PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARITDạng 1.. Giải các phương trình sau: 1.. Giải các phương trình sau: 1... Giải các phương trình sau: 1.. Giải các phương trình sau: 1.. Phương ph

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

Dạng 1 Phương trình cơ bản

a) Phương trình mũ cơ bản có dạng: a x =m, trong đó a>0, a≠1 và m là số đã cho.

• Nếu m≤0, thì phương trình a x =m vô nghiệm

• Nếu m>0, thì phương trình a x =m có nghiệm duy nhất x=loga m

b) Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log a x m= , trong đó m là số đã cho.

• Phương trình có điều kiện xác định là x > 0 ( a>0, a≠1).

• Với mọi m∈¡ , phương trình loga x m= có nghiệm duy nhất x a= m

VD1 Giải các phương trình sau:

1 5x+ 1+6.5x−3.5x− 1=52

2 3x+ 1+3x+ 2+3x+ 3=9.5x+5x+ 1+5x+ 2

3 3 2x x+ 1=72

4 4x2− + 3x 2+4x2+ + 6x 5 =42x2+ + 3x 7+1

5 5.32x− 1−7.3x− 1+ 1 6.3− x +9x+ 1

VD2 Giải các phương trình sau:

1 log3x x( + =2) 1

log x − −3 log 6x−10 + =1 0

3. log(x+15)+log 2( x− =5) 2

4 ( 1 )

2

log 2x 5

x

+ − =

Bài tập

Giải các phương trình sau:

1 3x+ 1−2.3x− 2 =25

2 3.2x+ 1+2.5x− 2 = +5x 2x− 2

3 4logx+ 1−6logx=2.3logx2 + 2

4

3 1

0

    − =

 ÷  ÷

   

5 2.5x+ 2 −5x+ 3+375 0=

6 3 2x− 5 −5 2x− 7 =32

7 2.5 1 1.4 2 1.5 2 4 1

8 3 10( x−6x+ 2)+4.10x+ 1 =5 10( x− 1−6x− 1)

9 log 3(x−2 log) 5x=2log3(x−2)

10 2 2( ) ( )

1

4

x

+

11 log 16 log 7 2x2 − x =

4 2log 2 log 2 1

3

Dạng 2 Phương pháp đưa về cùng cơ số

Sử dụng công thức:

• aα =aβ ⇔ =α β

• 0( )

loga b loga c b c

b c

>





hoÆc > 0

VD1 Giải các phương trình sau:

1 2 1 1

5 x+ +7x+ −175x−35 0=

2 3.4 1.9 2 6.4 1 1.9 1

3 2 1 3 2 2 3 4 1

.2x 2x 2x 2x

4 4x2+x+21 −x2 =2(x+ 1 ) 2 +1

VD2 Giải các phương trình sau:

1

log 2.log 2 log 2x x = x

5

log x log x 1

3 log2x+log3x+log4x=log20 x

( )

( 1)

log 2 2 log

1 1

3

log

2 3

x

+

x x

x

log x +3x+ +2 log x +7x+12 = +3 log 3

2

log 3 log 1 log 4

Bài tập

Giải các phương trình sau:

1

2 3

1

3

x

−

+

  =

 ÷

 

2 log log4 2x+log log2 4x=2

3 3.13x+13x+ 1−2x+ 2 =5.2x+ 1

1 log 2 3 log

3

x

x

−

+

5 ( 2 ) ( )2

log x − −1 log x−1 =log x−2

log 6 4− x x− =2log x+4

7 ( − =) 1 5−

2 log 1 log log

2

2 log x log x.log 2x 1 1

log x+1 + =2 log 4− +x log 4+x

Dạng 3 Phương pháp đặt ẩn phụ

VD1 Giải các phương trình sau:

1 2 2 1 2 2

4x+ x− −5.2x− + x − − =6 0

2 3 2cos 1 cos

4+ x−7.4+ x− =2 0

3 (26 15 3+ ) (x+2 7 4 3+ ) (x−2 2− 3)x =1

4 (2− 3) (x+ +2 3)x =14

5 3 1 5 3

5.2 x− −3.2 − x+ =7 0

6 23 83 6 2 11 1

 − −  − =

7 27x+12x =2.8x

VD2 Giải các phương trình sau:

1. log2(x+ =1) log 16x+1

2. log 6.5( x +25.20x) = +x log 25

2

log log (4 ) 12x x x =

log 4 log

log 2 log 8

x x

log 4x+ +4 log 4x+ =1 3

6 log log4( 2x)+log log2( 4x)=2

25

log 125 logx x x=1

1 log 3 log log 3 log

2

9 ( 3 ) 9

3

4

1 log

x

x

x

−

10 log2x = log3( x + 2 )

Bài tập

Giải các phương trình sau:

1 9x−10.3x+ =9 0

2 2 2

4x −6.2x + =8 0

15.25x −34.15x +15.9x =0

4 9sin 2x+9cos 2x =10

5 (2+ 3) (x+ −2 3)x =4

6 3

5 log log 3

2

x

7 2xlog 2x+2x−3log 8x− =5 0

8 5x− 1+5.0, 2x− 2 =26

9 25x−12.2x−6, 25.0,16x =0

10 1 3 3

64x 2 +x 12 0

11 25logx= +5 4.xlog5

12 4x−4 x+ 1 =3.2x+ x

13 2sin 2x+5.2cos 2x =7

14 4cos 2x+4cos 2x =3

15 ( 4 15) ( 4 15) 8

16 ( ) (cos )cos 5

7 4 3 7 4 3

2

17 (7 3 5+ ) (x+ −7 3 5)x =14.2x

18 2( )

log 5 1 log 7

7 x− −x =0

19 logx 3 logx 3x+ =1 0

log 4 log

log 2 log 8

x x

21 1 2 log+ x+25 log= 5(x+2)

22 log 2 log 5 2

5 x 2 15

x

23 log log( x)+log log( x3− =2) 0

24 ( ) ( 1 )

3

log 3x−1 log 3x+ − =3 6

25 9x−8.3x+ =7 0

26 1.42 1 21 13.4 1

2

27 6.91x −13.61x+6.41x =0

28 3 3 3

25x − 9x + 15x =0

29 log 9 22( x) 3

x

30 ( 2+ 3) (x+ 2− 3)x =2x

Dạng 4 Phương pháp lôgarit

VD Giải các phương trình

1

  = 

2 2

5 3x x =1

3 3 8 2 6

x

x x+ =

Bài tập

Giải các phương trình sau:

4.9x− =3 2 x+

2 2 2

2x − x.3x =1,5

3 5 22 11 50

x

x x−

+ =

4 3 232 6

x

x x+ =

5 3 2

2x =3 x

Dạng 5 Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của hàm số VD1 Giải các phương trình:

1 2 1 32

x

2 2 3−x = − +x2 8x−14

VD2 Giải các phương trình:

1 log2x= −3 x

2 2 ( )

l og x+ −x 1 log x= −6 2x

VD3 Giải các phương trình:

1 25x−2 3( −x)5x+2x− =7 0

2 8−x.2x+23 −x− =x 0

VD4 Giải phương trình: x2.3x+3 12 7x( − x) = − +x3 8x2−19x+12

VD5 Giải phương trình: log 12( + x) =log3x

VD6 Giải phương trình: + + − = ( − + )

2 3

8

log 4 4 4

Bài tập

Giải các phương trình sau:

1 ( ) 2( ) ( ) ( )

2 log 1 4 1 log 1 16 0

2 4x+9x=25x

3 3.25x−2+(3x−10 5) x−2+ − =3 x 0

4 9x+2(x−2 3) x+2x− =5 0

5 x+log(x2− − = +x 6) 4 log(x+2)

6 ( ) 2( ) ( ) ( )

3 log 2 4 2 log 2 16