KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC 1.
Trang 1KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
1
Trang 2A/ Đường tròn lượng
giác, giá trị lượng
giác:
Bảng giá trị của các
góc đặc biệt:
Góc
GTLG
00
(0)
30 0 ( 6
)
2
2
B/ Các hệ thức
L
ư ợng Giác C ơ Bản:
2 2
2 2
2 2
2
sin
Hệ quả:
sin 2 x = 1-cos 2 x ;
cos 2 x = 1- sin 2 x
tanx= 1
cot x ;
1
cot
tan
x
x
C/ Giá Trị Các Cung
Góc Liên Quan Đặc
Biệt:
“ Cos đối, Sin bù, Phụ
chéo, tan cot lệch ”
D/ Công thức l ư ợng
giác
1 Công thức cộng:
Với mọi cung có số đo
a, b ta có:
cos (a – b) =
cosa.cosb +
sina.sinb
cos (a + b) =
cosa.cosb –
sina.sinb
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) =
1 tan tan
tan(a + b) =
1 tan tan
2 Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
1 sina.cosa= sin2
cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a –
1 = 1 – 2 sin 2 a
tan2a =
2
2 tan
1 tan
a a
3 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin 3 a
cos3a = 4cos 3 a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:
cos 2 a =
1 cos 2 2
a
sin 2 a =
1 cos 2 2
a
tg2a =
1 cos 2
1 cos 2
a a
5 Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan
2
x
: sinx =
2
2 1
t t
cosx =
2 2
1 1
t t
tanx =
2
2 1
t t
cotx =
2 1 2
t t
6 Công thức biến đổi tổng thành tích
sin( )
a b a b k k Z
a b
sin sin
sin( )
sin sin
a b a b k k Z
a a a cos a
a a a cos a
a a cos a a
7 Công thức biến đổi tích thành tổng
1
2 1
2 1
2 1
2
E/ PH ƯƠ NG TRÌNH L
Ư ỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản
DẠNG 1 : sinu =
sinv
2 2
u v k
Nếu u, v tính bằng
độ thì :
sinu = sinv
0
.360
u v k
Phương trình sinx = a có nghiệm khi
và chỉ khi – 1
≤ a ≤ 1 hay
a ≤ 1 và vô nghiệm khi
và chỉ khi
a 1
a >1.
Các trường hợp đặc biệt :
sinx =
0
x = k
sinx =
1
x = 2
+ k
2p
sinx
= – 1
= – 2
+ k
2p
Cho a [ 1;
1] thì arcsina
là góc
2 2
; sao cho sin = a
Khi đó phương trình sinx = a
2 2
x arcsina k.
x arcsina k.
DẠNG 2 : cosu
= cosv u = v + k2
Nếu u, v tính bằng độ thì : cosu = cosv u =
v + k.360o
sin
2
0
3
2
cos
0
Trang 3 Phương trình
cosx = a có
nghiệm khi
và chỉ khi – 1
≤ a ≤ 1 hay
a ≤ 1 và vô
nghiệm khi
và chỉ khi
a 1
a >1.
Cho a [ 1;
1] thì
arccosa là
góc
; sao
cho cos = a
Khi đó
phương trình:
cosx = a
2 2
x arccosa k.
x arccosa k.
Các trường
hợp đặc biệt :
cosx = 0
x = 2
+ k
cosx = 1
x = k2
cosx = – 1
x = +
k2
DẠNG 3 : tanu
= tanv u = v + k
Nếu u, v tính
bằng độ thì
tanu = tanv u
= v + k.180o
Phương trình
tanx = a luôn
luôn có
nghiệm với
mọi giá trị
của a
Cho a bất kỳ,
ký hiệu
arctana là
góc thuộc
2 2
o cho tan =
a
Khi đó, ph tr tanx = a x = arcta + k.
DẠNG 4 : cotu
= cotv u = v + k
Nếu u, v tính bằng độ thì cotu = cotv u
= v + k.180o
Cho a bất kỳ,
ký hiệu arccota là góc thuộc a
0; sao cho cotx = a
Khi đó, ph tr cotx = a x = arccota + k.
2/ Ph ươ ng trình bậc hai đối với một hàm số l ư ợng giác
Là các phương trình lượng giác có dạng sau:
at 2 + bt + c = 0 (1) ,
trong đó t là một
trong các hàm số:
sinu; cosu; tanu;
cotu.
Với a;b;c R;
a0 Và u: biểu thức chứa ẩn (u=u(x)).Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều kiện của ẩn phụ:
+ t=sinu , t=cosu : t 1 + t=tanu
2
u k ; t=cotu (u k ) Giả sử giải tìm được t1; t2 thoả đ/k thì phải giải tiếp:sinu=t1; sinu=t2(hoặc cosu=t1; cosu=t2 )
3/ Ph ươ ng trình bậc nhất đối với sinx, cosx
Dạng tổng quát:
asinx + bcosx = c (2) (a,b,cR a b c, , , 0)
Phương pháp giải:
Chia hai vế của PT cho a2b2 , (1)
2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
a b a b a b
(ĐK để PT (2) có
nghiệm:
a b c ) sin cosx cos sinx sin sin(x ) sin
Trong đó:
4/ Ph ươ ng trình đẳng cấp bậc hai:
Dạng:
a.sin 2 u+b.sinu.cosu +c.cos 2 u = 0 (3)
(hoặc vế phải = d 0)
Phương pháp giải:
B1: Xét
2
u k
có thỏa phương trình không?
B2: Nếu
2
u k không thỏa phương trình ta chia 2 vế của
phương trình cho cos2u 0 Ta có PT
bậc 2 : atan 2
u+btanu+c = 0 trở
về dạng 3
5/ Ph ươ ng trình
l ư ợng giác đối xứng:
Dạng: a(sinx
cosx) + bsinxcosx +
c = 0 (4) (a,b,c
R a b
Phương pháp giải:
Đặt
4
(Đ/k : t 2)
2 1 sin cos
2
Thế vào PT (4) ta được phương trình:
2
2 1
2
t
(4 ’)
Giải PT (4 ’) ta sẽ
tìm được giá trị t
thoả đ/k, thế vào (*) giải tiếp tìm ra
nghiệm x của
