PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Đặt vấn đềTrong chơng trình toán học phổ thông thì phơng trình nói chung và phơng trình vô tỷ nói riêng là một trong những kiến thức rất cơ bản và phổ biến.Phơng trình vô tỷ thừơng xuất

A Đặt vấn đề

Trong chơng trình toán học phổ thông thì phơng trình nói chung và phơng trình vô tỷ nói riêng là một trong những kiến thức rất cơ bản và phổ biến.Phơng trình vô tỷ thừơng xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi Có rất nhiều phơng pháp giải phơng trình Với đề tài này tôi chỉ xin đợc trao đổi cùng các bạn

về các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ một ẩn mà ở đó chứa các căn thức bậc hai là chủ yếu và mở rộng hơn là các căn bậc ba, bậc bốn, bậc năm mà giải nó chúng ta phải đa về hệ phơng trình

Trong quá trình giảng dạy ở lớp 9 , tôi thấy phơng trình vô tỷ là một trong những phơng trình mà khi giải ngời làm toán phải định hớng đợc nên giải theo cách nào cho phù hợp và nhanh gọn Vì vậy khi học sinh giải các phơng trình vô tỷ , để có một định hớng rõ ràng và việc tìm ra lời giải quả thật không phải là công việc đơn giản Trong khi bồi dỡng học sinh giỏi cũng nh ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi chuyển cấp, đòi hỏi ngời giáo viên phải tìm tòi, suy nghĩ, đọc nhiều sách tham khảo Chính vì thế tôi đã tổng hợp lại một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ cho học sinh nh sau:

b giải quyết vấn đề

I Cơ sở thực tiễn:

ở chơng trình đại số 9 Học sinh đã biết áp dụng định nghĩa căn bậc hai số học , sử dụng hằng đẳng thức A2 A , các phép biến đổi căn thức bậc hai để giải Tuy nhiên cha có

hệ thống phơng pháp giải nên học sinh còn lúng túng

II Khảo sát thực tiễn của đề tài:

1 Số liệu thống kê:

Khi cha áp dụng đề tài, giáo viên ra bài tập giải phơng trình vô tỷ, ta thấy:

*

4

1

số em giải đúng

*

4

1

số em giải cha đúng

*

2

1

số em không giải đợc

2 Phân tích:

* HS không giải đợc hoặc giải sai kết quả do:

+ Cha biết cách áp dụng những kiến thức đã học vào giải phơng trình nh: Bình phơng hai

vế, phân tích đa thức thành nhân tử, bất đẳng thức

+ Cha có phơng pháp cụ thể để giải phơng trình

+ Cha nắm chắc các kiến thức liên quan, thiếu cẩn thận dẫn đến phơng trình thiếu nghiệm hoặc thừa nghiệm

III Đề xuất- giải pháp

* Giúp HS:

+ Hình thành cho HS có kỹ năng giải phơng trình vô tỷ

+ Đa ra một số phơng pháp giải cho HS khá, giỏi

iV Nội dung

1* Một số vấn đề về lý thuyết

+ Khái niệm về phơng trình vô tỷ: Ta gọi phơng trình vô tỷ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn

2* Một số phơng pháp giải

1 Phơng pháp 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc hai số học













a x x x

Ví dụ 1: Giải phơng trình 3x 4 x

Ta có : 3x 4 x 











4 3 0

x x

Giải x2=3x+4 ta đợc x=-1 ; x=4 Đối chiếu với điều kiện x 0 thì nghiệm của phơng trình

là x=4

2 Phơng pháp 2: Sử dụng hằng đẳng thức A2 A để đa phơng trình vô tỷ về phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 2: Giải phơng trình : x 4 x 4  x 4 x 4  4 (2)

Giải :

Với điều kiện : x 4 ta có :

(2)  x 4  4 x 4  4  x 4  4 x 4  4  4

2

4 



 x +  x 4  22  4

 x 4  2 + x 4  2  4

4 2 4 2



 x x vì x 4  2  0 x  4

* Nếu x 4  2  0  x 8 thì ta có : 2 x 4  4  x 8 (thoã mãn)

* Nếu x 4  2  0  x 8 thì ta có : x 4  2  2  x 4  4  4  4 Vậy phơng trình có vô số nghiệm x thoã mãn 4 x 8

Chú ý: HS có thể sai lầm khi kết luận nghiệm

3 Phơng pháp 3: Bình phơng hai vế của phơng trình vô tỷ đã cho để có phơng trình hữu tỷ

Ví dụ 3: Giải phơng trình : 2x 5  3x 5  2 (3)

