Dãy số có giới hạn vô cực

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO XYZ.

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO XYZ

Xét dãy số (vn) với vn = 2n – 3 Tìm lim vn

KIỂM TRA BÀI CŨ

Tìm giới hạn của các dãy sau:

1) Dãy số (un) với un =

2) Dãy số (un) với

2

2

n - 3n + 5

n

1 u

2n 3

=

−

Đáp số: 1)

2

2

lim

1

2n 3 =

−

Dãy số có giới hạn +∞

1

Dãy số có giới hạn - ∞

2

Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

3

Cho dãy số (u n ): u n = 2n - 3

Cho M= 2010 Tìm n để u n > M

M là số dương bất kì Ta có

thể tìm được n để u n > M hay

không?

Ta nói dãy số (u n ) có giới

hạn +∞

Định nghĩa: Dãy số (u n ) có

giới hạn là +∞ nếu với mỗi số

dương tùy ý cho trước, mọi số

hạng của dãy số, kể từ một số

hạng nào đó trở đi, đều lớn

hơn số dương đó

1 Dãy số có giới hạn +∞

Ta viết: lim u n = +∞

hoặc u n → +∞

D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

1 Dãy số có giới hạn +∞

Lấy M là số dương tùy ý

Hướng dẫn:

Nếu chọn n > M 2 ta có u n > M

Vậy

*) Định nghĩa

Định nghĩa: Dãy số (u n ) có

giới hạn là +∞ nếu với mỗi số

dương tùy ý cho trước, mọi số

hạng của dãy số, kể từ một số

hạng nào đó trở đi, đều lớn

hơn số dương đó

Ta viết: lim u n = +∞ hoặc u n → +∞

(sgk)

Ta viết lim u n = – ∞ hoặc u n → – ∞

VD2: Áp dụng định nghĩa để chứng minh lim n = +∞

Xét dãy số (u n ) với u n = n

Xét u n > M ⇔ > M n ⇔ n > M 2

lim lim lim

n n n

lim n = +∞

D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

1 Dãy số có giới hạn +∞

Nếu lim |u n |= +∞ thì lim

u 1 n =0

*) Các dãy số có giới hạn +∞ và –∞

được gọi chung là các dãy số có giới

hạn vô cực hay dần đến vô cực

Nếu lim|u n |= +∞ thì lim

|u n |

1

=?

VD4: Chọn đáp án đúng:

Dãy số (un) với u n = (-1) n có giới hạn là:

a) 0 c) + ∞

b) – ∞

d) Không có giới hạn

*) lim u n = + ∞ ⇔ lim(– u n ) = – ∞

Vì lim (2n-3) = + ∞

nên lim(-2n+3) = – ∞

VD3: lim (-2n + 3)= ?

2 Dãy số có giới hạn – ∞

*) Định nghĩa (sgk)

Ta viết lim u n = – ∞ hoặc u n → – ∞

Định nghĩa: Dãy số (u n ) có giới hạn

là +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho

trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ

một số hạng nào đó trở đi, đều lớn

hơn số dương đó.

Ta viết: lim u n = +∞ hoặc u n → +∞

Hướng dẫn

*) Định lí

D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

+ lim un = ±∞ , lim( ) vn = ±∞

+∞

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

−∞

−∞

−∞

Ví dụ 5: Cho hai dãy số: un = 2n,vn = n, ta có

+ lim un = lim(2n)=+ ∞ + lim( u vn n) lim(2n.n) = lim(2n ) = + = 2 ∞ + lim vn = lim n = ∞ +

D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Nếu lim u n = ± ∞ và

limv n = ± ∞ thì lim(u n v n ) được cho

bởi:

lim u n lim v n lim(u n v n)

Nhận xét:

a) Quy tắc 1:

lim n k = với k +∞ ∈Ν*

D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Ví dụ 6: Cho hai dãy số: un = 2n, , ta có

