Trong lời giải trên học sinh thường quên mất điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đó là 23 m≠ −.
Trang 1Bài toán đặc biệt về Giao điểm của đồ thị hàm số phân
thức với đờng thẳng a.Chú ý:
Xột hàm số ax b ( ) ( 0, 0)
cx d
+
+
Đồ thị hàm số cú tiệm cận đứng là x c
d
= − Khi đú đồ thị hàm số gồm cú hai nhỏnh: một nhỏnh nằm bờn trỏi đường
thẳng x c
d
= − và một nhỏnh nằm bờn phải đường thẳng x c
d
= −
Gọi d là đường thẳng cú phương trỡnh: y kx p= +
Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C) và (d): ax b
kx m
cx d+ = +
Biến đổi thu gọn phương trỡnh (1) về dạng ϕ( ) x = px2+qx r+ =0(2)
Khi đú, ta cú một số trường hợp đặc biệt sau cần lưu ý:
d cắt ( ) C tại hai điểm phõn biệt ⇔ pt(2) cú hai nghiệm phõn biệt khỏc c
d
−
0 0
c d
ϕ
∆ >
⇔ − ≠ ữ
d cắt ( ) C tại hai điểm phõn biệt nằm về hai nhỏnh của ( ) C ⇔ pt(2) cú hai nghiệm phõn biệt x x 1, 2
( x <x ) thỏa món: x1 c x2
d
< − <
d cắt ( ) C tại hai điểm phõn biệt nằm về nhỏnh trỏi của ( ) C ⇔ pt(2) cú hai nghiệm phõn biệt x x 1, 2
( x <x ) thỏa món: x1 x2 c
d
< < −
d cắt ( ) C tại hai điểm phõn biệt nằm về nhỏnh phải của ( ) C ⇔ pt(2) cú hai nghiệm phõn biệt x x 1, 2
( x <x ) thỏa món: c x1 x2
d
− < <
d cắt ( ) C tại hai điểm phõn biệt nằm về 1 nhỏnh của ( ) C ⇔ pt(2) cú hai nghiệm phõn biệt x x 1, 2 ( x1<x2)
thỏa món: c x1 x2
d
− < < hoặc x1 x2 c
d
< < − B.Bài tập
x
+
=
−
1
2 3 (C ) Tỡm m để m (C ) cắt đường thẳng : y x m ∆ = −2 :
a ở 1 nhỏnh của (C ) m
b Ở 2 nhỏnh của (C ) m
c ở nhỏnh phải của (C ) m
d ở nhỏnh trỏi của (C ) m
GIẢI
y
+
Đồ thị (C ) cú tiệm cận đứng m ⇔1 3 0 2
m
m
+ ≠ ⇔ ≠ − Khi đú đồ thị hàm số cú tiệm cõn đứng là 3
2
x=
Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của ∆ và (C ) : m 1 2
−
Trang 2a) Để(C ) cắt đường thẳng : y x m ∆ = −2 ở 1 nhánh của (C ) thì pt (1) có hai nghiệm m x x1, 2 ( x1 ≤x2) thỏa mãn:
3
2
x ≤x < hoặc 1 2 3
2
x ≤x <
( )
0
0
0
∆ ≥
< − ≤ −
Theo định lý Viet ta có:
1 2
7 2 5 2
m
x x
x x
,
thay vào ta có
2 3
,
m
≤ − − ≥ − +
<
2
3
m
⇔ − + ≤ < − hoặc m≤ − −7 40
c) Để(C ) cắt : y x m ∆ = −2 ở 2 nhánh của (C ) thì pt (1) có hai no phân biệ m x x1, 2 ( x1<x2) thỏa mãn: 1 3 2
2
x < <x
0
m
c) Để(C ) cắt : y x m ∆ = −2 ở nhánh phải của (C ) thì pt (1) có hai nghiệm m x x1, 2 ( x1 ≤x2) thỏa mãn: 3 1 2
2< ≤x x
( )
2
0
0
0
,
x x
− + − >
3 0
2
.
d) Để(C ) cắt : y x m ∆ = −2 ở nhánh trái của (C ) thì pt (1) có hai nghiệm m x x thỏa mãn: 1, 2 1 2 3
2
x ≤x <
2
0
0
0
− + − <
7 40
m
⇔ ≤ − −
C.NhËn xÐt:
Trang 31 Trong lời giải trên học sinh thường quên mất điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đó là 2
3
m≠ − Thật vậy
3
m= − ta có hàm số 1
3
y= − là hàm hằng nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
• Tổng quát hơn, ta có lưu ý sau khi làm bài:
Nếu hàm số có dạng ( , ) ax b ( )
cx d
+
+ có chứa tham số m thì đồ thị hàm số chưa chắc đã có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang Thật vây:
( , )
cx d b
y f x m
+ + −
+ Nếu bc ad− =0 ta có hàm số y a
c
= là hàm hằng nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
+ Nếu bc ad− ≠0thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x c
d
= −
Xét c = 0, ta có hàm số ax b
y d
+
= là hàm đa thức nên đồ thị hàm số không có TCĐ, TCN
cx d
+
+ có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là bc ad− ≠0 Khi
đó tiệm cận đứng là đường thẳng x c
d
= − , tiệm cận ngang: y a
c
= .
2 Ta có thể giải bài trên theo cách khác:
Tìm điều kiện để pt (1) có hai nghiệm khác c
d
− ⇒Tính rõ hai nghiệm x x x1, (2 1≤x2)
2
x ≤x < hoặc 3 1 2
2< ≤x x ⇔ 2 3
2
x < hoặc 1 3
2
x > ⇒Chuyển về giải các bpt vô tỉ ẩn m.⇒Đối chiếu với đk
2
x ≤x < khi và chỉ chi 2 3
2
x < ⇒Chuyển về giải bpt vô tỉ ẩn m ⇒Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận
2< ≤x x khi và chỉ chi 1 3
2
x > ⇒Chuyển về giải bpt vô tỉ ẩn m.⇒Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận
2
x < < x khi và chỉ chi 1 3
2
x < và 2 3
2
x > ⇒Chuyển về giải hệ bpt vô tỉ ẩn m.⇒Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận
