Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều Câu 5: 1,75 điểm Cho hình vuông ABCD.. Cho tam giác nhọn A
Trang 1UBND huyện quảng trạch
Phòng Giáo duc & Đào tạo Đề thi chọn Học sinh giỏi
Năm học 2009 - 2010 Môn: Toán lớp 9
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu1 (1,0 điểm)
Tỡm số tự nhiờn n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chớnh phương
Câu 2 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có: a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc + ca
b) (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: 2 3 2 3
Câu 3 (2 điểm)
a) (1,0 điểm) Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a c) + 2 + + (b d) 2
b) (1,0 điểm) Cho đờng thẳng y = ( m - 2)x + 2 (d) Chứng minh rằng đờng thẳng (d)
luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
Câu 4 (1,5 điểm)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết:
(a b b c c a+ ) ( + ) ( + =) 8abc Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Câu 5: (1,75 điểm)
Cho hình vuông ABCD Điểm O thuộc miền trong của hình vuông thoả mãn
OB = 2.OA và ∠ AOB=135 Chứng minh : OC = OA + OB.o
Câu 6: (1,75 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC Phân giác góc A cắt cạnh BC tại D Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC
a) Chứng minh: AD vuông với KM
b) Đặt góc BAC bằng α .Gọi S là giao điểm của KD và AC
Chứng minh: KM=AD.sinα
Hết
Trang 2UBND huyÖn qu¶ng tr¹ch
Phßng GD & §T Híng dÉn chÊm thi chän Häc sinh giái
N¨m häc 2009 - 2010
M«n: To¸n líp 9
C©u Tæng
Tacó:
=
−
= +
2
2
65
24
h n
k
( − )( + ) = 89 = 1 89
⇔ k h k h
=
=
⇒
=
−
= +
⇔
44
45 1
89
h
k h
k
h k
Vậy: n = 452 – 24 = 2001
0,25
0,25 0,25 0,25 2a 1 XÐt a2 + b2 + c2 - (ab +bc + ca)
(a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ac a )
Vậy a2 + b2 + c2 ≥ ab +bc + ca DÊu “=” x¶y tra khi a=b=c
0,25 0,5 0,25
+ + − −
6
= 6 2 3 3 3 3 6 2 3 3 3 3− + − + + − − =
1
A = 2
0, 5 0,25 0,25
3a 1,5 Hai vÕ B§T kh«ng ©m nªn b×nh ph¬ng hai vÕ ta cã:
a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2 +b c2 )( 2 +d2 ) ≥a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd +
d2
⇔ (a2 +b c2 )( 2 +d2 ) ≥ ac + bd (1)
Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m Nếu ac + bd ≥0
(1) ⇔( a2 + b2 )(c2 + d2) ≥a2c2 + b2d2 +2acbd
⇔a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 +2acbd
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 3⇔ a2d2 + b2c2 – 2abcd ≥ 0 ⇔(ad – bc)2 ≥ 0
( luụn đỳng) Dấu “=” xẩy ra ⇔ ad = bc ⇔ a c
b = d
0,25
3b 1 Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng d đi qua điểm cố định
H (x0, y0) là:
y0= ( m-2)x0 + 2 với mọi m
⇔ mx0-(2x0+y0-2) = 0 với mọi m
⇔ 0
0 0
=
⇔x0=0; y0= 2
Vậy đờng thẳng d luôn đi qua điểm cố định H (0; 2) với mọi m
0,5
0,5
4 1,5 Ta có:(a+b)(b+c)(c+a)= 8abc
( 2 + 2 − 2 ) (+ 2 + 2 − 2 ) (+ 2 + 2 − 2 )= 0
⇔ a b bc abc ac ab abc b c a c abc
( − )2 + ( − )2 + ( − )2 = 0
⇔b a c a b c c b a
Ta có: b(a−c)2 ≥ 0 ∀a ,,b c
a(b−c)2 ≥ 0 ∀a ,,b c
c(b−a)2 ≥ 0 ∀a ,,b c
mà a,b,c≠ 0
( − )2 + ( − )2+ ( − )2 ≥ 0
⇒b a c a b c c b a ∀a ,,b c
Dấu bằng xảy ra khi
=
−
=
−
=
−
0 ) (
0 ) (
0 ) (
2 2 2
c a b
c b a
b a c
⇒a=b=c
Kết luận: Vậy tam giác có 3 cạnh bằng nhau nên là tam giác
đều
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 4Vẽ tia Ox nằm giữa OB và OA sao cho ∠ B Ox 45 = o Lấy E trên Ox sao cho BE ⊥ BO
∆ = ∆ (c.g.c) Suy ra AE = OC (1)
BOE
∆ vuông cân tại B ⇒ EO = OB. 2
AOE EOB
AOB
A = ∠ − ∠ = ⇒ ∆
∠ OE 90 0 vuông tại O, theo Pitago ta có:
AE = AO +EO = AO + BO = AO + AO = AO
AE AO AE AO AE OA OB
Từ (1) và (2) ⇒OC OA OB= +
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 6a 0,75
Xét hai tam giác vuông AKD và AMD có: Aˆ1 = Aˆ2, AD là cạnh huyền chung
AK AM
⇒ ∆ = ∆
AK AM AKM
Nên đờng phân giác AD cũng chính là đờng cao⇒AD⊥ KM.
0,25
0,25 0,25
6b 1 Ta có ãBAC= α( )gt
ã S ã AD
MK =K (Hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc)
Mặt khác, ãDAS= ãKAD (AD là phân giác góc A)
Do đó MKã S=Dã AS. Hai tam giác KSM và ASD có góc S chung vàMKã S= ãDAS nên
đồng dạng với nhau
Suy ra : S
K KM A
=
Xét tam giác vuông AKS ta có:
S
K KM
KM A A
0,25 0,25 0,25
0,25