Tìm cực trị của hàm.. Tại điểm N đó tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất.. Biểu diên trên hình vẽ.
Trang 1TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số:01
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài 1: Cho hàm số:
3 2 1 2 5
zx x xy y x y
1 Tìm cực trị của hàm
2 Tại N(0,-1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra
khỏi N theo hướng lập với trục Ox một góc 120 0
3 Tại điểm N đó tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất
Biểu diên trên hình vẽ
Bài 2: Trong không gian Oxyz tìm trọng tâm của tam giác phẳng đồng
chất ABC với các đỉnh có toạ độ A(2,0,0) , B(0,3,0), C(0,-1,3).
Bài 3: Tính
ABCDA
dx dy I
x y
, trong đó ABCDA là chu vi hình vuông
lấy theo chiều lần lượt từ đỉnh A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1).
Bài 4: Giải hệ phương trình vi phân:
x
x
Với điều kiện x=0 thì y=0 và z=0
Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
Trang 2z C
B A
O
2
-2
x N
Bài 1:
,
5
0 4
x
y
y x
z x y
2 2
x y 2 1
x y Vậy hàm số có 2 điểm tới hạn là 1
1 13 ( , ),
6 12
M 2
3 1 ( , )
2 4
M 2
3 1 ( , )
2 4
M 1
1 13 ( , )
6 12
M
z xx,, 6x 6r 3 -5
,, 1
xy
z s 1 1
,,yy 1
z t -1 -1
2
s rt 1+3=4 1-5=-4<0
Không cực trị có cực trị
Do r=-5 <0 nên hàm số đạt cực đại tại 1
1 13 ( , )
6 12
M
2 z N ,x( ) 1 2 1
y
z x y
3 4 3 2 4 2
z
l
Vậy hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi N theo hướng lập với trục Ox
một góc 120 0
3 Hướng thay đổi nhanh nhất của ham z tại N là i-1
4j
Bài 2:
+ Vẽ hình :
+ Phương trình mặt phẳng:
Trang 32
B
C
A
2
1 3
2
z
+ Khối lượng của mặt phẳng:
m ds z z dxdy dxdy dxdy
Ở đó D là hình chiếu của mặt phẳng ABC lên mặt phẳng z=0 Vậy ta có:
3 3
2 2
1
2
x
+ Tính toạ độ trọng tâm:
3 3
2 2
1
2
x
G
3 3
2 2
1
2
x
G
3 3
2 1
2
G
x
x
m
Bài 3:
Hình vuông ABCD có 4 cạnh AB, BC, CD, và DA
Cạnh AB có phương trình x y 1,0 x 1 nên dx + dy = d(x + y) = 0 Do
đó: 0
AB
dx dy
x y
Trang 4Cạnh BC có phương trình y – x = 1 hay y = x + 1, 1 x 0, dx = dy và
1 1
0
1
dx dy
dx dx
Cạnh CD có phương trình y + x = -1 nên dx + dy = d(x + y) = 0 Do đó
0
CD
dx dy
x y
Cạnh DA có phương trình y – x = -1 hay y = x – 1, 0 x 1 nên dx = dy và
1
0
dx dy
dx dx
x y
ABCD
dx dy
x y
Bài 4:
x
x
+ Ta có : z,, y, 3 z, ex z y e2x 3 z, ex
z ( z, 3 z ex) e2x 3 z, ex
4 z, 4 z ex e 2x ex 4 z, 4 z 2 ex e 2x
z,, 4 z, 4 z 2 ex e 2x
+ Phương trình thuần nhất: z,, 4 z, 4 z 0
Phương trình đặc trưng 2 4 4 0 1 2 2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là: y C e1 2x C xe2 2x
+ Tìm nghiệm của phương trình z,, 4 z, 4 z 2 ex e 2x
pháp biến thiên hằng số Ta có:
Trang 5Lấy phương trình nhân 2 rồi cộng với phương trình 2 ta được
2 3
x
2
( 1 2 ) 2
2 2 ( 2 )
2 3 9
x
Nghiệm tổng quát của phương trình là:
2
x
x e e C C x e
Thay vào y z , 3z e x ta được :
+ Tìm *
1
C , *
2
C từ điều kiện ta được:
0
Vậy nghiệm là:
z x e e x e
5 10 75 15 5
2 9 9 9 9
86 5 5 5
Trang 6Bài 1
(2đ)
,
5
0 4
x
y
y x
z x y
0.5
x y
x y
0.25 0.25 hàm số đạt cực đại tại 1
1 13 ( , )
6 12
M
Hàm số không đạt cực trị tại 2
3 1 ( , )
2 4
M
Tại N(0,-1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi N theo hướng lập với trục Ox một góc 120 0
Hướng thay đổi nhanh nhất của ham z tại N là i-1
4j
0.25 0.25
0.25 0.25
Bài 2:
(2.5đ)
Lập phương trình mặt phẳng
9 3 9
8 4 4
z x y
0.25
Khối lượng của mặt phẳng:
1 ( ) ( )
2
mds z z dxdy
0.5
G
G
2
2 0
181 3
G
0.5
Bài 3:
(2.5đ)
Vẽ hình
Cạnh AB có 0
AB
dx dy
x y
0.5 0.5
Trang 7Cạnh BC có:
0
1
dx dy
dx dx
Cạnh CD : 0
CD
dx dy
x y
1
0
dx dy
dx dx
x y
Bài 4:
(3.0 đ) Khử
Phương trình thuần nhất: z,, 4 z, 4 z 0
Phương trình đặc trưng 2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là:
y C e C xe
0.25 0.25
2 3
x
0.25
0.25
2
( 1 2 ) 2
2 2
2 3 9
x
0.25
0.25
z x e e C C x e
0.25 0.25
0
0.25 0.25
