Chuyên đề tích phân

CÁC PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.

CHUYÊN TÍCH PHÂN

Nh các em đã bi t, trong kì thi Trung h c ph thông qu c gia, câu h i liên quan đ n tích phân là câu h i không th thi u trong đ thi môn Toán Sau đây, Hocmai.vn xin đ c gi i thi u cho em các h c sinh trên toàn qu c nh ng gì c b n nh t c a chuyên đ này

Ti p theo, xét m t hình ph c t p h n mà nó đ c bao b i c đo n th ng l n đ ng cong, ta c ng chia

nó thành các hình nh h n, nh ng bây gi k t qu có thêm các hình thang cong Tích phân giúp ta tính đ c

di n tích c a hình thang cong đó

2 Công th c tính

Cho f x  là hàm liên t c trên đo n [a,b] có nguyên hàm là (x)F

Khi đó công th c tính tích phân là:

x x

CH NG TRÌNH KHAI TEST U XUÂN 2015

TÀI LI U MI N PHÍ MÔN TOÁN

11

2 2

II CÁC PH NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Ph ng pháp bi n s ph

Cho hàm s f(x) liên t c trên đo n  a;b có nguyên hàm là F(x)

Gi s u(x) là hàm s có đ o hàm và liên t c trên đo n , và có mi n giá tr là  a;b thì ta có :

1

x x

e

dxe

e

x

dxxI

1 3

ln1

Bài làm :

a) t

22

1

xdxxdx

dtx

10

tx

tx

2

1ln2

12

11

2

1 2

1

2

1 2

xdxI

11

2

etx

etx

1

1

1 1

1 1

0

2

2 2

dxeI

e

e e

e x

x

xtdtx

tex

tx

)122(3

23

2ln

1 2

1

2 3

1

x

dxx

I

e

cos 2 (cos s inx)(cos s inx)

cos.sin.Cách làm :

1

1cos1

2sin

2tan

t

txt

txx

D ng 4 :  



dxxdxc

xbxa

cos.sin

cos.sin

Cách làm :

t :

xdxc

xdxcBAxdxc

xbxa

cos.sin

)sin.cos.(cos

.sin

cos.sin

D ng 5:   



dxnxdxc

mxbxa

cos.sin

cos.sin.Cách làm :

t :

nxdxc

Cn

xdxc

xdxcBAnxdxc

mxbxa

.sin

)sin.cos.(cos

.sin

cos.sin

)1(sin

10

tx

tx



V y :

24

73

1)

1(sin

1 3 2

1 4 2

00

tx

tx

25

21

1cos

1

0

1

0 3 5

2 2

0

5 2

dtttdt

txdx

00

tx

tx

1

cos.sin

cos.sin



dxxb

xa

xx

0

2

2cos2cos



dxx

2

0

btx

atx

2 2

b b

a a

00

tx

tx



32

cos2cos

t

dtt

dtdx

x

xI



2

3cos

3

20





ut

ut

4

1



dxxx

0 2

5cos3sin4

6cos7sin



dxxx

xx

2

tan2

xdt

xt

00

tx

tx

sin3cos45

cos3sin

4

6cos7sin

Cx

x

xx

BAx

x

xx

9ln25

cos3sin

4

ln

5cos3sin4

15

cos3sin4

sin3cos415

cos3sin

4

6cos7sin

1 2 0

2

0 2

xx

dxx

xx

x

xx

dxxx

xx

I

Bài t p t luy n :

0 3

2sin



x

dxI

sin

4



dxx

x

0 5

3cos2sin

1



dxxx

0 6

3cos2sin

1cossin



dxxx

xx

1

v i  a,n CN 0,1 ta có :

N u n ,1 aR ta có : x C

ax

,,,,

2

acb

Rcba

dxb

aa

dxcbxax

baxa

dxcbxax

b

abax

a

I

2 2

2

22

22

22

n n

n

t

dta

adxcbxax

dxI

2

12

xPI

b

axax

ax

Q

x

P

n n

m m n

xRxAxQ

xP

n

r n

m n

n n

x m

ax

Aa

x

Aa

x

Aa

i n

i

i i

m

ax

A

ax

xP

1 1

Ví d 1b :  

