Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : Giới hạn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups
Trang 1Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : Giới hạn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz
∞, hay
( ) lim ( )
P n
Q n với P(n) và Q(n) là các hàm đa thức thì ta chia cả tử và mẫu cho n
k
, với k lớn nhất
Dạng vô định ∞ − ∞, hay lim[P n( )−Q n thì ta nhân với lượng liên hợp và đưa về dạng ( )] ∞
∞
Bài 1: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
lim n +4n−n b lim( n+ −1 n)
lim n + + −5n 1 n −n
Bài 2: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a ( 2 )
1
c (3 3 2 )
lim n −2n −n d lim n−1( n+ −1 n)
Bài 3: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a (3 3 )
2
1
1
+ −
+ −
lim n −3n + −1 n +4n
Bài 4: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1
−
n
1
1
+ +
n n
2 3
+
+ +
n
2
1
+ +
n n
Bài 5: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3 3
3
1 1
1 2
+ −
+ −
n
n
3 1
− − +
n
c (2 )(3 )
( 1)( 2)
+
2 2
2
+
Bài 6: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
2
1 lim
1 3
n n
2
+
n
03 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
Trang 2c lim( n+ +1 n) d (3 2 3 )
lim n +n +n
Bài 7*: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1.3 3.5 (2 1)(2 1)
+
Bài 8*: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a)
+
Bài 9: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
lim
3
n
+ + +
2
2
1 2 2 2 lim
1 3 3 3
n
n
+ + + + + + + +
Bài 10*: [ĐVH] Cho dãy số (u n ) với u n =
= − − −
n
u
n , với mọi n ≥ 2
a) Rút gọn u n
b) Tìm lim u n
Bài 11*: [ĐVH]
n
u
c) Tìm lim u n
Bài 12*: [ĐVH] Cho dãy số (u n) được xác định bởi:
1
1
1
1 ( 1) 2
+
=
n n n
u
a) Đặt v n = u n+1 – u n Tính v 1 + v 2 + … + v n theo n
b) Tính u n theo n
c) Tìm lim u n
Bài 13*: [ĐVH] Cho dãy số (u n) được xác định bởi: 1 2
2 1
a) Chứng minh rằng: u n+1 = 1 1 1
2
u u , ∀n ≥ 1
3
= −
v u Tính v n theo n Từ đó tìm lim u n
LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
lim n +4n−n b lim( n+ −1 n)
lim n + + −5n 1 n −n
Trang 3Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : Giới hạn
Lời giải:
2
2 4
n
1
+ +
2
1 1
2
−
2
1 6
+
Bài 2: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1
lim n −2n −n d lim n−1( n+ −1 n)
Lời giải:
2
− +
b)
2
−
2
3
2
3
2 lim
−
n
lim
3
−
2
n
−
−
Bài 3: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
2
1
1
+ −
+ −
lim n −3n + −1 n +4n
Lời giải:
2
3 2
1
Trang 4b) ( ) ( ) ( )
2 3
3
0
3
+ +
− − + −
2
n
n
lim n −3n + −1 n +4n =lim n −3n + − −1 n 1 +lim n− −1 n +4n
3
3
− + +
Bài 4: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1
−
n
1
1
+ +
n n
c lim 2 2
2 3
+
+ +
n
2
1
+ +
n n
Lời giải:
Làm tương tự như các phần trên ta có được kết quả :
1
n
b) lim 1 1
1
n
n+ =
+
c) lim 2 2 2
2 3
n
n
+ =
+ +
d)
2
n
+
Bài 5: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3 3
3
1 1
1 2
+ −
+ −
n
n
3 1
n
− − +
c lim(2 )(3 )
( 1)( 2)
+
2 2
2
+
Lời giải:
a)
3 3
3
1 1
1 2
+ −
+ −
n
n
Đặt 6( 3 )
1
Trang 5Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : Giới hạn
Khi
3 3
3
1 1
2
t n
t
−
−
n
+
c) lim(2 )(3 ) 1
( 1)( 2)
d)
2
2
Bài 6: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a
3
2
1 lim
1 3
n n
2
+
n
lim n +n +n
Lời giải:
a)
3
2
1
1
1 3
1
n n
b)
2 1 1
1
+ −
n
n
c) lim( n+ +1 n)= +∞
d) (3 2 3 )
lim n +n +n = +∞
Bài 7*: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
1.3 3.5 (2 1)(2 1)
+
Lời giải:
a) Xét
A
Ta có
n A
Suy ra lim lim 2 lim 2 1
1
n A
n
n
b) Xét
+
B
n n
Ta có
B
Trang 6Suy ra
1
2
+
n B
n
n
Bài 8*: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
a)
= − − −
+
Lời giải:
a) Xét ln 1 12 1 12 1 12 ln 1 12 ln 1 12 ln 1 12
= − − − = − + − + + −
S
Suy ra ln1 ln3 ln2 ln4 ln3 ln5 ln 1 ln 1 ln1 ln 1 ln 1
S
Suy ra
1 1
+ +
S
n
Suy ra
1 ln
2
= S = =
2 2
1.2 2.3 ( 1) − + − + + −3 1= − 1 1
=
P
n n
n
n
Khi đó
1
n P
n
Bài 9: [ĐVH] Tính các giới hạn sau
lim
3
n
+ + +
2
2
1 2 2 2 lim
1 3 3 3
n
n
+ + + + + + + +
Lời giải:
1 2
+ + + =n n n = n n Suy ra
2
1 1
6
+
n
b) Ta có
1
1 2
1
1
3 2
+
+
+
−
n
n n
n
Bài 10*: [ĐVH] Cho dãy số (u n) với
= − − −
n
u
n , với mọi n ≥ 2
a) Rút gọn u n
b) Tìm lim u n
Lời giải:
n
u
( ) ( )
( )2
1.3.3.5 1 1 2.4.2 2 1
2.3
n n
Trang 7Khóa học TOÁN 11 – Thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề : Giới hạn
b) limn 1 lim 1 1 1
= + =
Bài 11*: [ĐVH]
n
u
c) Tìm lim u n
Lời giải:
1 1
+ −
1 1
n n
+ −
+ +
b) Áp dụng đẳng thức đã chứng minh được ở câu a, ta có:
n
u
1 1
1
n
u
n
+
c) lim lim 1 1 1
1
n
u
n
+
Bài 12*: [ĐVH] Cho dãy số (u n) được xác định bởi:
1
1
1
1 ( 1) 2
+
=
n n n
u
a) Đặt v n = u n+1 – u n Tính v 1 + v 2 + … + v n theo n
b) Tính u n theo n
c) Tìm lim u n
Lời giải:
v =u + −u =u + −u =
Khi đó 1 2
2
A= + + +v v v = + + + ⇒
2
= + + +
⇒
A
+
1
= + + + − + + +
2 2n+
2n
A
⇒ = −
b) Từ câu a, suy ra A= + + +v1 v2 v n =u2− + − + +u1 u3 u2 u n−u n−1+u n+1−u n
1
1
2
n
i
=
2n u n 2n u n 2n−
c)
1
1
2
= − =
Bài 13*: [ĐVH] Cho dãy số (u n) được xác định bởi: 1 2
2 1
a) Chứng minh rằng: 1 1 1
2
3
= −
v u Tính v n theo n Từ đó tìm lim u n
Lời giải:
Trang 8a) Ta có: 2u n+1+ =u n 2u n+u n−1=2u n−1+u n−2 = = 2u3+ =u2 2u2+ =u1 2 1 1 1
2
2
3
v =u − ⇒ v = u − ⇒ v = u + u − = u − u + = u − u +u − =u −u −
= − = − + − = − + ⇒ = − + = − − = −
Từ đó, ta suy ra
= − = − − = − = −
⇒ = + = − − + = − −
Suy ra,
1
n
n
u
−
= − − =
Chương trình lớp 11 trên Moon.vn : http://www.moon.vn/KhoaHoc/Lop11/