Giải

Điều kiện: 









0 5 3

0 5 2

x x

5 3

5 2 5

















x x

Ta có (3) <=> 2x 5  3x 5  2 (3’)

Hai vế của (3’) không âm, bình phơng hai vế của (3’) ta đợc:

2x+5 =3x-5 + 4 3x 5  4

x

x  

 4 3 5 6 (3’’)

Với ĐK: 6  x 0  x 6 Hai vế của(3’’) không âm nên ta bình phơng hai vế của (3’’) ta

đợc: 16( 3x-5) =36+x2 -12x

 x2 - 60x+116=0  x=2 ; x=58

Đối chiếu với các điều kiện

3

5



x và x 6 thì nghiệm của phơng trình là : x=2

Chú ý: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho hai vế của phơng trình đều không âm

thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai Thật vậy ở trong ví dụ này nếu cho điều kiện

3

5



x rồi bình phơng hai vế của (3) thì ta sẽ đợc 2x+5 +3x-5-2

 2x 5  3x 5   4  2  2x 5  3x 5   5x 4(3’’’)

Bình phơng hai vế của phơng trình (3’’’) ta đợc : x2 - 60x+116 =0 <=> x=2 ; x=58

Đối chiếu với các điều kiện

3

5



x thì phơng trình có hai nghiệm x=2 ; x=58.Mà khi thử lại ta thấy x=2 là nghiệm

4 Phơng pháp 4: Phân tích thành nhân tử để xuất hiện những phơng trình vô tỷ

đơn giản hơn

Ví dụ 4: Giải phơng trình : x 1 x 3   x 2  x 1 x 2   x 3 (4)

Giải















 x x x x x + x 3 (4’)

Với điều kiện : x 3 ta có :

(4’)  x 1 x 3  x 2  x 1 x 2  x 3

  1  1  2   3 0





















0 3 2

0 1

1

x x

x

















3 2

1

1

x x

x













3

2

3 0

x

vậy phơng trình đã cho vô nghiệm

5 Phơng pháp 5: Đặt ẩn phụ

a) Đặt ẩn phụ để có phơng trình bậc hai

Ví dụ 5 : Giải phơng trình : 3x2 +6x+20 = 2 2 8



 x

Giải

Ta có (5) <=> 3( x2 +2x+8)- 4= 2 2 8



 x x

Vì x2+2x+8=(x+1)2 +7 => TXĐ : Mọi x

Dặt t= 2 2 8



 x

x => t  7 Khi đó ta có : 3t2 - 4= t









 3t2 t 4 0 t = -1 7 loại

t= 7

9

63 9

16 3

4





b) Đặt ẩn phụ để có phơng trình hữu tỷ bậc cao

Ví dụ 6 : Giải phơng trình 2 12 1 36







x

Giải

ĐK : x+1>0 <=> x   1

Đặt x 1 t t 0 => x+1 =t2 => x=t2-1 => x2 =t4 -2t2 +1

Khi đó ta có : t4 -2t2 +1 +t2 -1+ 12t -36=0













































































0 18 3 2

2

0 18 3 2 2

0 2 18 2 3 2 2

2

0 36 18 6 3 4 2 2

0 36 12

2 3

2 3

2 3

2 2 3 3

4

2

4

t t

t

t

t t t

t

t t

t t

t t

t

t t t t t t

t

t t

t

<=> t=2 => x+1=4 => x=3>-1 Vậy nghiệm của phơng trình là x=3

c) Đặt ẩn phụ để có hệ phơng trình hữu tỷ đơn giản

Ví dụ 7: Giải phơng trình x 2  x 6  2

Giải

Điều kiện: x 6

Đặt a= x 6 ; b= x 6 ( a, b không âm) Từ đó ta có hệ:

7 1

9

1

3

1

3

4

2

8

2





























































x x

x

x

x

b

a

b

b

b

b

(TMĐK) nên là nghiệm của phơng trình

Ví dụ 8: Giải phơng trình : 3 x 1  3 x 3  3 2

Giải

Đặt a =3 x 1 ; b = 3 x 3 Từ đó ta có hệ:































































3 3 3

2

3

3

2

3

3

3

2 0 0

2 4

3

2

4

2

2

2

b a ab

b

ab

b

b

b

ab

a

b

b

b

hoặc 



 0 2

3

b a

Nếu a=0; b=-3 2 => x=1

a=3 2 ; b=0 =>x=3

Vậy phơng trình có hai nghiệm : x=1 ; x=3

6 Phơng pháp 6: Nhẩm nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Ví dụ 9: Giải phơng trình : xx 1   xx 2   2 xx 3  (9)

