Bài 6: Tính các giơi hạn saua... Từ đó tìm limu n.. LỜI GIẢI BÀI TẬP Bài 1: Tính các giới hạn sau a... Tìm lim .u n Lời giải... Áp dụng đẳng thức đã chứng minh được ở câu a, ta có: c...
Trang 103 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
Dạng vô định ,
∞
∞ hay
( ) ( )
P n lim
Q n với P n( )
và Q n( )
là các hàm đa thức thì ta chia cả tử và mẫu cho nk với k lớn nhất
Dạng vô định ∞ − ∞ hay lim P n ( )−Q n( )
thì ta nhân với lượng liên hợp và đưa về dạng .
∞
∞
Bài 1: Tính các giới hạn sau
a lim( n2+4n n− )
b lim( n 1+ − n)
c lim( n2+ −n n2+1)
d lim( n2+5n 1+ − n2−n)
Bài 2: Tính các giới hạn sau
a lim n( − n2+3)
1 lim
n + −2 n +4
c lim(3 n3−2n2 −n)
d lim n 1− ( n 1+ − n)
Bài 3: Tính các giới hạn sau
a lim(3n −3 n 1+ )
b
3 3 2
lim
+ −
+ − ÷
c lim n( n 1+ − n)
d lim(3 n3−3n2+ −1 n2 +4n)
Bài 4: Tính các giới hạn sau
a
n 2 lim
−
n 1 lim
n 1
+ +
c
2 n 2 lim
n 2 3
+
2
lim 2n 3
+ +
Bài 5: Tính các giới hạn sau
a
3 3 3
lim
+ −
lim
3n 1
− − +
c
lim
n 1 n 2
+
2 2
lim
+ + +
Trang 2Bài 6: Tính các giơi hạn sau
a
3
2 3 2
lim
2
lim
5n 1
+ − +
c lim( n+ +1 n)
d (3 2 3 )
lim n +n +n
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
a lim 1.3 3.51 1 (2n 1 2) (1 n 1)
b lim 1.3 2.41 1 n n.( 1 2)
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
− − −
b lim 1.2 2.31 1 n n.( 1 1)
Bài 9: Tính các giới hạn sau:
a 2
1 2
lim
3
n
+ + + +
b
2 2
1 2 2 2 lim
1 3 3 3
n n
+ + + +
Bài 10: Cho dãy số u n( )
u n
n
= − ÷ − ÷ − ÷
với mọi n≥2
a rút gọn u n
b tính limu n
n
u
c Tính limu n
Trang 3Bài 12: Cho dãy số u n( )
được xác định bởi ( )
1
1
1
1 1 2
u
=
a Đặt v n =u n+1−u n Tính v1+ + +v2 v n theo n.
b Tính u n theo n
c Tính limu n
Bài 13: Cho dãy số u n( )
được xác định bởi 1 2 2 1 ( )
u + u + u n
a Chứng minh rằng 1
1
2
u + = − u + ∀ ≥n
b Đặt
2 3
v = −u
.Tính v n theo n Từ đó tìm limu n
LỜI GIẢI BÀI TẬP Bài 1: Tính các giới hạn sau
a lim( n2+4n n− )
b lim( n 1+ − n)
c lim( n2+ −n n2+1)
d lim( n2+5n 1+ − n2−n)
Lời giải
a
2
2 4
n
+ +
1
1
−
1
lim
2
n
Trang 41 6
n
a lim(n− n2+3)
1 lim
c.lim(3n3−2n2−n)
Lời giải
2 2 2
b.
−
2
c.
2
3 3 2
2 3
3
2
3
3 3
3
n
d.
1 1
2
n
a lim(3n−3n+1)
b.
+ −
+ − ÷
3 3 2
1 lim
1
d. lim(3n3−3n2+ −1 n2+4n)
Lời giải
Trang 5a
2
3 2
3 3
2
−
2
1
b.
2
3 3
3
1
+ + + +
2 2
3
3
c.
2
n
n
d. lim(3n3−3n2+ −1 n2+4n) =lim(3n3−3n2+ − −1 (n 1) ) (+lim n− −1 n2+4n)
3
3
a
−
2 lim
1
n
+ +
1 lim
1
n n
c.
+ + +
lim
2 3
n
+ +
2 1 lim
n n
Lời giải
Làm tương tự như các phần trên ta được kết quả:
Trang 6a
2
1
n
+
1
1
n n
c.
+ = + +
2 3
n n
+
2 1 1 lim
n
a
+ − + −
3 3 3
1 1 lim
1 2
n
− − +
lim
n
c.
+
lim
+ + +
2 2
2 lim
n n n
Lời giải
a
+ − + −
3 3 3
1 1 lim
1 2
n n
Đặt 6(n3+ =1) t
b)
+ = + =
Khi
3 3
3
0
2
t n
t
−
−
b)
n
c)
1
+
=
d)
2 2
3
Bài 6: Tính các giới hạn sau
Trang 7a
+ +
3
2
1 lim
1 3
+ − +
2 2 1 lim
Lời giải
a)
3 3
2
2 2
1
1
n n
b)
+ −
2 1 1
1
n
c) lim( n+ +1 n)= +∞
d) lim n(3 2+n3+n) = +∞
Bài 7*: Tính các giới hạn sau
a lim1.3 3.51 + 1 + + (2n−1 2) (1 n+1) ÷÷
b.lim1.3 2.41 + 1 + + n n( 1+2)÷÷
Lời giải
a) Xét 1 31 3 51 (2 1 2) (1 1)
A
Ta có 2 1 32 3 52 (2 1 2) (2 1) 1 13 13 15 2 1 1 2 1 1
A
1
n
Suy ra
1
2
n
n
b) Xét 1 31 2 41 ( 1 2)
B
n n
+
Trang 8Ta có 2 1 32 2 42 ( 2 2) 1 13 12 14 13 15 1 12
B
n n
n n
+ +
1
suy ra
1
2
n B
n
= − ÷=
Bài 8*: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
= − ÷ − ÷ − ÷
Lời giải:
= − ÷ − ÷ − ÷= − ÷+ − ÷+ + − ÷
Suy ra
Suy ra
1 1
+
Suy ra
1 ln lnS 2 1
2
=
b) Đặt
Khi đó
1
n
Bài 9: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1 2 n
lim
+ + +
lim
+ + + + + + + +
Lời giải:
Trang 9a) Ta có
2
Suy ra
2
1 1
6
n
+
b) Ta có
n 1
n 1
n 1
1
3 2
+
+
+
−
−
= − ÷ − ÷ − ÷
a) Rút gọn un
b) Tìm limun
Lời giải:
a) Ta có
2
(1.3.3.5 (n 1)(n 1)).(2.4.2 (n 2).n n 1
b)
+ = + =
Bài 11:
a Chứng minh: n n 1 1(n 1) n = 1n − n1 1(∀ ∈n * )
b. Rút gọn u n =1 2 2 1 2 3 3 21 + 1 + + n n 1 1(n 1) n.
c. Tìm lim u n
Lời giải
Trang 10a. Ta có 1 1( 1) ( (1) (1) 1) ( (1 1) ( )( 1 1) )
+ −
1 1
n n
+ −
+ +
b. Áp dụng đẳng thức đã chứng minh được ở câu a, ta có:
c.
1
1
n
u
n
+
Bài 12: Cho dãy số ( )u n
1
1
1
1
1 2
u
=
a. Đặt v n =u n+1−u n. Tính v1+ + +v2 v n theo n
b. Tính u theo n n
c. Tìm lim u n
Lời giải
a. Ta có 1
v =u + − =u u + − =u
A
A v= + + + = +v v + + ⇒ = + + +
A
A
⇒ = + + + ÷ − + + + ÷= − ⇒ = −
b. Từ câu a, suy ra A v= + + + = − + − + + −1 v2 v n u2 u1 u3 u2 u n u n−1+u n+1−u n
1
n
i
=
1
2
u = − − =
được xác định bởi: 1 2 2 1 ( )
u + u + u n
Trang 11a. Chứng minh rằng: 1
1
2
u + = − u + ∀ ≥n
b. Đặt
2 3
v = −u
Tính v theo n Từ đó tìm lim n u n
Lời giải
1
2
u + + =u u +u − = u − +u − = = u + =u u + = ⇒u u + = − u +
2
3
v = − ⇒u v = u − ⇒ v = u + u − = u − u + = u − u +u − = −u u −
v = −u u − = − u − + −u − = − u − + ⇒ = −v u − + = − u − − = − v−
Từ đó, ta suy ra
u v
⇒ = + = − ÷ − + = − − ÷ ÷÷
Suy ra,
1
n n
u
−
= − − ÷ ÷÷÷=
a Chứng minh: 1( ) 1 1 ( *)
n
u
Trang 12c Tìm limu n.
Lời giải
a) Ta có: ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( )( ) )
1 1
+ −
1 1
n n
+ −
+
b) Áp dụng đẳng thức đã được chứng minh được ở câu a, ta có:
c) Ta có:
1
1
n
u
n
+
được xác định bởi: ( )
1
1
1
1
1 2
u
=
a Đặt v n =u n+1−u n Tính v1+ + +v2 v n theo n.
b Tính u n theo n
c Tìm limu n
Lời giải
a) Ta có: 1
1 2
v =u + − =u
A
A v= + + + = +v v + + ⇒ = + + +
A
A
⇒ = + + + ÷ − + + ÷= − ⇒ = −
b) Từ câu a, suy ra: A v= + + + = − + − + +1 v2 v n u2 u1 u3 u2 u n+1− =u n u n+1−1
1
1
2
u = − − =
Trang 13Bài 3: Cho dãy số ( )u n được xác định bởi: 1 2 2 1 ( )
u + u + u n
a Chứng minh rằng: 1
1
2
u + = − u + ∀ ≥n
b Đặt
2 3
v = −u
Tính v n theo n Từ đó tìm limu n
Lời giải
1
2
u + + =u u +u − = u − +u − = = u + = ⇒u u + = − u +
2
3
v = − ⇒u v = u − ⇒ v = u + u − = u − u + = u − u +u − = −u u −
v = −u u − = − u − + −u − = − u − + ⇒ = −v u − + = − u − − = − v −
Từ đó, suy ra:
= − = − ÷ = − ÷
1
1
n
u v
−
⇒ = + = − − ÷
Suy ra,
1
n n
u
−
= − − ÷ =