Đề thi học phần toán cao cấp 3 - 4 pps

Tìm cực trị của hàm 2.. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất.. Biểu diễn trên hình vẽ.. Cách 2: Áp dụng công thức Green.

Khoa Khoa học cơ bản

Đề số: 07

Học phần: Toán cao cấp 3

Ngày thi:

Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1: Cho hàm số:

3 2 2 2 5 2 2

2

x

1 Tìm cực trị của hàm

2 Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 45 0

3 Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất Biểu diễn trên hình vẽ

L





L là đường cong nối 3 điểm A (-1, 1), B ( 2, 2), C (0, 2) trong đó đoạn AB là đường y x 2, đoạn BC là đường y=2 và đoạn CA là đường y = x + 2 bằng 2 cách:

Cách 1: Tính trực tiếp tích phân đường loại 2

Cách 2: Áp dụng công thức Green

Câu 3: Giải hệ phương trình vi phân:

 ' '

3

z y z

  

với điều kiện khi x=0 thì y=0 và z=0

Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn

Giảng viên ra đề 2:

-2

-4

y

x N

Bài giải

2

x

' 2 '

1

2

2 4 5 0

x y

   







→-2y=x-5

2

Thay vào phương trình trên ta có:

2 2

→ 1

2

1 3 2 3

x x





→ 1 2

13 12 9 4

y y





M1 (1 13,

3 12) M2 (-2,9

4)

'' 6 4

xx

zxy''  2  s - 2 - 2

''yy 4

Không cực trị Có cực trị

r = -8 cực đại

2

'

'

1 5 ( ) 3.4 8 2

2 2 ( ) 4 4 5 5

5

x

y

z N

z N

z

l

    

   





Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 45 0

3 Hướng thay đổi nhanh nhất là 5

2i+5j

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

1 2

x

A

B

C

Câu 2: * Trực tiếp:

AB: x: -1→ 2, y x 2

2

1

2

1

1 1

2

2















BC: x: 2→0, y=2

2 2

2 2

x

x  x dx  x   

 CA: x : 0→-1, y=x+2

1

2 2

0

1

0

0 0

5

2















Vậy

 2   2  2 2 8 2 2 2 2 1 5

8 2 67

5 30

L

 





* Áp dụng công thức Green:

2 2

y





 ,Q xy y  2 y, Q y

x







D

I y x dxdy

Phần 1: x:-1→0

2 2

2

2

3 1

1

3 1

1

2 2

5

5

y

 

 

















Phần 2: x : 0→ 2

2

2

2

0

2

y

y

y x

y x

y









Vậy

D



Câu 3:

'' ' ' '

'' 4 ' 5 5

* Phương trình thuần nhất:

'' 4 ' 5 0

Phương trình đặc trưng: 2

4 5 0

    

2

i i



1 xcos 2 xsin

* Phương trình không thuần nhất:







x

x









1 5 xsinx 1 5 xsin x 1

2 5 xcosx 2 5 xcosx 2

* e 2xsin xdx ?



 e2 x u

 → du=-2e dx2x

sinxdx=dv →v =- cosx

2xcos 2 2xcos

cos sinx

  

  

cos 2 s inx 2 sin x







* e2xcosxdx e2x u du 2e2x dx



cos xdx dv  v s inx

e2xcosxdx e2xsinx 2 e2xsinx

sin x cos

  

  

2xcosx 2xsin 2 2xsin







cos 2 sin sin 2 os

Vậy

x

Thay vào 2z = y’-3y-1

2

x

x

y 0 0      c 1 c  1

*

* 2

2

c

c



2

3

2

x

y  x  e

5cos 1sinx 2 2

x

Đáp án-Thang điểm

Câu 1(2đ): * 3x  5x 2 0  →3 12

→ 2,9

4

 

* Tại 1

1 13 ,

3 12

M  

* Tại 2

9 2, 4

M  

2 Tại điểm N(-2,1) hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 45 0 (0.25)

3 Hướng thay đổi nhanh nhất là 5

Câu 2(5đ): Vẽ hình: (1/2)

1 Trực tiếp AB→ 2 2 8 2 2 2

3  5 5 (1/2)

BC → 2 2 4

3

CA→1 5 2

8 2 67

5 30

L



 (1/2)

2 Công thức Green:  2 

D

y x dxdy

 (1/2) Tích phân trên bằng tổng 2 tích phân:

2

2 0

1

7 2

30

y x

y x

 

 

  (1.0)

2

2 2

0

8 2

5

y

y x





  (1.0)

5 30

D



Câu 3(3đ):

* Khử → y'' 4y'5y 5 (1/2)

* Thuần nhất →  2  4    5 0 →   2 i

1 xcos , 2 xsin

* Không thuần nhất: →  ' '

  

2 5 xcosx 2 5 xcosx 2

cos 2 sin sin 2 os

1 cos 2 sinx x 1

2

2 1 cos 1 2 sinx 2

x

* Thay điều kiện:

2 2

5cos sinx 5

3cos 2sinx

x x

x x



 



(1/2)