Chứng minh rằng trong số 9 đường thẳng đú cú ớt nhất 3 đường thẳng đồng quy.. ---Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm.
Trang 1Phũng GD- ĐT Tam Dương
Trường THCS Tam Dương
-o0o -ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN
Mụn: Toỏn 9
Thời gian làm bài: 120 phỳt
-Bài 1: 2,5 điểm
a/ Rút gọn biểu thức:
+ − ( + ) − ( − )
=
+ −
2
2
A
với − ≤ ≤2 x 2
b/ Cho trớc số hữu tỉ m sao cho 3 m là số vô tỉ
Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: a m3 2 +b m c 03 + = .
Bài 2: 2 điểm
Tỡm số tự nhiờn m, biết rằng khi bỏ đi 3 chữ số tận cựng bờn phải của nú thỡ được một số mới cú giỏ trị bằng 3 m.
Bài 3: 2,5 điểm
a/ SABC =
2
b/ SHIK = ( 1- cos2A - cos2B - cos2C).SABC
Bài 4: 1,5 điểm
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc khụng cú gúc tự và x, y, z là cỏc số bất
c
2 b
2 a
2 2z
2 2y
2 2x 2 c
2 z 2
2 y 2 a
2 x
+ +
+ +
≥ + +
Bài 5: 1,5 điểm
Cho một hỡnh vuụng và 9 đường thẳng, trong đú cứ mỗi đường thẳng đều chia hỡnh
vuụng thành hai tứ giỏc cú tỉ số diện tớch là
3
2 Chứng minh rằng trong số 9 đường thẳng
đú cú ớt nhất 3 đường thẳng đồng quy.
-Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO S T Á ĐỘI TUYỂN TO N 9 Á
Câu 1
2,5
điểm
1)
1,5điểm
Đặt a= 2 x; b+ = 2 x (a, b 0)− ≥
( 3 3) ( ) ( 2 2 )
A
2 ab a b 4 ab
4 ab
( )
( 2 2 ) ( ) ( ) ( )
2)
1,0điểm
3 2 3
a m +b m c 0+ = (1) Giả sử có (1)
Từ (1), (2) ⇒(b2−ac) m (a m bc) 3 = 2 − 0.25 Nếu a m bc 02 − ≠
2 3
2
a m bc m
b ac
−
− là số hữu tỉ Trái với giả thiết!
⇒ = ⇒ = Nếu b≠0 thì3 b
m a
= là số hữu tỉ Trái với giả thiết!
a 0;b 0
Ngợc lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng Vậy: a = b = c = 0
0.25
Câu
2
2đ
Dễ thấy số cần tỡm cú từ 4 chữ số trở lờn Giả sử sau khi bỏ đi 3 chữ số tận cựng
abc của số m ta được số x, thỡ m = 103x + abc
0,5
Theo bài ra ta cú: x = 3 1000x+abc
⇔ x3 = 1000x + abc ⇔ x(x2 – 1000) = abc (*) 0,25
- Nếu x ≥ 33 thỡ VT của (*) sẽ lớn hơn hoặc bằng 33 Vậy x < 33 0,25
- Nếu x ≤ 31 thỡ x2≤ 96, nờn x(x2 – 1000) < 0 < abc 0,25
Từ đõy: m = 103 32 + 768 = 32768 Số này thoả món yờu cầu đề bài 0,5
Cõu
3
2.5đ
a)
1 điểm - Vẽ hỡnh chớnh xỏc, viết GT, KT
- Ta cú SABC = BI AC
2 1
Trong tam giỏc vuụng ABI thỡ sinA = BI AB A
AB
BI
sin
=
⇒
0,25 0.25 0.25
Trang 3Câu
4
1,5đ
Câu
5
1.5đ
b)
1,5điểm
Vậy: SABC = BI AC
2
1
= AB.AC sin A
2 1
AC
AK AB
AI S
S
ABC
AIK cos2 A ⇒ SAIK = SABC.cos2A Chứng minh tương tự: SBKH = SABC.cos2B; SCIH = SABC.cos2C
Mà SHIK = SABC – ( SAIK + SBKH + SCIH)
= ( 1- cos2A - cos2B - cos2C).SABC
Với a2 + b2 + c2 > 0 ta có: (a2 + b2 + c2)( 22 22 22
c
z b
y a
x
+
= x2 (2 + 2
2 2 2
a
a c
b + − ) + y2 (2 +
2
2 2 2
b
b c
a + − ) + z2 (2 +
2
2 2 2
c
c b
= 2x2 +2y2 +2z2 +x2 ( 2
2 2 2
a
a c
) + y2 ( 2
2 2 2
b
b c
) + z2 ( 2
2 2 2
c
c b
) (*) Giả sử a ≤ b ≤ c thì c2 – a2 ≥ 0 và c2 – b2 ≥0
Với c là cạnh lớn nhất mà góc ACB nhọn hoặc tù, nên ta kẻ đường cao BH, khi
đó c2 = BH2 + HA2≤ BC2 + CA2 = a2 + b2
Từ các BĐT trên suy ra biểu thức cuối cùng của (*) không âm, từ đó có ĐPCM
Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác phải cắt hai cạnh đối của hình vuông Gọi M, E, N, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CB, CD, DA
Giả sử đường thẳng d như thế cắt cạnh BC tại P, cắt cạnh AD tại Q và cắt MN tại
O1 thoả mãn điều kiện =32
CDQP
ABPQ
S S
Khi đó: (( ).). ::22 32
1
= +
+
N O
MO CD
CP DQ
AB AQ AP
Suy ra:
5
2
MN
MO
Vậy d luôn đi qua điểm O1 cố định Tương tự như vậy ta cũng chứng minh được: O2; O3; O4 là các điểm cố định
Vì chỉ có 4 điểm mà có 9 đường thẳng đi qua chúng nên theo nguyên tắc Đirichle
ít nhất phải có 3 trong số 9 đường thẳng trên cùng đi qua một trong 4 điểm cố định trên
O1
F
B
P
Q
O3
O2
O4
0.25
0.5 0.5 0.5
0.5
0.5 0.5
0.5
0.5 0.5