 2 2

))(

)(

Dc

x

Cbx

Bax

Ac

xbxax

n n

n m

cbxax

BxAc

bxax

BxAc

bxax

BxAc

bxax

xP

1 1

2 1 1

i i n

m t

cbxax

BxAx

Ac

bxaxx

xP

Ac

bxaxx

1 1 2

2

cbxax

CxBc

bxax

CxBx

Ac

bxaxx

2

23xx

0 1

12

12

dxx

x

dxx

1

0

2 2

2

21

22

11

12

1

33x

x

dx

I b) 1     

0 2 2

21

24

dxx

ax

dx

I0 2 2 1arctan v i a 0

xx

xx

dxx

2 2 1

12

1313

3

9 2 3

23

arctan3

1arctan

       2  1 

22

12

12

2

4

2 2

ACCBxBAxx

CBxx

Ax

02

42

0

CBA

AC

CB

BA

2

1

22

22

1

24

dxx

xx

dxx

32xx

dx

xx

2

3

2 4 3

2

3x dxx

Bx

Ax

x

x

b)

31

32

1

Bx

Ax

41

x

xx

x

x

d)

22

11

2

3 2

Dx

Cx

Bx

Ax

xx

10

tx

tx

V y :     0    

1

1

0 1

0

11

x

2.Ch ng minh r ng n u f(x) là hàm l và liên t c trên đo n a,a thì :

f

Bài làm :

     1)

atax

xf

t t

x

a

tfadta

tfdxa

1

xfdxa

xfadxa

xf

x x

xfdxa

xfdx

a

x

f

x x

x

.sin

T bài toán trên , các em có th m r ng bài toán sau

N u hàm s f x liên t c trên  a,b và fabx f x Thì ta luôn có :



0

2

5.Cho hàm s f x liên t c,xác đ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T

Ch ng minh r ng : aT     

a

T

dxxfdxxf

a

T a

x

f

0 0

V y ta c n ch ng minh a   aT  

T

dxxfdxxf

Tt

T

dttfdtTt

f

0

(đpcm)

T bài toán trên , ta có h qu sau :

N u hàm s f x liên t c,xác đ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn có :

0

2

2

9

sin

dxx

xx

I d)  

0

2 4

cos1

sin

dxx

xx

1

sindxx

xx

* u tiên1: N u có hàm ln hay logarit thì ph i đ t ulnxhay uloga x

e

xdxI

evdx

edv

dxdux

u

0 1

0

1 0 1

xdxdv

xdxdu

xu

sincos

2

2

4sin

.2cos

2

0 2

0

2 2

xdxx

xxdxex

Ta đi tính tích phân 2

0

sin



xdxx

xdxdv

dxdux

u

cossin

V y : .sin cos cos cos sin 2 1

0 2 0 2

0

2 0 2

xxdxx

Th vào (1) ta đ c :

4

8

2 1

0 1

dv

dxxdux

1 1 1

e e e

xxxdxx

xxdxI

cos



dxx

xdxdv

dxedue

cossin

0 0 0

xdxdv

dxedue

sincos

V y : J ex xdxex x ex xdxI

0 0 0

sin.sin

.cos

Th vào (1) ta đ c :

2

11

2 1    1   

Ie

dxxdv

dxdux

u

tancos

ln4tan

tan.cos

4 0 4

0

4 0 4

xxdxx

xI

dv

dxxx

dux

V y : I  xdx x  x  xdx e  J

e e e

dv

dxxx

dux

1 1 1

3 sin lnxdx x.sin lnx cos lnxdx 0 I

I

e e e

Th vào (1) ta đ c :  

2

11

2 3    3   

Ie

1

e

dxxx

I f)   

e

dxxI

I h)  2 

0

7

cos1

sin1



dxex

I ta đi xét d u f x trên đo n  a,b , kh tr tuy t đ i

Mu n tính b      

a

dxxgxf

I max , ta đi xét d u f   x g x trên đo n  a,b

Mu n tính b      

a

dxxgxf

I min , ta đi xét d u f   x g x trên đo n  a,b

1

2 4

2 2

1 4

1

22

22

122

0 2 2

2.Tính 1 

0

dxaxx

1

12

3

aax

xdxaxxdxaxx

1

0

223

1323

2

3 2 1

3 2

0

3 2

aax

axx

1

12

3

aax

xdxaxxdx

axx

Bài làm :

a) Xét hi u s : 1x2 x 0,2 v y:  

