Chuyên đề thể tích khối đa diện

Thể tích của khối chóp S.ABC thay đổi hay không nếu :a/ Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC b/ Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

HÌNH HỌC LỚP 12 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC NÂNG CAO

( Bài tập từ trang 28 đến trang 36 )

Bài 15 Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi Thể tích của khối chóp

S.ABC thay đổi hay không nếu :a/ Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC b/ Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy c/ Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với mặt phẳng (ABC)?

Bài 16 Hãy chia khối tứ diện thành 2 khối tứ diện sao cho tỷ số thể tích của hai khối tứ

diện này bằng một số k cho trước ( k>0)

Giải

Gọi B là diện tích đáy BCD của khối tứ diện ABCD.M là điểm chia CD theo tỷ số k và

AH là đường cao của khối tứ diện Khi đó ta có :

.

1 .3

Vậy : M chính là điểm chia thỏa mãn yêu càu bài toán

Bài 17 Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' , biết rằng AA'B'D' là khối tứ diện đều

60

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

b/ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

Giải

Do tam giác ABC vuông tại A cho nên

AA'C'C '

BAAC BA  BAAC Vì thếAC' là hình chiếu của BC' trên mặt phẳng(AA'C'C) suy ra góc BC'A bằng 300 Trong tamgiác vuông ABC ta có 0

' cot 30 3 3 3

AC AB b  b BC'=2AB=

2b 3Trong tam giác BCC' ta có :  2  2 2 2

CC  BC  BC  b  b  b Vậy thể tích khối lăng trụ là :

Bài 20 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a , điểm A'

cách đều ba điểm A,B,C , cạnh AA' tạo với đáy một góc bằng 600

a/ Tính thể tích khối lăng trụ b/ Chứng minh mặt bên BCC'B' là hình chữ nhật c/ Tính tổng diện tích các mặt bên ( gọi là diện tích xung quanh )?

Giải

a/ Vì A' cách đều các điểm A,B,C cho nên hình chiếu vuông góc H của A' trùng với tâm đáy Nhưng đáy lại là tam giác đều vì vậy H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp , trọng tâm tam giác ABC : 2 3 3

60

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Trong tam giác AHA' có A'H=AH 0 3

c/ Tính diện tích xung quanh

Ví AH=a cho nên tam giác AHA' là một nửa tam giác đều cạnh bằng 2a : AA'=2AH=2

Bài 21 Gọi M nằm trong tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ

M đến bốn mặt của tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M Tính tổng

đó bằng bao nhiêu nếu các cạnh của tứ diện đó bằng a

Giải

Gọi V là thể tích của tứ diện Nếu tứ diện đã cho là

cố định thì V không đổi Gọi

Bài 22 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' Gọi M là trung điểm của AA' Mặt

phẳng đi qua M ,B'C' chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần đó ?

A

B

C

D M

H

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Gọi cạnh tam giác đều bằng a ( BC=a ), chiều cao tam giác đều bằng h : AH=h , ta có :

Bài 23 Cho khối chóp S.ABC Tren ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm

A',B',C' khác với S Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và

Giả sử ta vẽ hình như bên Gọi

H và H' lần lượt là chân đường

1' '. '.sin ' ' ' ' ' '

dạng với tam giác SAH suy ra :

Bài 24 Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm cạnh SC ,

mặt phẳng (P) qua AM , song song với BD chia khối chóp thành 2 phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

C'

CH'

H

Giao hai đường chéo là O AM cắt SO tại I , kẻ qua

I đường thẳng song song với BD cắt SB và SD tại F

và E Như vậy thiết diện mà (P) cắt khối đa diện là

Vì M là trung điểm của SC cho nên I là trọng tâm

của tam giác SAC suy ra : 2

3

SE

SO  (1)Nếu EF // BD thì ta có tỉ số :

23

SDSB SO  do (1) Theo bài 23 , ta có : 1

0

2 2 4 1

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB và

AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành 2 phần Tính thể tích mỗi phần đó

Giải

Gọi tứ diện là khối chóp C.ABD , thì S là diện tích của

đáy ABD , h là chiều cao CH ( kẻ từ C xuống mặt

F

O I

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Mặt phẳng ( CB'D') chia khối chóp thành 2 phần có thể tích là V C AB D ' ',V C BB D D ' ' hai khối chóp : C.AB'D' và C.BB'D'D có cùng chiều cao và ' '

Bài 2.( Tr-31-HH12NC) Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Chứng minh rằng 6 trung

diểm của 6 cạnh AB,BC,CC',C'D', D'A' và AA' nằm tren một mặt phẳng và mặt phẳng đóchia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau

Giải

Gọi O là giao hai dường chéo của hình hộp Ta thấy MN và RQ cùng song song với AC

và A'C' cho nên MNQR là hình bình hành suy ra MQ

và NR cùng đi qua O ( giao hai đường chéo ) Tương tự

NP và SR cũng cùng song song với BD cho nên NPRS

cũng là hình bình hành cho nên NR và PS cùng đi qua

O Hay nói một cách khác là 6 điểm M,N,P,Q,R,S

cùng thuộc một mặt phẳng

Do O là tâm của khối hộp , đồng thời O cũng là tâm của

các hình bình hành vừa chỉ ra ở trên Cho nên O chính là

tâm đối xứng của hình hộp chính vì vậy (P) chia khối

hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau ( ĐPCM )

Bài 3 (Tr 31-HH12NC)

Cho khối tứ diện ABCD, E , F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD Hai mặt phẳng ABF và CDF chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện

a/ Kể tên 4 khối tứ diện đó ?

b/ Chứng tỏ 4 khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau

c/ Chứng tỏ rằng nếu khối tứ diện ABCD là khối tứ diện đều thì 4 khối tứ diện nói trên bằng nhau ?

Giải

a/ Các khối tứ diện là BCFE, ADFE, BDFE và

CAEF

b/ Ta có nhận xét sau :

- Khối tứ diện BCFE có thể coi là khối chóp E.BCF

và khối tứ diện BCFE ta cũng coi như khối chóp

E.BDF Hai khối chóp này có cùng chiều cao ( là

khoảng cách từ E đến mặt phẳng BCD) và hai đáy có

diện tích bằng nhau vì thế cho nên hai khối chóp này

có thể tích bằng nhau V E BCF. V E BDF. (1)

- Tương tự hai khối chóp E ADF và E.ACF cũng có

cùng chiều cao ( khoảng cách từ E đến ADC) và diện

tích hai đáy ADF và ACF bằng nha cho nên V E ACF. V E ADF. (2)

Mặt khác : Gọi H' là hình chiếu của E trên (BCD) và H là hình chiếu của A trên (BCD) thì EH' bằng 1/2 AH suy ra .

S O

A

B

D

C E

F

Tương tự ta cũng chứng minh được : .

14

Tóm lại 4 khối tứ diện có thể tích bằng nhau và bằng 1/4 thể tích khối tứ diện

c/ Nếu ABCD là khối tứ diện đều thì (ABF) và (CDF) là hai mặt đối xứng :

Trục EF biến C thành D và biến D thành A cho nên đã biến BCEFF thành DAEFF tương tự biến ACEFF thành BDEFF vì thế 4 khối tứ diện bằng nhau

Bài 4 ( Tr31-HH12NC).

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng S và AA' =h Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA',BB' CC' lần lượt tại A B C1, ,1 1 Biết :BB1 b, AA1 a CC, 1 c

a/ Tính thể tích 2 phàn của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng (P)

b/ Với điều kiện nào của a,b,c thì thể tích hai phần đó bằng nhau ?

( Với x là cạnh của tam giác ABC)

Tương tự cách tính trên , thì thể tích khối trụ còn lại là :

     

1 1 1

1' ' '

3

VA B C A B C  B h a   h b  h c  1 3  

     b/ Nếu hai thể tích đó bằng nhau thì :

Gọi V' là thể tích khối chứa cạnh AA' , còn V'' là

thể tích còn lại Thì (B'C'M) cắt (ABC) theo giao

tuyến MN song song với BC

H

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

- Vì SA=a =AB=BC cho nên tam giác ASB là tam

giác vuông cân suy ra AB' SB

a/ Thể tích khối chóp S.ABC là V thì :

3 2

C'

Như ta đã biết , hình lập phương có 6 mặt bằng nhau cho nên diện tích S của một mặt là 96: 6 = 16 Mặt khác kích thước của 1 cạnh hình vuông là x2 16 x4.

Vì vậy thể tích khối lập phương là : 16.4=64 ( đvtt ) Đáp án A là đáp án đúng

Một khối trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 37,13,30 và diện tích xung quanh bằng

480 Khi đó thể tích khối lăng trụ là :

Giải

Từ giả thiết : 480= h( 37+13+30) suy ra h=480 6

80  Vậy thể tích khối lăng trụ là :V=6 40 40 37 40 13 40 30         6 40.3.27.10 6 9 20 2 2 6.180 1080

Nếu cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 300, thì chiều cao h = 8.sin300, hay h=4 Khi

đó diện tích tam giác đáy là : S= 21 21 13 21 14 21 15          21.8.7.6 84

Vậy thể tích V=84.4= 336 Cho nên đáp án B là đúng

Bài 18.(Tr33-HH12NC)

Đáy của một hình hộp đứng là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn củađáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp Khi đó thể tích của hình hộp là :

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

2

a a

 Xét tam giác vuông có cạnh huyền bằng đường chéo nhỏ của hình hộp , hai cạnh góc vuông là chiều cao h với đường chéo nhỏ của hình thoi , ta có :

a

C 3 23

a

D 3 32

a

Giải

Như bài 18 , đáy hình thoi là tạo bởi hai tam giác đều

cạnh a ( Vì góc nhọn bằng 600).Qua hình vẽ bên ,

cùng với giả thiết cho các mặt đều là hình thoi ta suy

ra A'O là đường cao của khối hộp

Với A'O = AA' 3 2 23 3 3

a

Giải

O A

A'

Khi đó cạnh của khối 8 mặt đều là đường trung bình của tam giác mà có hai cạnh bên là hai đường chéo của hai hình vuông , cho nên chiều dài của nó là : 1 2

2a Tâm của hình lập phương cũng chính là tâm đối xứng của khối 8 mặt

Chiều cao của khối 8 mặt ( hay trục đối xứng của nó ) chính là đoạn thẳng nối 2 tâm của hai hình vuông hai đáy Vì thế khoảng cách này bằng cạnh hình vuông : a

a

C 3 26

a

D 3 324

a

Giải

Từ giả thiết , cạnh của khối 8 mặt đều là đường trung bình của tam giác các mặt tứ diện cho nên nó có chiều dài là a/2 Diện tích của mặt đối xứng là một hình vuông cạnh bằng a/2 Trục đối xứng có chiều dài bằng chiều dài đường trung bình của tứ diện và bằng :

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

C

2tan12

D

3tan4

2 1

1 cot cot

2 2

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Ta có kích thước của khối hộp là a,b,c Thể tích của

khối hộp là V=abc (1) Coi B' làm đỉnh thì khối tứ

diện ACB'D' là khối chop B'.ACD'

C D

C' D'

O

Bài 4.(Tr25-HH12CB)

Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A',B',C' khác với S Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C' Chứng minh rằng : ' '. '. '

V SA SB SC

Giải

Giả sử ta vẽ hình như bên Gọi H và H'

lần lượt là chân đường cao kẻ từ A và

A' xuống mặt phẳng SBC Gọi góc

giữa SB và SC là   SB SC;  

Ta có : ' ' '

1 ' '3

1' '. '.sin ' ' ' ' ' '

A H SA Thay vào (1) :

Từ giả thiết AB=a và CD=a , tam giác ABC vuông

cân tại A suy ra tam giác CAD là tam giác vuông cân

tại C Mặt phẳng qua C vuông góc với BD , thì từ C

kẻ CF vuông góc với BD Trong mặt phẳng (ABD) kẻ

FE vuông góc với BD cho nên mặt phẳng qua C chính

DC DB  DB DB Hay :

A

C

B H

A

B C

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

3 2

Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d' Độ dài đoạn thẳng AB=a trượt trên đường thẳng

d , đoạn thảng CD có độ dài bằng b trượt trên đường thẳng d' Chứng minh rằng thể tích khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi

Giải

Gọi MN =h là đoạn vuông góc chung

của hai đường thẳng d và d'  là góc

hợp bởi giữa hai đường thẳng d với d'

- Diện tích đáy BCD là S , thì S=1

2bh.Chiều cao từ A xuống đáy là AH Khi

đó chiều dài AH = a.sin

- Vậy thể tích khối tứ diện là V :

OH là đường cao của chóp O.ABC kẻ từ O

Tam giác vuông OBC : 1 2 12 12

B

CM

Ha

b

c

Hình chiếu của S trên đáy trùng với tâm đáy

Vì đáy là tam giác đều suy ra hai tam giác

Mặt khác SABDC  SADM , cho nên SD là đường cao của chóp S.BDC

3 33

324

Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a và CA=7a Các mặt bên

SAB,SBC ,SCA tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó

Giải

Do các mặt bên ngiêng đều với đáy một

góc cho nên hình chiếu của S trên đáy trùng

với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Suy ra BH là phân giác góc B Mặt khác ta

M

Oa

S

A

CH

0

605a

6a7a

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Vì vậy ta chỉ kẻ B'C'SC và nối C'D' ta được thiết

diện của (AB'D') cắt chóp : AB'C'D'

Các tam giác : SB'A và SAB , SD'A và SAD dồng

D'C'

a

b

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Gọi M là trung điểm của SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích khối chóp S.AEMF ?

Giải

- Nối AM cắt SO tại I Kẻ qua I một dường

thẳng song song với BD cắt SB tại E và cắt SD

tại F Nối EF và MF ta có thiết diện tạo bởi (P)

qua AM và // BD

Tam giác SEF ~SBD suy ra : SE SF SI

SB SD SO(*)

Vì M là trung điểm của SC và O là trung điểm

của AC suy ra I là trọng tâm của tam giác SAC ,

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a

a/ Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C ?

b/ Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE ?

A BB C C A BB

a

b/ Vì A'B' song song với mặt phẳng (ABC) cho

nên mặt phẳng qua A'B' và trọng tâm G sẽ cắt

(ABC) theo giao tuyến qua G và song song với

AB , cắt AC tại E và cắt BC tại F Kéo dài B'F và

A'E chúng đồng quy tại S

E

FM

0

60I

CA

BG

C'A'

FE

S

M

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB'

và Đ' Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm 2 khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đó

A'D' tại M và N Suy ra

(CEF) cắt khối hộp theo

thiết diện là CEMNF

Ta xét khối đa diện chứa

a/ Tính thể tích khối tứ diện ADMN ?

b/ Mặt phẳng (DNM) chia khối lập phương thành hai khối da diện

Giải

a/ Tính thể tích khối tứ diện ABMN

Xét tam giác vuông ABN ( vuông tại

B )

Ta có S AND S ABCD S ANBS DCN

2 2

FM

I

M.ABD có đáy là tam giác ADN và chiều cao kẻ từ M xuống đáy = AA'=a suy ra

Tam giác IA'F đồng dạng với tam

giác IAD suy ra

Cho hình chóp S.ABC Gọi A' và B' lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SB Khi đó

tỉ số thể tích hai khối chóp S.A'B'C và S.ABC bằng

Gọi H là hình chiếu của C trên (SAB) Như vậy hai

khối chóp S.A'B'C ( hay C.SA'B;) và S.ABC ( hay C

SAB ) có cùng chiều cao CH Khi đó ' ' 1

.sin ASB2

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

Cho hình chóp S.ABCD Gọi A',B',C'D' theo thứ tự là trung điểm của SA,SB,SC,SD Tỉ

số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD là

a

C 3 32

a

D 3 34

Ta coi tứ diện ACB'D' là khối chóp C.AB'D' Khối chóp này có chiều cao bằng AA'=

c Còn diện tích đáy A'B'D' bằng 1/2 diện tích của hình bình hành đáy

Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D1 1 1 1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB

và A D1 bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5

a/ Hạ AK vuông góc với A D1 ( K thuộc A D1 )

Vì ABC đều , suy ra kẻ AK vuông góc với BC thì K

là trung điểm của BC AA' ABC cho nên

0

' 30

AKA

  Từ đó A'K=2AA' (1) Gọi cạnh tam

giác đều đáy bằng a , A'K =x ( x>0) Ta có :

Giải

Vì AC' tạo dáy 1 góc bằng 450 cho nên tam giác

ACC' vuông cân suy ra AC=CC' (1) Vì DB' tạo

đáy một góc bằng 600 suy ra BB D' 300suy ra

BD= '

2

DB

Nếu chiều cao hình lăng trụ bằng 2 thì

có nghĩa là BB'=2 = CC' =AC Xét tam giác BAD

AB

D

0

45

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN - T10 năm 2012

2 os135

AC AB BC  AB BC c (2) lấy (1) -(2) vế với vế ta được :

Giải

Kẻ A'H vuông góc với đáy Kẻ HI vuông góc với

AD , và HK vuông góc với AB suy ra

    Chính là góc nghiêng

của hai mặt phẳng (ABB'A') và (ADD'A') với đáy

Từ đó suy ra tam giác A'KH vuông cân

A'H=KH Tam giác vuông A'IH có góc IA'H = 300

suy ra A'H=2IH (2) AIHK là hình chữ nhật Đặt

Chú ý : Đây là một bài toán rất hay Khoảng

cách từ một đường thẳng song song với một

mặt phẳng bằng khoảng cách giữa hai mặt

phẳng song song , trong đó một mặt phẳng

7

3

HI

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB=

2 Cho biết mặt phẳng (AA'B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA'= 3, AA'B= gócnhọn , góc giữa mặt phẳng (A'AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 0

60 Hãy tính thể tích khốilăng trụ

Giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng (AA'B) và (ABC)

Kẻ A'K vuông góc với giao tuyến AB , Vì góc AA'B

nhọn cho nên K thuộc tia AB Kẻ KM vuông góc với

AC , theo định lý ba đường vuông góc suy ra A'M

x x

S AB C

S ABCD

V

V  Chứng minh tương tự tacũng có :

Giải

Xác định (MNP) Kéo dài MN cắt DC và

BC thứ tự tại K và I Nối KP và IP cắt SD

và SB tại F và E Như vậy (NMP) cắt chóp

theo thiết diện MEPFN

Ta có H là trung điểm của MN , hay của KI

ta thấy O là trọng tâm tam giác CKI cho

nên : Gọi  DCB, thì ta có kết quả sau :

23

KM

2 3

S

B

CO