Luyện thi dại học 2011 cấp tốc Bài toán tương giao

Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

Số nghiệm của phương trỡnh f(x)=g(x) (1) là số giao điểm của (C) y=f(x), (C’) y=g(x) , (1) được gọi là phương trỡnh hoành

độ giao điểm

Bài 1 :

a) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y  cắt đồ thị hàm số x 2 y x 1





 tại hai điểm A và B sao cho AB 2 2

b) Tỡm m để đường thẳng y=-x+m cắt đồ thị (C) y x

x 1



 tại hai điểm A,B sao cho gúc AOB=60

0

HD:

a) Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình

2

x 1 x





Khi đú đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B

Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên OA(x , mA x ), OBA (x , mB x )B

, xA+xB =m, xAxB=m

2 x x  m x m x  x  mx x  mx

4x x  x x  (xA+xB )2=6xAxB  m2-6m=0  m=6 , m=0

Kết hợp điều kiện ta được m=6

b) - Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số (1):

2

1

2

x

x

 





- Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phõn biệt khi và chỉ khi PT (*) cú hai nghiệm phõn

biệt khỏc m

2



(**)

- Khi đú gọi x x1, 2 là cỏc nghiệm của PT (*), ta cú 1 2

1 2

( 1)







- Cỏc giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là A x( ; 1 x12), ( ; B x2 x22)

Suy ra AB2 2(x1x2)2 2 ( x1x2)24x x1 22(m26m3)

7

m

m

 





- Kết hợp với điều kiện (**) ta được m 7 là giỏ trị cần tỡm

yx  m x  m a) Tỡm m để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phõn biệt cú hoành độ lập thành cấp số cộng;

b) Tỡm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phõn biệt cú hoành độ nhỏ hơn 3

HD : Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm: 4   2

x  m x  m  ; (1)

Đặt tx t2,  thỡ 0 (1) thành: 2  

f t t  m t m 

a) Điều kiện để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt là f(t) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

2

0

m

m

m

 



(*)

Với (*), gọi t1t2 là 2 nghiệm của f(t), khi đó hoành độ giao điểm của hàm số với Ox lần lượt là:

1 2; 2 1; 3 1; 4 2

Các giao điểm lập thành cấp số cộng x2x1 x3x2  x4x3 t2 9t1

4

9

m











9

m  

b) Hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3

 

f t

 có 2 nghiệm phân biệt t t sao cho: 1; 2 1 2

t t







 

2

2



m m

2

m  m

Bài 3 : a) Tìm những giá trị của m để đồ thị (Cm) yx33(m1)x22(m24m1)x4 (m m1) cắt trục

Ox tại 3 điểm phân biệt phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

b) Tìm m để đồ thị (Cm) : yx3mx2(m1)xm m( 1)cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành

độ x1,x2,x3 sao cho x12+x22+x32 =2

Ta có :  (3m1)28m28mm22m 1 (m1)2 nên x2(3m1)x22m22m0 có 2 nghiệm

3 1 1

2 2

2

Để thừa món điều kiện bài toỏn thỡ 2m , m+1 khỏc nhau l;lớn hơn 1 và khỏc 2

 m>1/2 và m khỏc 1

b) Xột phương trỡnh : x3mx2(m1)xm m( 1)0

    2 

xm x m 1   x=m,x0 2=m+1

Đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phõn biệt  phương trỡnh hoành độ giao điểm của cú 3 nghiệm phõn biệt

 m>-1 , m khỏc 1 5

2



Khi đú : x12+x22+x32 =2  m2+2(m+1)=5  m2+2m-3=0  m=1, m=-3

Giỏ trị m cần tỡm là m=1

Bài tập tương tự

1) Tỡm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thi (C) y 2x 1

x 1





 tại hai điểm A,B sao cho SOAB = 3 2) chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) y 2x 1

x 2





 tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

3) Tỡm những giỏ trị của m để đường thẳng y x 1 cắt đồ thị (C m ) yx33x2 (m1)x1 tại 3 điểm phõn biệt A(0; 1), B, C sao cho cỏc tiếp tuyến của (C m ) tại B và C vuụng gúc với nhau

y x mx  x m cắt Ox tại 3 điểm phõn biệt cú tổng bỡnh phương cỏc hoành độ lớn hơn 15