DE THI THU TOAN 2011 KHOI A+ DAP AN

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị C của hàm số.. Theo chương trỡnh chuẩn Cõu VI.a.. Cõu VII.a 1 điểm Một chiếc hộp đựng 15 viờn bi cú kớch thước bằng nhau và đồng chất được đỏnh số t

SỞ GD&ĐT Hng yên

Mụn Thi : TOÁN ; Khối :D

Thời gian làm bài 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề.

Ngày thi: 20/2/2011

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Cõu I: ( 2,0 điểm)Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

=

− cú đồ thị (C).

1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tỡm m để đường thẳng y x m= + cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB=4

Cõu II: (2,0 điểm) 1.Giải phương trỡnh 3 cos 2x+2cosx(sinx− =1) 0

2.Giải phương trỡnh 22 1 4 2

2

2 log x 2log log x (x R)

x

Cõu III: (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn

1

0

2 I

1

x dx x

= +

∫

Cõu IV: (1,0 điểm)Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cú cạnh bờn bằng a, đỏy ABC là tam giỏc đều, hỡnh

chiếu của A trờn (A’B’C’) trựng với trọng tõm G của ∆A’B’C’ Cạnh bờn tạo với đỏy gúc 60 0 Tớnh thể tớch lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

Cõu V: (1,0 điểm)Tỡm m để phương trỡnh sau luụn cú nghiệm trong đoạn [ ]1;9

2

log x+2m log x+ + =2 4 m 1 log+ x

PHẦN RIấNG (3 điểm)

A Theo chương trỡnh chuẩn

Cõu VI.a (2 điểm)

1.Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+4y−20 0,= d x y2: + + =1 0

Viết phương trỡnh đường trũn (C) biết rằng (C) cú bỏn kớnh R=5, tiếp xỳc với d1và cú tõm nằm trờn d2

2.Trong khụng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cú phương trỡnh

(S):x2+y2+ −z2 4x−4y+2z− =16 0 ( ) : 2P x y+ − 2z+ = 1 0

Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) song song với (P) và khoảng cỏch từ tõm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (Q) bằng 3

Cõu VII.a (1 điểm) Một chiếc hộp đựng 15 viờn bi cú kớch thước bằng nhau và đồng chất được đỏnh số từ một tới mười lăm, trong đú cú 5 viờn bi xanh và 3 viờn bi đỏ và 7 viờn bi vàng Tớnh xỏc suất để lấy ngẫu nhiờn 4 viờn bi cú đủ 3 mầu.

B Theo chương trỡnh nõng cao

Cõu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trũn (C) : 2 2

x +y +2x 8y 8 0− − = Viết phương trỡnh đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường trũn theo một dõy cung cú độ dài bằng 6

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC.Chứng minh rằng ∆ABC vuông và viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

VIIb (1 điểm) Cho hàm số ( ) : 2

1

m

x

− +

=

cho tiếp tuyến của (C m)tại A,B vuụng gúc với nhau

………….………Hết………

Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.

Họ và tờn thớ sinh:………; Số bỏo danh:

Chữ kớ giỏm thị:………

Híng dÉn chÊm TOÁN KHÓI D

CâuI(2,

0đ)

1)1,0 đ

1

x y x

−

=

−

1 Tập xác định: D= ¡ \{1}

2 Sự biến thiên của hàm số

* Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số Tiệm cận của đồ thị hàm số.

1 2

1

x

y

x

x

→±∞

−

−

=> Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang

=>Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng

0,25

* Lập bảng biến thiên

2

1

( 1)

x

−

= < ∀ ∈

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó Hàm số không có cực trị.

0,25

bảng biến thiên

x -∞ 1 +∞

y’ ||

-y 2 +∞

-∞ 2

0.25

3 Đồ thị

- Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2

- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1

- đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng.

0,25

2)1,0đ 2)Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình 0,25

I(1;2) 2

x

O

( ) ( )

2 1

1

x

x m x

− = +

−

⇔ − = − +

( x=1 không phải là nghiệm của (*))

⇔ + − + − = (1)

(m 3) 4(1 m) m 2m 5 0 m

∆ = − − − = − + > ∀

Do đó (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 vớix x là hai nghiệm của (1)1, 2

0,25

Theo viét x1+ = −x2 3 m x x; 1 2 = −1 m Vì A B, ∈ ( )d nên y1= +x1 m y; 2 = +x2 m

( )2

0,25

3

m

m

= −



0,25

Câu II:

(2,0đ) 1)Giải phương trình 3 cos 2x+2cosx(sinx− =1) 0

⇔ 3 cos 2x+sin 2x=2cosx

cos 2 sin 2 cos

0,25

cos(2 ) cos

6

0,25

6

k

 − = +



 − = − +



¢

0,25

2

2

18 3

k k x

 = +



 = +



¢

KL

0,25

1)1,0đ

2)Giải phương trình 22 1 4 2

2

2 log x 2 log log x (x )

x

ĐKXĐ:x>0

( ) 2

2

1 log x 2log log x

x

0,25

Đặt t=log2x

Thay vào (*) ta có

0,25

2 3 2 0

1 2

t t

− + =

=



⇔  =

t=1 ta có log2x=1⇔x=2

t=2 ta có log2x=2 ⇔x=4

kết hợp với ĐKXĐ⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=2 và x=4

0,25

Câu

III:

(1,0đ)

Tính tích phân

1

0

2 I

1

x dx x

= +

∫

Đặt t = x⇒ = ⇒x t2 dx=2tdt

3

1 1

t

x = + +

Nếu

= ⇒ =

= ⇒ =

0,25

2

t

0

10

4 ln 2 3

Câu

IV:

(1,0đ)

A'

G

M' C'

B'

C

B A

Hình chiếu của AA’ trên (A’B’C’) là A’G nên góc tạo bởi AA’và (A’B’C’) là · 0

' 60

AA G= gọi M’là trung điểm B’C’⇒A’,G, M’ thẳng hàng

0,25

đặt x=AB

∆A’B’C’ đều cạnh x có A’M’ là đường cao ⇒ ' ' 3, ' 2 ' ' 3

A M = A G= A M = Trong∆AA’G vuông có AG=AA’sin600= 3

2

' ' os60

A G=AA c = = ⇔ =x

0,25

diện tích ∆ABC là 1 0 2 3 3 3 2 3 2 3

ABC

thể tích khối lăng trụ là ' ' ' . 3 3 2 3 9 3

ABC A B C ABC

Câu

VIa: 1.

(1,0đ)

Giả sử là I t( ; 1− − ∈t) d2tâm của đường tròn (C)

Vì (C) tiếp xúc với d1nên

3 4( 1 ) 20

3 4

+

0,25

24 25

t

0,25

Với t= ⇒1 I1(1; 2)− ta được phương trình đường tròn

( ) ( ) (2 )2

C x− + y+ =

0,25

Với t= − ⇒49 I1( 49; 48)− ta được phương trình đường tròn

( ) ( ) (2 )2

C x+ + y− =

0,25

2.

(1,0đ) (S): 2 2 2

x +y + −z x− y+ z− = (S) có tâm I(2;2;-1)

phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:2x y+ − 2z D+ = 0điều kiện D≠ 1(*)

0,25

( ,( )) 3

d I P = | 2.2 1.2 2( 1)2 2 2 | 3

2 1 ( 2)

D

+ − − +

+ + −

0,25

1

| 8 | 9

17

D D

D

=



⇔ + = ⇔  = −

Kết hợp với điều kiện (*) ta được D = -17

0,25

Vậy phương trình của (Q) 2x y+ − 2z− = 17 0 0,25

Câu

VIIa:

(1,0đ)

15

TH1: lấy được 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng

5 .3 7 210

0,25

TH2: lấy được 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng

5 .3 7 105

0,25

TH3: lấy được 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng

5 .3 7 315

Vậy xác suất lấy được 4 viên bi có đủ các mầu là:

210 105 315

46%

1365

0,25

VI.b 1 Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là ∆,

=> ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0)

Vì đường thẳng cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6=> khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng 52−32 =4

c c

d I

c

− + +

+  = − − (thỏa mãn c≠2) Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 3x y+ +4 10 1 0− = hoặc

3x y+ −4 10 1 0− =

log x+2m log x+ + =2 4 m 1 log+ x (1) Đk: x>0

Đặt: log3x t khi= , x∈[ ]1;9 =>t∈[ ]0;2

( ) ( )

2 2

t m

⇔ + = − +

Vì t∈[ ]0; 2 từ (2) 2 4

3

t m

t

+

⇔ = −

+

( )

2

( )

3 13

3 13

 = − −



⇔

 = − +



Ta có : f(− +3 13)=2 13 6− ; f(0)=-4/3; f(2)=-8/5

Vậy với 8; 2 13 6

5

0,25

0,25

0,25

0,25