Day so co gioi han vo cuc

1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH TUYÊN QUANG1. GV: Nguyễn Thị Phương Anh.[r]

Trang 1

GV: Nguyễn Thị Phương Anh

Tổ Toán Tin - Trường THPT Chuyên

Trang 2

Xét dãy số (vn) với vn = 2n – 3 Tìm lim vn

KIỂM TRA BÀI CŨ Tìm giới hạn của các dãy sau:

Tìm giới hạn của các dãy sau:

1) Dãy số (un) với un =

2) Dãy số (un) với

1) Dãy số (un) với un =

2) Dãy số (un) với

2

n - 3n + 5 2n  1

n

1 u

2n 3





Đáp số: 1)

2

lim



2n 3  

Trang 3

Lớp học: 11 Lý

Trang 4

Dãy số có giới hạn +∞

1

Dãy số có giới hạn - ∞

2

Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

3

Trang 5

VD1:

Cho dãy số (un): un= 2n - 3

VD1:

Cho dãy số (un): un= 2n - 3

Cho M= 2010 Tìm n để un > M

M là số dương bất kì Ta có

thể tìm được n để un > M

hay không?

M là số dương bất kì Ta có

thể tìm được n để un > M

hay không?

Ta nói dãy số (un) có giới

hạn +∞

Ta nói dãy số (un) có giới

hạn +∞

Định nghĩa: Dãy số (un) có

giới hạn là +∞ nếu với mỗi số

dương tùy ý cho trước, mọi số

hạng của dãy số, kể từ một số

hạng nào đó trở đi, đều lớn

hơn số dương đó.

1 Dãy số có giới hạn +∞

Ta viết: lim un= +∞

hoặc un→ +∞

Ta viết: lim un= +∞

hoặc un→ +∞

Trang 6

Lấy M là số dương tùy ý

2 Dãy số có giới hạn – ∞

Nhận xét:

Hướng dẫn:

Nếu chọn n > M 2 ta có u n > M

Vậy

*) Định nghĩa

Định nghĩa: Dãy số (un) có

giới hạn là +∞ nếu với mỗi số

dương tùy ý cho trước, mọi số

hạng của dãy số, kể từ một số

hạng nào đó trở đi, đều lớn

hơn số dương đó.

Ta viết: lim un= +∞ hoặc un→ +∞

(sgk)

Ta viết lim un= – ∞ hoặc un→ – ∞

VD2: Áp dụng định nghĩa để chứng

minh lim

VD2: Áp dụng định nghĩa để chứng minh lim n 

Xét dãy số (u n ) với u n =

Xét dãy số (u n ) với u n = n

Xét u n > M  > M  n > M 2

Xét u n > M  > M n  n > M 2

lim lim lim

n n n

lim n 

D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

Trang 7

Nếu lim |u n |= +∞ thì lim

u n

u 1 n 1 =0 =0

*) Các dãy số có giới hạn +∞ và –∞

được gọi chung là các dãy số có giới

hạn vô cực hay dần đến vô cực

*) Các dãy số có giới hạn +∞ và –∞

được gọi chung là các dãy số có giới

hạn vô cực hay dần đến vô cực

Nếu lim|u n |= +∞ thì lim

|u n |

|u n 1 |

1

=?

VD4: Chọn đáp án đúng:

VD4: Chọn đáp án đúng:

Dãy số (un) với u n = (-1) n có giới hạn là:

a) 0 a) 0 c) + ∞

c) + ∞

b) – ∞

d) Không có giới hạn d) Không có giới hạn

*) lim u n = + ∞  lim(– u n ) = – ∞

Vì lim (2n-3) = + ∞

nên lim(-2n+3) = – ∞

Vì lim (2n-3) = + ∞

nên lim(-2n+3) = – ∞

VD3: lim (-2n + 3)= ?

VD3: lim (-2n + 3)= ?