3

43

,1

2

0

3 2

1 1

0 2 2

0

2

1  x dxx dxdx x x I

b)Xét hi u s : xx1 x 0,3 t ng t nh trên ta có:

 

6

553

2,

max

3

1

3 1

0

2 3

1 2 1

0 3

0

2

dxxxdxdx

xx

33

3

2

1

3 2 1

0

3 2

7 Nguyên hàm , tích phân c a hàm s vô t

Trong ph n n y ta ch nghiên c u nh ng tr ng h p đ n gi n c a tích phân Abel

acbxax

1,, T i đây , đ t t tanu

acbxaxa

x ax bx cdx St t dt

R

b

a x t

1,, T i đây , đ t tsinu

40

acbxaxa

x ax bx cdx St t dt

R

b

a x t

1,

u

tsin

bxaxx

2 2

at

xac

bxax

cbxaxx

xtcbxax

ccxtcbxax

bax

74xx

dxI

2

37

dtx

x

dx

12

2

xxx

dxI

2 2

1

132

1

4

32

1

t

dtt

t

x

xdxx

x

xdx

Cx

xx

x

x

Ct

tt

dtt

tI

1ln2

11

1ln

2

112

31

13

2

1

2 2

2 2

tt

dtx

21

2

C

xC

11

2 3 5

116

61

dttx

x

dxI

xdx

x

xxx

2

12

11

11

2 1

 11

2

12

1

dxx

xx

t

xx

x

2 2

1

21

11

V y :

 t OK

dttdx

x

x

x

x t

12

txt

x

2 2

2

2

92

4 2

2

4 2

txt

x

2 2

2

2

42

2

4 2

2 1

dxx

02

1



tx

tx

0 2

0 2

12cos18

1cos

tx

tx

2 2 8

3

2

1

21

2

dtt

t

tdtdx

xx

dxI

4x

dxI

d)I4  1x2dx d)    

dxx

xI

11

11

1

2 6

x

c)1     

0

21

11

11

2ln1ln2

1ln1

1ln

o hàm :  

2 2 2

11

0

11

xx

xx

2

11

11111

1 x xdx (đpcm)

2.Ch ng minh r ng :

e

dxx

x

e x

121

sin

3

1 2

1 2

1

11

sin

dxx

e

dxx

41





tx

tx

x

c)

8

24

6

3

6

3 2

0

2 1

0

g xdx f xdx g xdxx

f

11

x

e x

III M T S NG D NG C A TÍCH PHÂN

D ng bài ng d ng tích phân r t đ c a chu ng trong kì thu THPT qu c gia, đ làm đ c d ng bài này các em chú ý cách tính tích phân cho thành th o, c ng thêm m t chút hi u bi t v cách v đ th hàm s Trong ph n ng d ng, ta ch có nh ng d ng bài chính là: tính th tích và tính di n tích, đ dài đ ng cong ,… Sau đây ta đi tìm hi u c th t ng v n đ

bxx

2 Tính th tích :

 N u di n tích S x c a m t c t v t th do m t ph ng vuông góc v i tr c t a đ , là hàm s liên t c trên đo n  a,b thì th tích v t th đ c tính :

 xdxfV

y

bxa

T ng t ta c ng có th tính th tích v t th quay quanh Oy

3 Tính đ dƠi cung đ ng cong tr n:

N u đ ng cong tr n cho b i ph ng trinh y f x thì đ dài đ ng cung nó đ c tính nh sau :

 y dxl

2 2

xRy

Ry

4

t : xRsint  dxRcostdt

tx

tRx

tx

V y :

dvdt

Rt

xR

dttR

tdtRtR

S

2 2

0 2

2

0 2 2

0

2 2

2sin2

12

2cos12cossin

4

4

2 1 2

2 1 2 2 1 2

xx

x

kx

x

kx

2 2

2

a

xay

ayxyxa

nax

a

xay

y

x

00

naxa

xay

aaxx

a

xay

ay

x

00

2 2

2

aa

xy

axy

a

xay

yax

Hocmai.vn xin chúc các em kh i 10, kh i 11 có m t n m m i thành công t t đ p !

Các em kh i 12 thành công vào c ng tr ng đ i h c !

Ngu n : Hocmai.vn s u t m

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng