau đó dựa vào bảng biến thiên xét dấu của y'.⇒KL
3
2 3
−
− + mx mx x
.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x=1 KQ:m=-1
Bài 5: Cho y=x3 +ax2 +bx+ 3a+ 2 Tìm a,b để hàm số có cực trị bằng 4 tại x=1 KQ:a=o,b=-3 Bài 6: Cho y=x + x +mx
2 3
2 3
.Tìm m để hàm số đạt cực đại,cực tiểu tại các điểm có hoành độ >m KQ: m<-2
m x
m m mx x
m
−
+
−
−
−
(m≠= 1) Tìm m để hàm số đạt cực đại,cực tiểu trong khoảng (0;2)
3.4.Dạng 4: cách chứng minh 1 hàm số có cực trị:
- Hớng giải :chứng minh y' phải đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Bài 8:CMR:Hàm số sau có cực trị ∀m:y= ( 1) ( 1)
3
2 2
2
3
− +
− +
−mx m x m x
Bài 9: Cho y=x3 − 3(m− 1)x2 +(2m2 − 3m+ 2)x−m(m− 1) Tìm m để hàm số đạt cực trị
3.5.Dạng 5:Cách viết PTĐT qua cực đại,cực tiểu: của hàm số y= ax3 +bx2 +cx+d
-Cách giải:
+B1:Tìm TXĐ,xác định y'
Trang 5+B2:Giải đk y'( )x0 =o có 2n0 phân biệt.
+B3:Viết y(x)=y'(x).p(x)+Ax+B
+B 4 :CM y=Ax+B là PTĐT cần tìm
+B5:KL
Bài 10:Tìm tọa độ và viết PTĐT qua các điểm cực trị của hàm số sau:y=x3 − 3x2 − 6x+ 8
KQ:y=-6x+6.CĐ:(1- 3;6 3).CT:(1+ 3;-6 3)
Bài 11:(Học viện kĩ thuật mật mã 99)
Cho y=x3 − 3(m+ 1)x2 + 2 (m2 + 7m+ 2 )x− 2m(m− 2).Tìm m để hs có cực đai,cực tiểu và viết PTĐT qua cực trị
Bài 12: Tìm m để y=2x3 + 3(m− 1)x2 + 6m( 1 − 2m)x.có CĐ,CT thuộc d:y=-4x KQ:m=1 Bài 13:(ĐH Thủy Lợi-98) Cho y=
1
2
−
+
−
x
m mx
x CMR:khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là không
đổi ∀m.