2 Dãy số có giới hạn – ∞

*) Định nghĩa (sgk)

Ta viết lim u n = – ∞ hoặc u n → – ∞

Định nghĩa: Dãy số (u n ) có giới hạn

là +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho

trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ

một số hạng nào đó trở đi, đều lớn

hơn số dương đó

Ta viết: lim u n = +∞ hoặc u n → +∞

Hướng dẫn

*) Định lí

Trang 8

3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

 lim un  , lim( ) vn 

lim un lim vn lim( u vn n)



 

Ví dụ 5: Cho hai dãy số: un = 2n,vn = n, ta có

 lim un  lim(2n)=+ 

 lim( u vn n)  lim(2n.n) = lim(2n ) = + 2 

 lim vn  lim n   + D·y sè cã giíi h¹n v« cùc

Trang 9

Nếu lim u n = ± ∞ và

limv n = ± ∞ thì lim(u n v n ) được cho

bởi:

Nếu lim u n = ± ∞ và

limv n = ± ∞ thì lim(u n v n ) được cho

bởi:

lim u n lim v n lim(u n v n)

Nhận xét:

a) Quy tắc 1:

lim n k = với k*

lim n k = với k +∞ +∞ *

Trang 10

Ví dụ 6: Cho hai dãy số: un = 2n, , ta có

2

n

v

n

2

n

v

n

lim

(2

+

)

n

 lim( )  lim[2 (1  3 )]  lim(2  3) =+ 

2

n n

n

, ta có

n

n u

n

u

n v

n

3 , 2u n

n

Trang 11

b, Quy tắc 2: Nếu  lim un  , lim vn   L 0 Thì ta có

Dấu của L



 







c, Quy tắc 3:lim  0, lim 0

u L v hoặc v n  0 hạng nào đó trở đi

kể từ một số

và v n  0

Dấu của L Dấu của

n

v lim n

n

u v



 









Trang 12

3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

a, Quy tắc 2:

b,Quy tắc 3:

lim n

n

u v



 







limu n



 

lim( u vn n)



 

Ví dụ 8:

Tính

limu n  L 0, limv n  0

limu n , lim( )v n  L 0 3 2

1

a I   n  n 

Dấu của L

Dấu của L Dấu của v

n

Dấu của v n

3

3 3

1 2

n n

b I

n

n n

c I

n









? Nêu phương pháp chung tính các giới hạn dạng:

1 lim( k k k 1 k 1 0 ),

I  a n a  n   a n a kN

1

*

k k

a n a n a n a

b n b n b n b



Trang 13

1 *

1 lim( k k k 1 k 1 0 ),

I  a n a  n   a n a kN



1

lim[n a k( k a k a k a k )]

Nếu

1

)a k 0 I

1

)a k 0 I

* Chú ý 2: Phương pháp tìm:

1

*

1 1 0



Nếu

2

)k m I 0

2

m

a

k m I

b







k 2

m

k 2

m

a

b )

a

b

I



Trang 14

*Chú ý 1: Phương pháp tìm:

k m

a

b



 lim( k k  k 1 k 1   1  0),  *



 lim[n a k( k  a k 1   a k11  a0k )]

 ) ak  0  I 

*Chú ý 2: Phương pháp tìm:



1

*

1







k m k m

a

b )

a

b

I

k m

I

  ) k  m  I  0

Định lý:

Nếu lim|un| = +

thì lim = 0

Định lý:

Nếu lim|un| = +

thì lim = 0

n

1 u

Bµi häc cÇn n¾m ® îc

3) BA QUY T¾C T×M GIíI H¹N

V¤ CùC

Trang 15

 

– 3

– 3 2 2

– ∞

+ ∞

A)

2 2

2n + 1

2n + 1 là:

– ∞

+ ∞

A)

2 Kết quả của

2 Kết quả của –3n –3n 3 + 3n - 2 3 + 3n - 2

2 – 3n

lim

là:

 

2 3

1

5

4 KÕt qu¶ cña lim lµ :

n n

 

- ∞

A)

1 3

Trang 16

Bµi tËp cñng cè











5 T × m giíi h¹n cña d·y ( ) víi

1

6 T × m giíi h¹n cña d·y ( ) víi

7 T × m giíi h¹n cña d·y ( ) víi 1

8 CMR nÕu > 1 th × lim

n

Trang 17

Sách giáo khoa, trang 142 - 143

Trang 18

18

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	6,32 MB