Dãy số có giới hạn hữu hạn

2 Sử dụng định lí về các phép toán giới hạn, đưa về giới hạn của một số dãy số có giới hạn 0 đã biết... Củng cốQua tiết học này cần nắm những nội dung sau: 1.

1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn

nội dung bài dạy

VD 1: Cho dãy số (un) với un = 3+ (-1)n/n Biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số:

u2

u1

3,5

u5

2,8

u6

3,17

u7

2,86

u8

2)Nếu biểu diễn các số hạng trên trục số, khi n tăng thì khoảng cách từ u n đến 3 càng nhỏ, hay các điểm u n chụm lại xung quanh

điểm 3.

Kết luận:

1) Dãy số (un)nói trên có giới hạn bằng 3

1)Khi n tăng thì giá trị của các số hạng u n xấp xỉ gần bằng 3.

NX:

2) Dãy số (un) có giới hạn là 3  dãy

số (un-3) có giới hạn 0

lim u n = L  R lim (u n - L) = 0

Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có

giới hạn hữu hạn

lim u n = L  R lim (u n - L) = 0

Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có

giới hạn hữu hạn Muốn chứng minh dãy số (un ) có giới hạn

là L  R, ta chứng minh dãy số (u n - L) có giới hạn 0

Nhận xét:

Lim un = L  lim (un - L) = 0 hay ta núi

khoảng cách từ điểm un đến điểm L trở lên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn

nội dung bài dạy

1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn

lim u n = L  R lim (u n - L) = 0

Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có

giới hạn hữu hạn

Muốn chứng minh dãy số (un ) có giới hạn

là L  R, ta chứng minh dãy số (u n L) có –

giới hạn 0.

VD2: Cho dãy số (un) với un = Chứng minh rằng: lim un = 2

2 n 1

n

+

VD3: Cho dãy số không đổi (un) với un = c, (c

là hằng số) CMR: lim un = c

VD4: Dãy số (un), với un = (-1)n có giới hạn hay không?

Nhận xét: Nếu un=vn+L(L là 1 số thực) và limvn=0 thì lim un=L

1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn

lim u n = L  R lim (u n - L) = 0

Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có

giới hạn hữu hạn

2) Một số định lí:

Giả sử lim un = L, lim vn = M và c là

một hằng số Khi đó:

Lim (un+vn) = L + M

Lim (un- vn) = L - M

Lim (un.vn) = L.M

Lim (c.un) = cL

Lim ( nếu M ≠ 0)

n n

Giả sử lim un = L Khi đó:

a) Lim | un | = | L | và lim

b) Nếu un ≥ 0 ∀ n thì L ≥ 0 và lim

3 3

n

u = L

n

u = L

Định lý 2:

Định lý 1:

ýCác bước tìm giới hạn : 1) Chia cả tử và mẫu cho n có luỹ thừa cao nhất 2) Sử dụng định lí về các phép

toán giới hạn, đưa về giới hạn của một số dãy số có giới hạn 0 đã biết

 Cho các dãy số (un )có dạng

1

1

i j

p q

a b R i j N

a b

−

−

−

−



≠



VD 6: Tìm lim 4 34 3 32 5

n n

+ −

VD 7: Tìm lim 3 2 22

3 1

n

− + +

= 1/2

= 0

ýNX: lim u n =

p< q

p q

a b











nếu p = q

0 nếu

nội dung bài dạy 1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn

lim u n = L  R lim (u n - L) = 0

Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có

giới hạn hữu hạn

2) Một số định lí:

ý Các bước làm :

1) Chia cả tử và mẫu cho n có luỹ thừa cao nhất

2) Sử dụng định lí về các phép toán giới hạn, đưa về giới hạn của một số dãy số có giới hạn 0 đã biết.  Cho dóy s (u ố n ), v i: ớ 1 1 0 * 1 1 0 , ; , ;

; ,

0 i j p p p p n q q q q p q a b R i j N a n a n a u p q N b n b n b a b − − − − ∈ ∈  + + +  =  ∈ + + +  ≠  Giả sử lim un = L, lim vn = M và c là một hằng số Khi đó: Lim (un+vn) = L + M

Lim (un- vn) = L - M

Lim (un.vn) = L.M

Lim (c.un) = cL

Lim ( nếu M ≠ 0)

n n u L v = M Giả sử lim un = L Khi đó: a) Lim | un | = | L | và lim

b) Nếu un ≥ 0 ∀ n thì L ≥ 0 và lim

3 3

n

u = L

n

u = L

Định lý 2:

Định lý 1:

ýNX : lim u n =

p > q

p q

a b











nếu p = q

0 nếu

1

n n

u q

Do đó:

Vậy để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta cần xác định u1 và q

1

lim

1

n

u S

q

=

−

Củng cố

Qua tiết học này cần nắm những nội dung sau:

1 lim un = L  lim (un - L) = 0

3 Định lí 1 và định 2.

1

1

a b

−

−

−

−



≠



p > q

p q

a b











nếu p = q

0 nếu

1 1 1

1

u

q

−