3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 1.. 2/ Chứng minh rằng với mọi số thực k thì đường thẳng y =x –k cắt đồ thị hàm số 2 tại hai điểm phân biệt.. 1/
Trang 1Sở GD và ĐT Trà Vinh
Trường THPT Trà Cú
Đề Kiểm Tra HK I Năm 2010-2011 Môn : Toán
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )
ĐỀ SỐ 1
Bài 1(3 điểm )
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 4 (1 )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 )
2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
x 3 + 3x 2 – 4 - m = 0
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1
Bài 2 (0, 5 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= − +x2 4x−3 , x∈[1 ; 3]
Bài 3 ( 1, 75 điểm )
1/ Giải các phương trình sau :
x
25 25
=
+ b/ 2
log x − 5log x − = 2 0
2/ Giải bất phương trình : log (23 x2 + 4 ) log (9 3 ) x > 3 − x
Bài 4 ( 1 điểm )
1/ Tính vi phân của mỗi hàm số sau :
a/ y = (3 x − 2)32 b/ y = ln(3x + 1)
2/ Cho hàm số y e = 2x + − ex 3 x Tìm x để y ’ ≥ 0
Bài 5 ( 1 điểm )
Cho hàm số 2 1
2
x y
x
−
=
− (2)
1/ Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho
2/ Chứng minh rằng với mọi số thực k thì đường thẳng y =x –k cắt đồ thị hàm số (2 ) tại hai điểm phân biệt
Bài 6 (2,75 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a ,
SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a
1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
2/ Chứng minh rằng 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên một mặt cầu Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu này
3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một hình nón Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này
4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD)
Trang 2
-ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 12 CƠ BẢN
HỌC KỲ I
-
ĐỀ SỐ 1
1
3đ
1
2đ
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 4 (1 ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 ).
Giải :
1)TXĐ : R 2) Sự biến thiên : a) Chiều biến thiên : y’ = 3x2 + 6x = 3x(x + 2) y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = - 2
b) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; - 2 ), ( 0 ; + ∞) và nghịch biến trên khoảng ( -2 ; 0) c) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2 và yCĐ = 0 và đạt cực tiểu tại x
= 0 , yCT = -4
d ) Giới hạn : = +∞
∞ +
→ y
∞
−
→ y
xlim
Đồ thị hàm số không có tiệm cận e) Bảng biến thiên
3) Đồ thị
x y
-4 -2 O 1
Nhận xét đúng
0,5 0,25 0,25
0,5
0,5
Trang 30,5
2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
x 3 + 3x 2 – 4 - m = 0 Giải
x 3 + 3x2 – 4 - m = 0
<= > x3 + 3x2 - 4 = m
Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 – 4
0,25
0,25
3
0,5
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1
Ta có : hoành độ tiếp điểm x = 1 ; tung độ tiếp điểm y = 0
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm ( 1; 0 ) là : y’(1) = 9
Phương trình tiếp tuyến : y = 9(x – 1) + 0 = 9x - 9
0,25 0,25
2
0,5đ
Bài 2 (0, 5 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 4 3 , x 1 ; 3
y= − +x x− ∈
Trên đoạn [1 ; 3 ] ta có
3 4
2 3
4 2
4 2 '
2
+
−
=
− +
−
+
−
=
x x
x x
x
x y
y’ = 0 <=> x = 2 thuộc đoạn [1 ; 3 ] y(1) = 0 ; y(3) = 0
