vhuyên đề toán tích phân

Phương pháp giải toán Giả sử cần tính tích phân b a fxgxdx ta thực hiện Cách 1... Lập bảng xét dấu chung của hàm số fx và gx trên đoạn [a; b].. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

CÔNG THỨC

Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của những

hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp

C

x

dx 



 1 1

1







 





x

 0



x

dx

C e

dx

e x  x 



0 1



a

a

dx

a

x

x

C x

cos sin

C x xdx  

sin cos

C x dx

cos

1

2

C x dx

sin

1

2

  ax b C

a b ax

1













C b

ax a dx b ax

 0 ln





a b ax dx

C e

a dx

e axb  axb 

  ax b C

a dx b

cos 1sin

  ax b C

a dx b

ax bdxa axbC



cos

1 2

ax bdx a axbC



sin

1 2

C u

du 



 1 1

1







 





u

 0



u du

C e du

e u  u 



0 1



a

a dx a

u u

C u

cos sin

C u udu  

sin cos

C u du

cos

1 2

C u du

sin

1 2

I ĐỔI BIẾN SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân

b

/

a f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Đặt t = u(x) và tính dt u (x)dx /

Bước 2 Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)

Bước 3

b

/

a

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt

Ví dụ 7 Tính tích phân

2 e

e

dx I

x ln x

Giải

Đặt t ln x dt dx

x 2

2

2 1 1

dt

Vậy I ln 2

Ví dụ 8 Tính tích phân

4

3 0

cos x

(sin x cos x)

Hướng dẫn:

(sin x cos x) (tan x 1) cos x Đặt t tan x 1

ĐS: I 3

8

Ví dụ 9 Tính tích phân

3

1 2

dx I

(1 x) 2x 3

Hướng dẫn:

ĐS: I ln3

2

Ví dụ 10 Tính tích phân

1

0

Hướng dẫn:

Đặt

3 2

1

Chú ý:

Phân tích

1

0

1 x , rồi đặt t 1 x sẽ tính nhanh hơn

2 Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )

b

a

f x dx

 ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Đặt x = u(t) và tính dx u t dt/( )

Bước 2 Đổi cận: x   a t , x   b t 

b

a

f x dx f u t u t dt g t dt

Ví dụ 1 Tính tích phân

1 2

2 0

1

Giải

1

6 6

2

cos t

1 sin t

6

6

0

Vậy I

6

Ví dụ 2 Tính tích phân

2

2

0

Hướng dẫn:

Đặt x 2 sin t

ĐS: I

Ví dụ 3 Tính tích phân

1

2 0

dx I

1 x

Giải

Đặt x tan t, t ; dx (tan x2 1)dt

4

2

tan t 1

4

Vậy I

4

Ví dụ 4 Tính tích phân

3 1

2 0

dx I

Hướng dẫn:

I

Đặt x 1 tan t

ĐS: I

12

Ví dụ 5 Tính tích phân

2

2 0

dx I

4 x ĐS: I

2

Ví dụ 6 Tính tích phân

3 1

2 0

dx I

ĐS: I

12

3 Các dạng đặc biệt

3.1 Dạng lượng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân

2

0

I cos x sin xdx

Hướng dẫn:

Đặt t cos x

ĐS: I 2

15

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân

2 5

0

I cos xdx

Hướng dẫn:

Đặt t sin x

ĐS: I 8

15

Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn) Tính tích phân

2

0

I cos x sin xdx

Giải

1

4

2

(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx

2

(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)

0

sin 4x

Vậy I

32

Ví dụ 14 Tính tích phân

2

0

dx I

cos x sin x 1

Hướng dẫn:

Đặt t tanx

2

ĐS: I ln 2

Biểu diễn các hàm số LG theo tan

2

a

2



3.2 Dạng liên kết

Ví dụ 15 Tính tích phân

0

xdx I

sin x 1

Giải

0

0

2

2

t

t d

tan

cos

Vậy I

Tổng quát:

xf(sin x)dx f(sin x)dx

Ví dụ 16 Tính tích phân

2007 2007 0

Giải

2

2007 0

2

2

2007 2007 0

cos t

Mặt khác

2

0

2 (2) Từ (1) và (2) suy ra I 4

Tổng quát:

Ví dụ 17 Tính tích phân

0

sin x

sin x 3 cos x và

0

cos x

sin x 3 cos x

Giải

I 3J 1 3 (1)

2

3

4 (2)

Từ (1) và (2)I 3 ln 3 1 3, J 1 ln 3 1 3

Ví dụ 18 Tính tích phân

1

2 0

ln(1 x)

Giải

Đặt x tan t dx (1 tan t)dt2

4

2 2

ln(1 tan t)

Đặt t u dt du

4

0 4

0

4

4

Vậy I ln 2

Ví dụ 19 Tính tích phân

4

x

4

cos x

Hướng dẫn:

Đặt x t

ĐS: I 2

2

Tổng quát:

Với a > 0, 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì

x

0

f(x)

Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f( x) 2f(x) cos x

Tính tích phân

2

2

I f(x)dx

Giải

Đặt

2

2

0 cos xdx 2 cos xdx 2

Vậy I 2

3

3.3 Các kết quả cần nhớ

i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

a

a f(x)dx 0

ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

f(x)dx 2 f(x)dx

iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)

(n 1)!!

