Phương trình này vô nghiệm.. Dễ thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn phương trình đã cho ban đầu... Giải phương trình này ta thu được các nghiệm, từ đó đi đến kết luận cho bài toán.. Dùng phương p
Trang 112 BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1 Giải phương trình
p
4 − 3√
10 − 3x = x − 2
Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa là
10 − 3x ≥ 0
4 − 3√
10 − 3x ≥ 0
hay 74
27 ≤ x ≤ 10
3 . Bây giờ, đặt a =√
10 − 3x thì ta có
√
4 − 3a = x − 2
√
10 − 3x = a
hay
x2− 4x + 3a = 0
a2+ 3x − 10 = 0
(1)
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo vế, ta được
a2 − 3a − x2+ 7x − 10 = 0, hay
(a + x − 5)(a − x + 2) = 0
Từ đây suy ra a = 5 − x hoặc a = x − 2
? Với a = 5 − x, thay vào phương trình thứ nhất của (1), ta được
x2− 4x + 3(5 − x) = 0, hay
x2− 7x + 15 = 0
Phương trình này vô nghiệm
? Với a = x − 2, thay vào phương trình thứ nhất của (1), ta có
x2− 4x + 3(x − 2) = 0, hay
x2− x − 6 = 0
Từ đây ta tìm được x = −2 hoặc x = 3 Dễ thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn phương trình đã cho ban đầu
2 Giải phương trình
x3+ 3x2− 2 =√x + 3
Lời giải
Trang 2Điều kiện để phương trình có nghĩa là x ≥ −3.
Bây giờ, đặt x = y − 1, y ≥ −2, ta có phương trình tương đương là
y3− 3y =py + 2
Phương trình này không có nghiệm y > 2 vì với y > 2 thì
y3− 3y > 4y − 3y = y >py + 2
Do đó, ta chỉ cần xét y ∈ [−2, 2]
Đặt y = 2 cos α, α ∈ [0, π], ta có
8 cos3α − 6 cos α =√
2 + 2 cos α
⇔ 2(4 cos3α − 3 cos α) =
r
2 + 22 cos2 α
2 − 1
⇔ cos 3α = ± cosα
2. Giải phương trình này ta thu được các nghiệm, từ đó đi đến kết luận cho bài toán 2
3 Giải phương trình
x4+ 4x3+ 5x2+ 2x − 10 = 12√
x2+ 2x + 5
Lời giải
Ta biến đổi vế trái
x4+ 4x3+ 5x2+ 2x − 10 = (x4+ 4x3+ 4x2) + (x2+ 2x) + 5 = (x2+ 2x)2 + (x2+ 2x) + 5
Đặt t = x2+ 2x, t ≥ −1 Ta có phương trình sau
t2+ t + 5 = 12√
t + 5 ⇒ t4+ 2t3− 19t2− 164t − 620 = 0
Dùng phương pháp hệ số bất định để phân tích đa thức thành thành tích của hai đa thức
Ta được phương trình tương đương là
(t2+ 4t + 20)(t2− 2t − 31) = 0 ⇔ t2− 2t − 31 = 0 ⇔ t = 1 ± 4√2
Ta loại nghiệm t = 1 − 4√
2 và cần giải phương trình
x2+ 2x = 1 + 4√
2
4 Giải phương trình sau
x3 =√
x + 78 + 18
Lời giải Điều kiện: x ≥ −78
Ta có phương trình trên tưong đương với
x3− 27 =√x + 78 − 9,
Trang 3(x − 3)(x2+ 3x + 9) = √ x − 3
x + 78 + 9, (x − 3)
x2+ 3x + 9 −√ 1
x + 78 + 9
= 0
Từ đây dễ thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình đã cho, còn trường hợp
x2+ 3x + 9 − √ 1
x + 78 + 9 = 0 tương đương với
(x2+ 3x + 9)√
x + 78 + 9= 1
Dễ thấy rằng với điều kiện trên thì mỗi hạng tử của vế trái đều không nhỏ hơn 1 nên phương trình trên vô nghiệm
5 Tìm các nghiệm thực của phương trình sau:
2x(x + 2) =r x + 3
Lời giải Điều kiện: x(x + 2) ≥ 0, x + 3 ≥ 0 hay
(
x ≥ 0
−3 ≤ x ≤ −2 Đặt t =
r
x + 3
2 , (t ≥ 0) Khi đó ta dễ dàng tính được x = 2t
2− 3
Thay vào phương trình đầu bài, ta được
2(2t2− 3)(2t2− 3) + 2 = t, hay là
8t4− 16t2− t + 6 = 0
Thực hiện phân tích nhân tử, ta có
(4t2+ 2t − 3)(2t2− t − 2) = 0
Giải phương trình tích này kết hợp với điều kiện ta được hai nghiệm là
t = −1 +√13
1 +√ 17
? Với t = −1 +√13
5 +√ 13
? Với t = 1 +
√ 17
4 , ta được x =
−3 +√17
6 Giải phương trình:
x3− 3x2− 3x + 2p(x + 1)3 = 0
Lời giải Điều kiện: x ≥ −1 Đầu tiên ta biến đổi
x3− 3x2− 3x + 2p(x + 1)3 = 0 ⇔ x3− 3x(x + 1) + 2p(x + 1)3 = 0 (?)
Trang 4Và phát hiện rằng các hệ số là (1 − 3 + 2 = 0) như vậy khả năng tách được thành nhân tử là cực
kì cao, tuy nhiên để tránh hoan mang về căn số ta đặt 0 ≤ A =√
1 + x Ta biến đổi tiếp bằng cách tách về cùng hệ số, và (?) được viết lại thành:
x3− x(x + 1) + 2p(x + 1)3− 2x(x + 1) = 0
⇔ (x − A) [(x − A)(x + A) + A(x − A)] = 0
Như vậy vấn đề còn lại chỉ là các biến đổi:
"
x = A
"
x + 1
x = −2√
x + 1 Tới đây là gần xong bài rồi, nhớ kiểm tra lại các điều kiện của x,
cuối cùng ta có kết quả x = 1 +
√ 5
√
7 Giải phương trình
2(x2+ 2) = 5√
x3+ 1
Lời giải Điều kiện: x ≥ −1 Ta có phương trình đã cho tương đương với
2(x2+ 2) = 5p(x + 1)(x2 − x + 1)
Nhận thấy (x + 1) + (x2− x + 1) = x2+ 2
nên ta có thể đặt a =√
x + 1, b =√
x2− x + 1 và thu được 2(a2+ b2) = 5ab ⇔ a = 2b ∨ b = 2a
? Trường hợp a = 2b, ta có√
x + 1 = 2√
x2− x + 1
⇔ (x + 1) = 4(x2− x + 1) ⇔ 4x2− 5x + 3 = 0 (vô nghiệm)
? Trường hợp 2a = b, ta có 2√
x + 1 =√
x2− x + 1
⇔ 4(x + 1) = x2 − x + 1 ⇔ x2− 5x − 3 = 0 ⇔ x = 5 +
√ 37
√ 37
Vậy, phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là x = 5 +
√ 37
5 −√ 37
8 Giải phương trình
2x2+ 5x − 1 = 7√
x3− 1
Lời giải
Trang 5Điều kiện: x ≥ 1 Để ý rằng 2x2+ 5x − 1 = 2(x2+ x + 1) + 3(x − 1) và x3− 1 = (x − 1)(x2+ x + 1),
ta có thể viết lại phương trình dưới dạng
2(x2+ x + 1) + 3(x − 1) = 7p(x − 1)(x2+ x + 1)
Từ đây, ta dễ dàng phân tích nhân tử và thu được
2√
x2+ x + 1 −√
x − 1 √
x2+ x + 1 − 3√
x − 1= 0
⇔
"
2√
x2+ x + 1 =√
x − 1
√
x2+ x + 1 = 3√
"
4x2+ 3x + 5 = 0
x2− 8x + 10 = 0
9 Giải phương trình:
3
√ 7x + 1 −√3
x2− x − 8 +√3
x2− 8x − 1 = 2
Lời giải Đặt m =√3
7x + 1, n = −√3
x2− x − 8 và p = √3
x2− 8x − 1 Phương trình đã cho trở thành:
m + n + p = 2
Từ cách đặt các ẩn m, n, p ta có:
m3+ n3+ p3 = 8
Do đó, ta có hệ:
m + n + p = 2
m3+ n3+ p3 = 8
Mặt khác, ta lại có:
(m + n + p)3 = m3+ n3+ p3+ 3(m + n)(n + p)(p + m)
Từ đó, ta suy ra:
(m + n)(n + p)(p + m) = 0
Phương trình ⇔
3
√ 7x + 1 =√3
x2− x − 8
3
√
x2− x − 8 = √3
x2− 8x − 1
3
√ 7x + 1 = −√3
x2− 8x − 1
⇔
x2− 8x − 9 = 0 7x − 7 = 0
x2− x = 0
10 Tìm các nghiệm thực của phương trình sau
r
x3+ 1
x + 3 +
√
x + 1 =√
x2− x + 1 +√x + 3
Lời giải Điều kiện: x ≥ −1 Phương trình đã cho tương đương:
√
x3 + 1
r x + 1
x + 3 =
r
x2− x + 1
Trang 6Đặt a =r x + 1
x + 3; b =
x2− x + 1
x + 3 Phương trình đã cho có dạng:
ab + a = b + 1 ⇔ (b + 1)(a − 1) = 0
Phương trình ⇔
r
x2− x + 1
x + 3 + 1 = 0
r x + 1
x + 3 − 1 = 0
⇔
vô nghiệm
x + 1
x + 3 = 1
11 Tìm các nghiệm thực của phương trình sau:
√
x4+ 3x2− 4 + 3x =√3x4 + 16
Lời giải Điều kiện: |x| ≥ 1 Từ phương trình ta thấy:
4− 3x2+ 20
√ 3x4+ 20 +√
x4+ 3x2− 4 > 0.
Do đó, phương trình đã cho tương đương với:
√
x4+ 3x2− 4 + 3√x2 =√
3x4+ 16
⇔ 3p(x4+ 4x2)(x2− 1) = (x4 + 4x2) − 10(x2− 1)
4+ 4x2
x2− 1 − 3
r
x4+ 4x2
x2− 1 − 10 = 0 (do x = 1 không là nghiệm của phương trình).
12 Tìm các nghiệm thực của phương trình sau:
√
x + 1 +√
2x − 1 =√
3x − 1 +√
x
Lời giải Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là: x ≥ 1
2 Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:
√ 2x − 1 −√
3x − 1 −√
x + 1 (1)
2x − 1 +√
2(x − 1)
√ 3x − 1 +√
x + 1
2x − 1 +√
2
√ 3x − 1 +√
x + 1. (2) Kết hợp (1) và (2), ta được:
√ 3x − 1 +√
x + 1 = 2√
2x − 1 + 2√
x ⇔ 2√
3x − 1 = 3√
2x − 1 +√
x
⇔ 6px(2x − 1) = 5 − 7x ⇔
1
2 ≤ x ≤ 5
7
23x2+ 34x − 25 = 0
⇔ x = −17 + 12
√ 6
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = −17 + 12√6