y(2) = 1
;3
;3
Min
0,25
0,25
3
1,75
đ
1
0,5đ
Giải các phương trình sau :
2
1 2
2 2 5
5 25
25
−
=
⇔
=
−
−
⇔
=
⇔
=
x x x
x x
0,5
0,75 b/ 2
log x − 5log x − = 2 0
ĐK : x > 0
2
log x − 5log x − = 2 0
0 2 log
log 0
2 log
5
2 2
2
Đặt t = log2 x , phương trình đã cho trở thành phương
0,25
Trang 4trình :
t2 – t - 2 = 0 <=> t = - 1 hoặc t = 2
Với t = - 1 ta có
2
1 1
log2 x = − ⇔ x = Với t = 2 ta có log2 x = 2 ⇔ x = 4
0,25
0,25
2
0,5
2/ Giải bất phương trình :
2
log (2 x + 4 ) log (9 3 ) x > − x
<=>
3) ; 1 ( 3
) ; 1 ( )
; 2
9
-
; (
3
0 9 7 2 0
3 9
3 9 4
∈
⇔
<
∞ +
∪
−∞
∈
⇔
<
>
− +
⇔
>
−
−
>
+
⇔
x x
x
x
x x x
x x
0,25
4
1đ
1
Bài 4 ( 1 điểm )
1/ Tính vi phân của mỗi hàm số sau :
a/ y = (3 x − 2)32
TXĐ :
3
2
>
x
dx x
dx x
x
2
9 )
)' 2 3 (
) 2 3 ( 2
3
3
−
=
−
−
0,25
b/ y = ln(3x + 1) TXĐ :
3
1
−
>
x
x
dy
1 3
3
+
2
2/ Cho hàm số y e = 2x + − ex 3 x
Tìm x để y ’ ≥ 0
Hàm số đã cho xác định với mọi số thực x
y’ = 2e2x + ex - 3
y’ ≥ 0 <=> 2e2x + ex - 3 ≥0 Đặt t = ex , t > 0 ta có :
2t2 + t - 3 ≥ 0 <=> t ≤ -3/2 hoặc t ≥ 1
Kết hợp với điều kiện t > 0 ta có t ≥ 1
Do đó ex ≥ 1 ,<=> x ≥ 0
0,25 0,25
5 1 Bài 5 ( 1 điểm )
Cho hàm số 2 1
2
x y
x
−
=
− (2)
TXĐ : x ≠ 2
Đồ thị hàm số (2) có TCĐ là đường thẳng có phương trình
x = 2 và TCN là đường thẳng có phương trình y = 2
0,25 0,25
Trang 5Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng
y = x – k với đồ thị hàm số 2 1
2
x y
x
−
=
− là :
≠
= + + +
−
⇔
≠
−
−
=
−
⇔
−
=
−
−
2
) ( 0 1 2 ) 4 (
2
) )(
2 ( 1 2 2
1 2
2
x
k x k x
x
k x x x
k x x
x
Chứng minh được phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân
biệt khác 2 với mọi số thực k
Kết luận : Đường thẳng y = x – k luôn cắt đồ thị hàm số đã
cho tại hai điểm phân biệt với mọi số thực k
0,25
0,25
6
1
Bài 6 ( 3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật ,
AB = a , AD = 2a ,
SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a
a 2a
2a I
O
D A
B
C
S
H
1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
3
4 2
2
3
1
3
a a a SA
S
0,25
0,5
2 2/ Chứng minh rằng 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên
một mặt cầu Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu
này
Gọi I là trung điểm của cạnh SC
Chứng minh được : IS = IA = IB = IC = ID
5 điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu tâm I , bán kính
2
SC
r = = AC SA 5a 4a 3a
2
2
0,5 0,25
3 3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một
hình nón Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này
Trang 6Mặt nón tạo thành có độ dài đường sinh l = SB = a 5 và
bán kính đáy r’ = SA = 2a ; chiều cao h = AB = a
Suy ra : Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là :
Sxq = πr’l = π.2a.a 5 = 2πa2 5 (đvdt)
0,25 0,5
4 4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc
với mặt phẳng (SCD)
Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) nên mặt cầu
này có bán kính bằng khoảng cách từ tâm A đến (SCD)
Trong mặt phẳng (SAD) , kẻ AH ⊥ SD tại H
CD SH
SD SH
⊥
⇒
⊥
⊥
H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (SCD)
AH = d(A , (SCD)) , AH = 2
SD
= , Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là R = a 2
0,25
0,25