,

n !!

(n 1)!!

,

n !! 2

neáu n leû neáu n chaün

Trong đó

n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn:

0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;

6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10

Ví dụ 21

2

11

0

10 !! 2.4.6.8.10 256 cos xdx

11!! 1.3.5.7.9.11 693

Ví dụ 22

2

10

0

10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512

II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 Công thức

Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b] Ta có

Công thức:

b a

Công thức (1) còn được viết dưới dạng:

b

a

f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx (2)

2 Phương pháp giải toán

Giả sử cần tính tích phân

b

a f(x)g(x)dx ta thực hiện

Cách 1

Bước 1 Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

/

du u (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân

b

a vdu phải tính được

Bước 2 Thay vào công thức (1) để tính kết quả

Đặc biệt:

i/ Nếu gặp

ax

P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)

ii/ Nếu gặp

b

a

P(x) ln xdx thì đặt u ln x

Cách 2

Viết lại tích phân

/

f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2)

Ví dụ 1 Tính tích phân

1 x

0

I xe dx

Giải

1 1

Ví dụ 2 Tính tích phân

e

1

I x ln xdx

Giải

dx du

v 2

1

Ví dụ 3 Tính tích phân

2 x

0

I e sin xdx

Giải

Đặt u sin xx du xcos xdx

0

2 2

0

2

2

Chú ý:

Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần

Ví dụ 7 Tính tích phân

2 4

0

I cos xdx

Hướng dẫn:

Đặt t x

2

0

Ví dụ 8 Tính tích phân

e

1

I sin(ln x)dx

ĐS: I (sin1 cos1)e 1

III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

b

a

I f(x) dx , ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x 1 x 2 b f(x) 0 0

Bước 2 Tính

Ví dụ 9 Tính tích phân

2 2

3

Giải

Bảng xét dấu

x 3 1 2 2

x 3x 2 0 0

59

2 Vậy I 59

2

Ví dụ 10 Tính tích phân

2

2

0

I 5 4 cos x 4 sin xdx ĐS: I 2 3 2

6

2 Dạng 2

Giả sử cần tính tích phân

b

a

I f(x) g(x) dx , ta thực hiện

Cách 1

Tách

I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên

Cách 2

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x)

Ví dụ 11 Tính tích phân

2

1

Giải

Cách 1

Cách 2

Bảng xét dấu

x –1 0 1 2

x – 0 +  +

x – 1 – – 0 +

1 2

Vậy I 0

3 Dạng 3

Để tính các tích phân

b

a

I max f(x), g(x) dx và

b

a

J min f(x), g(x) dx , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2

+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) f(x) và min f(x), g(x) g(x)

+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) g(x) và min f(x), g(x) f(x)

Ví dụ 12 Tính tích phân

4

2

0

Giải

Bảng xét dấu

x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 +

80

3 Vậy I 80

3

Ví dụ 13 Tính tích phân

2

x

0

I min 3 , 4 x dx

Giải

Đặt h(x) 3x 4 x 3x x 4 Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 +

x

ln 3 2

IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Để chứng minh

b

a f(x)dx 0 (hoặc

b

a f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0) với

x a; b

Ví dụ 14 Chứng minh

1

0

1 x dx 0

Giải

Với

1

0

2 Dạng 2

Để chứng minh

f(x)dx g(x)dx ta chứng minh f(x) g(x) với x a; b

Ví dụ 15 Chứng minh

Giải

Với x 0; : 0 sin x 1 0 sin x11 sin x10

2

10 11

1 sin x 1 sin x Vậy

3 Dạng 3

Để chứng minh

b

a

A f(x)dx B ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M

Bước 2 Lấy tích phân

b

a

Ví dụ 16 Chứng minh

1

2

0

Giải

Vậy

1

2

0

Ví dụ 17 Chứng minh

3 4

2

4

dx

Giải

2

2

2 3 2 sin x 3

4

2 4

1

Vậy

3 4

2

4

dx

Ví dụ 18 Chứng minh

3

4

dx

Giải

Xét hàm số f(x) cotx, x ;

2 /

2

x cotx sin x

x

f f(x) f x ;

x ;

3

4

dx

Vậy

3

4

dx

4 Dạng 4 (tham khảo)

Để chứng minh

b

a

A f(x)dx B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

Bước 1 Tìm hàm số g(x) sao cho

b b

a a

f(x) g(x) x a; b

f(x)dx B

Bước 2 Tìm hàm số h(x) sao cho

b b

a a

h(x) f(x) x a; b

Ví dụ 19 Chứng minh

2 2

2007 0

Giải

dx

Đặt x sin t dx cos tdt

2

2

2

cos t 4

Vậy

2 2

2007 0

Ví dụ 20 Chứng minh

1

2 0

Giải

2

2

Vậy

1

2 0

V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y f(x), x a, x b và trục hoành là

b

a

S f(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a f(x) dx

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e và Ox

Giải

Do ln x 0 x 1; e nên

e 1

Vậy S 1 (đvdt)

Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4x 3, x 0, x 3 và Ox

Giải

Bảng xét dấu

x 0 1 3

y – 0 + 0

Vậy S 8

3 (đvdt)

2 Diện tích hình phẳng

2.1 Trường hợp 1

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f(x), y g(x), x a, x b là

b

a

S f(x) g(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a f(x) g(x) dx

2.2 Trường hợp 2

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f(x), y g(x) là S f(x) g(x) dx Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) g(x) a b

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f(x) g(x)

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn ;

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx

Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x 6, y 6x , 2

x 0, x 2

Giải

Đặt h(x) (x3 11x 6) 6x2 x3 6x2 11x 6

Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 + 0

Vậy S 5

2 (đvdt)

Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x 6, y 6x 2

Giải

Đặt h(x) (x3 11x 6) 6x2 x3 6x2 11x 6

Bảng xét dấu

x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0

2 3

Vậy S 1

2 (đvdt)

Chú ý:

Nếu trong đoạn ; phương trình f(x) g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công thức f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx

Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x , y3 4x

Giải

Vậy S 8 (đvdt)

Ví dụ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4 x 3 và trục hoành

Giải

Vậy S 16

3 (đvdt)

Ví dụ 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4x 3 và y x 3

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm 2

2

2

Bảng xét dấu

x 0 1 3 5 2

x 4x 3 + 0 – 0 +

1 3 5

6x

Vậy S 109

6 (đvdt)

Ví dụ 8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 1 , y x 5

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm

2

2

Bảng xét dấu

x 0 1 3 2

x 1 – 0 +

Vậy S 73

3 (đvdt)

Chú ý:

Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có)

B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY

1 Trường hợp 1

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x) 0 x a;b , y 0 ,

x a và x b (a b) quay quanh trục Ox là

b 2

a

V f (x)dx

Ví dụ 9 Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x2 y2 R quay quanh Ox 2

Giải

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 R2 x R Phương trình (C) : x2 y2 R2 y2 R2 x 2

R

2

0

Vậy

3

4 R V

3 (đvtt)

2 Trường hợp 2

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) 0 y c;d , x 0 ,

y c và y d (c d) quay quanh trục Oy là

d 2

c

Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối do ellipse

a b quay quanh Oy

Giải

Tung độ giao điểm của (E) và Oy là y22 1 y b

R

2

2 0

2 a y

3

Vậy

2

4 a b V

3 (đvtt)

3 Trường hợp 3

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x), x a và

x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b ) quay quanh trục Ox là

b

a

V f (x) g (x) dx

Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , 2 y2 x quay quanh

Ox

Giải

Hoành độ giao điểm x4 0 x 0

1

0

Vậy V 3

10 (đvtt)

4 Trường hợp 4

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y) , y c và

y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d ) quay quanh trục Oy là

d

c

V f (y) g (y) dy

Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x y2 5 , x 3 y

quay quanh Oy

Giải

y 2 2

2

1

2

1

2

2

1

Vậy V 153

5 (đvtt)

VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP

1 Tính I=1 10

0

1 

 x dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 1 2 10

2 Tính: 1  19

0

1

Ix x dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

n n

 

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin cos

sin cos



 , biết rằng F 4 ln 2



2 Tính các tích phân sau:

A=

2

1

2 5 - 7

e

dx x



-2 -1

0

2 ln 2x

dx



3 Tính các tích phân sau:

A=3 3 cos

0

sin

x



1

ln

e

x dx x

2

dx

x x 

2

x dx x





4 Tính các tích phân sau:

I=

1

sin(ln )

e

x dx x

2 6 sin cot

dx



10

1

lg xdx



L=

ln 5

dx

e  e 

0

sin 2 cos 4 sin

xdx





2 2

dx x



C=2

0

sin 2 (1 cos )

x dx x







5 Tính các tích phân sau:

1

2

0 4

-dx

x

2

3 3

dx

x 

0

16 -x dx

D=ln 2

0

1-1

x x

e

dx e



3 2 2

2

1dx

x 



6 Tính các tích phân sau:

A=

2

1

ln

e

x

dx x

2 0

sin

1 cos

x x

dx x





2 2 1

ln x

dx x



D*=

1

cos(ln )

e

x dx



3 1

3x 2x

dx x



4 1

1 1

x

x











7 Tính:

A=

4

2

0

cos xdx



2 3 0

cos xdx



1

0

x

xe dx

4

1

x

e dx x

2

1

ln

x xdx

 F=

1

ln 1

e

x

dx x



2

2 0

1 2

x  x dx

4

0

1 2

x  xdx

2

x dx

x

1 2

0 1

x dx x





8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a x=1; x=e; y=0 và y= 1 ln x

x



b y=2 x ; y=3x và x=0

c y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=

3



9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x3 2x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2

10 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0

a Tính diện tích hình phẳng D

b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox

11 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2

=x3 và y=0, x=1

khi nó quay quanh:

a) Trục Ox

b) Trục Oy

Hết