Trường THPT Vĩnh Linh GV: Nguyễn Đức Hùng- Lập bảng biến thiên của fx.. Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số: - Biến đổi BPT1 fx > gm fx gm Trên K - Xét hàm số fx -
Trang 1Trường THPT Vĩnh Linh GV: Nguyễn Đức Hùng
PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM.
I Định lí Lagrange và ứng dụng:
Định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại (a;b)
Bài tập 1: Cho n > 1 và b > a > 0 Chứng minh rằng:
nan-1(b-a) < bn – an < nbn-1(b-a)
Bài tập 2: Cho 0 < a < b < Chứng minh rằng:
Bài tập 3: Cho a < b < c Chứng minh rằng:
Bài tập 4: Cho x > y > 1 Chứng minh rằng :
5y4(x-y) < x5 – y5 <5x4(x-y)
Bài tập 5: Cho 1 y < x, p Z, p 2, chứng minh:
5yp-1(x-y) < xp – yp <5xp-1(x-y)
Hệ quả: (Định lý Rolle): Nếu f(x) xác định và liên tục trên [a;b], có đạo hàm trên (a;b), f(a) = f(b) thì tồn tại (a;b) sao cho f’(c) = 0.
Bài tập 6: CMR phương trình asin7x + bcos5x +csin3x + dcosx = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b, c, dR.
Giải
: Xét F(x) = - cos7x + sin5x - cos3x + dsinx, với x [0;2 ].
Ta có F(x) liên tục trên [0;2 ], có đạo hàm trên (0;2 )
Mặt khác, ta có F(2 ) = F(0) = - -
Do đó theo định lý Lagrange, ta có:
(0;2 ) sao cho :F’(x0) = asin7x0 + bcos5x0 +csin3x0 + dcosx0 = 0 Suy ra phương trình: asin7x + bcos5x +csin3x + dcosx = 0 luôn có nghiệm
Bài tập 7: Cho m >0 và Chứng minh rằng: ax 2 + bx + c =0 có nghiệm (0;1).
II Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải PT, HPT, BPT:
1 Nếu f(x) là hàm số liên tục trên tập K và đơn diệu trên K thì PT f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên K
2 cho hệ pt: ; Nếu f(x) đơn điệu trên tập K thì x = y =z trên K
Chứng minh:* f(x) đồng biến trên K, Với x, y, z
Các bài toán:
Bài tập 1: Giảicác phương trình:
a)
b)
Bài tập 2: Giải bất phương trình:
Bài tập 3: Giải phương trình:
II Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số trong các bài toán PT, BPT, HPT HBPT:
Bài toán 1: Tìm m để phương trình F(x,m) = 0 (1) có nghiệm trong khoảng K.
Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số:
- Biến đổi PT(1) f(x) = g(m) (Trên K)
- Xét hàm số f(x)
Trang 2Trường THPT Vĩnh Linh GV: Nguyễn Đức Hùng
- Lập bảng biến thiên của f(x) (tìm )
- Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y
- (1) có nghiệm g(m) Y
Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình F(x,m) > 0 ( F(x,m) 0 ) (1) có nghiệm trong khoảng K.
Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số:
- Biến đổi BPT(1) f(x) > g(m) (f(x) g(m)) (Trên K)
- Xét hàm số f(x)
- Lập bảng biến thiên của f(x) (tìm )
- Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y
- (1) có nghiệm (g(m);+ ) Y ( [g(m);+ ) Y )
Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình F(x,m) > 0 ( F(x,m) 0 ) (1) có nghiệm với K
Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số:
- Biến đổi BPT(1) f(x) > g(m) (f(x) g(m)) (Trên K)
- Xét hàm số f(x)
- Lập bảng biến thiên của f(x) (tìm )
- Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y
- (1) có nghiệm Y (g(m);+ ).( Y [g(m);+ ).)
Bài 1: Tìm m để bất phương trình: có nghiệm với R
Bài 2: Tìm m để bất phương trình: có nghiệm với R
Bài 4: Tìm m để bất phương trình có nghiệm
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ nghiệm thực:
Bài 8: Với giá trị nào của a thì bất phương trình sau:
có nghiệm
Bài 9: a Cho hàm số chứng minh rằng < 0 với
b Tìm mọi giá trị của tham số a để phương trình ax2 + 2cosx = 2 có đúng hai nghiệm trong đoạn
Bài 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
Bài 11: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
Bài 12: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: