Bài tập cơ bản về giới hạn

PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ:A.. Định nghĩa: a Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở

PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ:

A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Định nghĩa:

a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu

un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi Kí hiệu:

c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c

3 Một số định lý về giới hạn của dãy số

a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : vn ≤ ≤ un wn n ∀ ∈ ¥* và

lim vn = lim wn = ⇒ a lim u = a

b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

4 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q < 1 lim lim 1

1

n

u S

q

=

−

5 Dãy số dần tới vô cực:

a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực ( un → +∞ ) khi n dần tới vơ cực ( n → +∞ ) nếu

un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi Kí hiệu: lim(un)=+∞

hay un → +∞ khi n → +∞

b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu lim( ) − un = +∞.Ký hiệu:

lim(un)=−∞ hay un→ −∞ khi n → +∞.

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1 Giới hạn của dãy số (u n ) với ( )

( )

n

P n u

Q n

= với P,Q là các đa thức:

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì rút

nk ra đơn giản và đi đến kết quả: ( ) 0

0

b

o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(un)=0

o Nếu k = bậc P > bậc Q, rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(un)=∞

2 Giới hạn của dãy số dạng: ( )

( )

n

f n u

g n

= , f và g là các biển thức chứa căn.

o Rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp

o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp

n n

n 2 n 3Lim

d ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1Lim

7n -3Lim

6n -2n 1Lim

 + 

 − ÷

3 4Lim

1 Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới

hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn∈K và xn ≠a ,∀ ∈ n ¥* mà

lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:lim ( )

x a f x L

→    =  .

2 Một số định lý về giới hạn của hàm số:

a Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

b Định lý 2:Nếu các giới hạn:lim→   ( )   = , lim→   ( )   =

2 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:

a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có

lim[f(xn)]=∞ thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: lim ( )

chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a ∀ ∈ n ¥ * thì ta nói hàm số có giới hạn bên

trái tại a , kí hiệu: lim ( )

x a− f x

→    

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2

Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp

3. Giới hạn của hàm số dạng: lim→∞  ( ) ( ) ( ) .   0. ∞

C CÁC VÍ DỤ:

( )

2 2

x -1

2x + 3x +1 Lim

1 1 3 1 2 2 x 4 x

1 x 3 x 2

2 2

−+

−

−

+

−+

d ( )( ) 6

13

13

3

39

3

3 3

+

=+

x Lim

x x

x

13

13

3

39

3

3 3

−

=+

x Lim

x x

4

x Lim

x Lim x

2

x x

2

x x x

Bài giải.

3 x 5 x Lim 3

x

15 x 2 x Lim

3 x 3

x 3

x

2

=+

=+

=

−

−+

Bài 4 Tính các giới hạn sau: (Dạng

+

+∞

3x2xLim 2

x

121Lim

++

−∞

3-7x

3

x x

BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính các gới hạn

x 2

3x 2 x 2lim

1) lim x+1 - x ; 2) lim x + x+1 - x ; 3) lim x +1+ x -1 ;

4) lim 3x + x+1 - x 3 ; 5) lim 3x + x+1+ x 3 ; 6) lim 2x +1+ x ;

7) lim x + x - x +4 ; 8) lim x +1 - x ; 9) lim x +2x+4 - x - 2x+4 ;

Bài 11: Cho hàm số ( ) =  − ≥ −



3 2

x khi x< -1

f x

2x 3 khi x 1 Tìm x 1lim f x , lim f x vµ lim f x→− ( ) x 1→+ ( ) x 1→ ( ) (nếu có)

Tìm x 3lim f x , lim f x vµ lim f x→ − ( ) x 3 → + ( ) x 3 → ( ) (nếu cĩ).

Bài 15: Tìm giới hạn một bên của hàm số ( )

→    =  .Điểm x0 tại đĩ f(x) khơng liên tục gọi là điểm

gián đoạn của hsố

o f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0∈ (a;b)

o Hàm số đa thức liên tục trên R

o Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

o Giả sử

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

· Ham so y  lien tuc tai x neu g x 0

f x y g x liên tục tại điểm x

Khi đó Các hàm số y f x g x y f x g x liên tục tại x

f(c) =0

o Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x)

= 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (a; b)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1 Hàm số liên tục tại điểm: = ( ) ⇔ → =

2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) trên một khoảngta thực hiện như sau:

* Kết luận chung về hàm số có liên tục trên khoảng hay đó hay không

3 Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a;b) và

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x a f x f a x b f x f b

4 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm:

Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm như sau : B1: Đặt y = f(x)  hàm số liên tục trên (a;b)

x

Lim

1 x 1

1 x Lim 2

1 3 x

1 Lim )

3 x )(

1 x (

1 x Lim

3 x 2 x

1 x Lim

1 x 1

x 1

=+

=+

=+

−

−

=

−+

−

⇒

+

→ +

→ +

→

c Lim f(x) Lim (2x - 1) 1

1 x 1

d Lim f(x) Lim (x 3) 4.

1 x 1

x

=+

=

+

→ +

→

e Lim f(x) Lim (2x - 1) -7

-3 x -3

x x

3 x Lim f(x)

-3 x -3

x

=+

−+

+

=

+

→ +

Limf(x)

→ 1 x

Limf(x)

;

1 x

x

1

11.212Lim)

(Lim

1 x 1

x x

f

a2 x→1- tức là x<1, khi đó f(x)=5x+3 Vậy Lim ( ) Lim(5 3) 5.1 3 8

1 x 1

x

=+

=+

f

−

→ +

x

Limf(x)Limf(x)

không tồn tại

1 x

Limf(x)

→ f(1)=5.(1)+3=8

b1 x→1+ tức là x>1, khi đó

1-x

2)

1(Lim1

x

-2Lim

)(Lim

1 x 1

x 1

x 1

x

2

=+

=+

→ +

→ +

→

x x

x x x

x x

f

b2 x→1- tức là x<1, khi đó f(x)= x2 +x+1

Vậy Lim ( ) Lim( 2 1) ( )12 1.( )1 1 3

1 x 1

x

=++

=++

Vậy Limf(x) Limf(x) 3 Limf(x) 3

1 x 1

x 1

Bài 3 Xét tính liên tục của các hàm số sau lại x 0 =1 :

a

2 1, khi x 1

11.212Limf(x)

1 1

→

x Lim x

1

2Limf(x)

2

1 1

−

−+

=

→

x x Lim x

( 2) 2

2Limf(x)

0 0

12)0(Limf(x)

16)

(

4 4

4 4

2

=+

=+

=

−

−+

x Lim x

f

Lim

x x

x x

Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi

2

78

12)4(f(x)Lim

2)

(

1 1

1 1

−+

=+

x x Lim x

f

Lim

x x

x x

Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi xLim-1f(x)= (−1)⇔ +1=−3⇒ =−4

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1: xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra :

1

víi x=02

a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1;

b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1;

− liên tục trên khoảng (-1; 1)

c)Hàm số f(x)= 8 2x− 2 liên tục trên nửa khoảng [ ;1 )

Bài 3: Giải thích vì sao:

a)Hàm số f(x)=x sinx-2cos x+32 2 liên tục trên R

b)Hàm số g x( )= x3+xcosx+sinx liªn tôc trªn

mx khi x 12

trên R.