+ lim = lim(1 − 3 ) 1 =

2

n

v

n

2

n

v

n

lim

(2

+

)

n

+ lim( ) lim[2 (1 = − 3 )] lim(2 = − 3) =+ ∞

2

n n

n

D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

* Ví dụ 7: Cho các dãy số v n = 1

n , ta có

n

n

u

n

u

n

v

= 1 >

+ limv n lim =0, v n 0

n

= − 3

, 2u n

n

b, Quy tắc 2: Nếu + limu n = ±∞ , lim v n = ≠L 0 Thì ta có

Dấu của L

limu n lim(u v n n)

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

−

−+

3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

c, Quy tắc 3:limu n = ≠L 0, lim v n = 0 hoặc v n < 0

hạng nào đó trở đi

kể từ một số

và v n > 0

Dấu của L Dấu của

n

v lim n

n

u v

+∞ −∞−∞

+∞

−

−

+ +

+ +−

−

3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

a, Quy tắc 2:

b,Quy tắc 3:

lim n

n

u v

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

−∞

−∞

−∞

+

−

− +

limu n

+∞

+∞

−∞

−∞

lim(u v n n)

+∞

+∞

−∞

−∞

Ví dụ 8:

Tính

limu n = ≠L 0, limv n = 0

limu n = ±∞ , lim( )v n = ≠L 0 3 2

1

Dấu của L

Dấu của L Dấu của v n

3

3 3

2 4 1 ) lim

1 2

) lim

3 2

b I

n

n n

c I

n

=

+ +

=

−

? Nêu phương pháp chung tính các giới hạn dạng:

1 lim( k 1 k 1 0 ),

I = a n +a n− − + +a n +a k N∈

1

*

k k

k k

m m

m m

a n a n a n a

b n b n b n b

−

−

−

−

D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

1 *

1 lim( k 1 k 1 0 ),

I = a n + a n− − + +a n +a k N∈

−

−

= + 1 + + 1 + 0

1

lim[ (k k )]

n a

Nếu + )a k > ⇒ = +∞ 0 I1

1

)a k 0 I

* Chú ý 2: Phương pháp tìm:

1

*

−

−

−

−

+ + + +

+ + + +

* Chú ý 1: Phương pháp tìm:

Nếu

2

)k m I 0

2

m

a

b

 = +∞ >



 + > ⇒



= −∞ <





k 2

m

k 2

m

a

b )

a

b

I

I

{

Chia tö vµ mÉu cña ph©n thøc cho luü thõa cao nhÊt cña n

D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

*Chú ý 1: Phương pháp tìm:

Nếu + ) = ⇒ = k

m

a

b

−

−

= + 1 + + + ∈ *

−

−

1

lim[ (k k )]

n a

+ )a k > ⇒ = +∞ 0 I

+ )a k < ⇒ = −∞ 0 I

*Chú ý 2: Phương pháp tìm:

*Chú ý 2: Phương pháp tìm:

−

−

−

−

1

*

1

k k

k k

m m

a n a n a n a

b n b n b n b

 = +∞ >



 + > ⇒



= −∞ <





k m

k m

a

b )

a

b

I

I

{ + ) k m< ⇒ I = 0

Định lý:

Nếu lim|un| = +∞

thì lim = 0

n

1 u

Bµi häc cÇn n¾m ® îc

3) BA QUY T¾C T×M GIíI H¹N

V¤ CùC

− −

– 3 2

– ∞ + ∞

2

1 Kết quả của –3n 2 + 105n + 4

2n + 1

– ∞ + ∞

2 Kết quả của –3n 3 + 3n - 2

2 – 3n

Bµi tËp cñng cè

+ − + −

2 3

1

3 KÕt qu¶ cña lim lµ :

n n

n n

5

3 5

4 KÕt qu¶ cña lim lµ :

3 2 2

n n

+ −

- ∞

3

Bµi tËp cñng cè

+

=

−

=

= +∞

5 T × m giíi h¹n cña d·y ( ) víi

1

6 T × m giíi h¹n cña d·y ( ) víi

8 CMR nÕu > 1 th × lim

n

n

17