Giải

(loại) (vô lý)

vô nghiệm vì 0 3 2 2 3 18 18 0













t

Ta thấy với x=0 thì giá trị vế trái= 0  0  1   0  0  2   0

Giá trị vế phải = 2  0  3   0 => x=0 là nghiệm

Giả sử phơng trình có nghiệm x>0 Tiến hành chia hai vế của (9) cho x ta có

3 2 2

1    

Mà x 1   x 3   x 2  x 3  x 1  x 2  2 x 3  (9’) vô nghiệm=> phơng trình (9) không có nghiệm x>0

Giả sử phơng trình có nghiệm x<0 Tiến hành chia hai vế của (9) cho  x ta có

x x

x   

Mà 1  x  3  x => 2  x  3  x  1  x 2  x  2 3  x (9’’) vô nghiệm => phơng trình (9) không có nghiệm x<0

Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho

7 Phơng pháp 7:Sử dụng bất đẳng thức

a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau, khi đó phơng trình vô nghiệm

Ví dụ 10: Giải phơng trình : x x 1  x 3

Giải

0 3

0















x x

x

Khi đó ta có : x  x 1 => giá trị của vế trái nhận giá trị âm Mà x 3  0=> giá trị vế phải lại không âm Do đó phơng trình đã cho vô nghiệm

b) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không giao nhau tại cùng một giá trị Khi đó phơng trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn

Ví dụ 11: Giải phơng trình : x2  2x 2  3x2  6x 7  2  2x x2

Giải

Ta có : 2 2 2  1  2 1 1











 1  4 4 3

7

6











=> Giá trị vế trái  1 4 3.Dấu “=” xảy ra x=-1

Mà 2- 2x- x2 =-(x2 +2x+1)+3=- (x+1)2 +3  3 Dấu “=” xảy ra x=-1

Vì thế x=-1 là nghiệm của phơng trình đã cho

c) Sử dụng dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức:

Ví dụ 12: Giải phơng trình : 2 4

2

4







x

Giải

ĐK: x>2 Ta có 0 ; 2 0

2

4







x áp dụng bất đẳng thức cô-sy cho hai số không âm

ta có:

4 2 2

4 2 2 2

4













x

x

x

áp dụng a+b 2 ab a,b 0 Dấu “=” xảy ra  a=b

2

4





2 2

4







x

  2  2 4





2

4 2 2 2

4 2

2

4





















x

x x

x x

4 2 2

4 2

2

4















x x

x

 2  2 4





x  x 6  2(TM) Vậy nghiệm của phơng trình là x=6

3* Bài tập tơng tự: Giải các phơng trình

Bài 1 : 2 5 1 2 1







x

Bài 2: x 2  4 x 2  x 7  6 x 2  1

Bài 3: x2 +3x+2 -5 2 3 8 0





 x

x ( Đề thi HSG huyện năm học :2003-2004) Bài 4: x+ x 2  2 x 1( Đề thi tốt nghiệp THCS năm học :2002-2003)

Bài 5 :  x 1  1x 1  3 x 3 4x (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10-2006)

Bài 6 : 2x 3  5  8x  4x 7

Bài 7 : 4 x 8  4 x 8  2

Bài 8 : x2 +3x+1=(x+3) 2 1



x

4* kết quả:

Qua quá trình ôn tập cho HS lớp 9 và bồi dỡng học sinh giỏi tôi đã mạnh dạn đa đề tài này áp dụng vào việc giảng dạy Tôi thấy học sinh rất say mê giải bài tập với các dạng trên.Có nhiều bài toán khó các em đã cùng nhau tháo gỡ, có khoảng 60% học sinh tiếp thu tốt đề tài này

c kết luận

Qua việc tổng hợp một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ cho học sinh lớp 9 Tôi đa

ra giảng dạy cho học sinh giỏi và ôn tập cho học sinh chuẩn bị cho kỳ thi chuyển cấp Khi có kỹ năng giải phơng trình vô tỷ bằng các phơng pháp trên, thì các em cũng phát hiện rất nhanh đối với việc giải phơng trình vô tỷ không mẫu mực khác.

Trong quá trình tham khảo, chọn lọc và viết, chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong đợc sự góp ý trao đổi của các bậc thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp

để vấn đề trên đợc hoàn thiện hơn.