Phßng GD - §T KiÕn X¬ng
Trêng THCS Hång TiÕn
===***===
§Ò kh¶o s¸t chÊt lîng häc sinh giái to¸n 9
N¨m häc : 2010 – 2011
( thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1( 5 ®iÓm):Giải các phương trình sau
a) x 1 x 2 1
b) 3 2 1 1
Câu 2 (5 ®iÓm)
a)T×m m sao cho ph¬ng tr×nh
2x m 2x 1 2m 4 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
b)Tìm tất cả các số dương x,y,z thoả mãn:
3 9 4
z y x
z y x
C©u 3( 3 ®iÓm)Cho 3 số d¬ng x,y,z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xy+ yz + zx = 1 TÝnh tæng:
2 2 2 2 2 2
C©u 4(6 ®iÓm)
Tõ ®iÓm K n»m ngoµi (0) vÏ 2 tiÕp tuyÕn KA, KC víi (O) ( A,C lµ 2 tiÕp ®iÓm) vµ c¸t tuyÕn KBD (B n»m gi÷a K vµ D) Gäi M lµ gi¸o ®iÓm cña AC vµ KO
a.c/m: KA2 = KM.KO
b.c/m tøgi¸c BMOD néi tiÕp
c) Chøng minh MA lµ tia ph©n gi¸c cña BMD
d.Gäi F lµ giao ®iÓm cña BM víi (O) c/m: DF //AC
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho số thực m, n, p thỏa mãn :
2
n np p 1
2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p
§¸p ¸n + BiÓu ®iÓm C©u 1 :
Trang 2a)
2
2
x 1 x 1
x x 1 x x 1 0
x 1 x 1
x 1hoặc
2
5
1
x
b) ĐK:x 1;Đặt
1
2
3
x v
x u
Khi đó ta có:
3 2 0 1 1 0
1
1
2 3
v u v u v u
v u
v u
Trở lại cách đặt ta được:
1
0
v
u
2 1
1
0 2
3
x x
x
2/
0
1
v
u
1 0
1
1 2
3
x x
x
3
2
v
u
10 3
1
2 2
3
x x
x
C©u 2 :
a)HD: §K : 1
x
2
§Æt t 2x 1 t 0 t 2 mt 2m 3 0(*)
§Ó pt cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× pt(*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt t 1 ; t 2 tho¶ m·n t1 t2 0
2
m 6
m 2
3
b) Từ giả thiết ta suy ra 6
4
9 4 1
z y
Mặt khác ta có: 1
4
1 2 4
1
x
x
4
4
y
y ; 3
4
9
z z
4
9 4 1
z y
Do vậy để (1) xảy ra thì ta phải có: 6
4
9 4 1
z y
6 4 2
4 9 4
4 4 1
z y x
z z
y y
x x
C©u 3 HD: Ta cã 1+ x 2 = xy+ yz + zx + x 2 = x(x+y) + z(x+y) = (x + y)(x + z)
T¬ng tù 1 + y 2 = (y + x)(y + z)
1 + z 2 = (z + x)(z + y)
=> S = x y z 2 y z x 2 z x y 2 2 xy yz xz 2
Trang 3Câu 4 :
b Ta c/m: BMK KDOã ã
+.c/m: KA 2 = KB.KD
Mà KA 2 = KM.KO (cmt)
=> KB KO
KMKD mà ãBKM chung
=> V BKM ~ OKD(c.g.c) V
=> BMK KDOã ã => tứ giác BMOD nội tiếp
c) tứ giác BMOD nội tiếp
=>
1 4
D M ( 2góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau: BO DO )
Mà D 1 M 1 (cmt) => M 1 M 4
M M M M 90 M M => MA là tia phân giác của BMD
d.Cách 1: tứ giác BMOD nội tiếp => BMD BOD(1) (2gnt cùng chắn BD )
Vì MA là tia phân giác của BMD => 2 1
2
(2)
1
2
(gnt và góc ở tâm cùng chắn cung BD) (3)
Từ 1,2,3 => F M 2 mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DF//AC
Do BMK KDOã ã => BMA HODã ã (2) (vì cùng phụ với 2 góc bằng nhau)
Từ (1) và (2) => BMA BFDã ã mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DF//AC
Bài 5 (1,0 điểm)
2
1 2
m
n np p (1)
… ( m + n + p )2 + (m – p)2 + (n – p)2 = 2
(m – p)2 + (n – p)2 = 2 - ( m + n + p )2
(m – p)2 + (n – p)2 = 2 – B2
vế trỏi khụng õm 2 – B2 0 B2 2 2 B 2
dấu bằng m = n = p thay vào (1) ta cú m = n = p = 2
3
Max B = 2 khi m = n = p = 2
3 Min B = 2 khi m = n = p = 2
3
1 4 3 2 1
M
B
O A
K
C
D
F