Tìm các điểm cực trị của hàm z.. Tại điểm N đó, hãy tìm hướng để hàm z tăng nhanh nhất.. Câu 23 điểm: Cho hệ toạ độ Oxy với i và j là vector đơn vị theo trục Ox và trục Oy.. Chứng minh r
Trang 1TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số: 10
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1(2 điểm): Cho hàm số:
3 2 2
z x x y xy x y
1 Tìm các điểm cực trị của hàm z
2 Tại điểm N (-1, 2), hàm z sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox góc 300
3 Tại điểm N đó, hãy tìm hướng để hàm z tăng nhanh nhất
Biểu diễn trên hình vẽ
Câu 2(3 điểm): Cho hệ toạ độ Oxy với i và j là vector đơn vị theo trục Ox và trục Oy.
2 2
V x y xy i x y xy j
1 Chứng minh rằng trường vector V là trường có thế Hãy tìm hàm thế của trường vector V thoả mãn điều kiện hàm thế đó có giá trị bằng 1 tại gốc toạ độ
2 Tính tích phân (tính trực tiếp):
1 2 2
L(BA)
với L là đường parabole y=x2 nối 2 điểm A (-1, 1) và B (2, 4)
3 Kiểm chứng kết quả ở phần 2) bằng cách sử dụng hàm thế tìm được ở phần 1)
Câu 3(2 điểm): Cho một vật thể phẳng, trong hệ toạ độ Oxy với trục Oy hướng thẳng đứng lên
trên, được giới hạn bởi các đường có phương trình lần lượt là : y = 0, y = b, y = x và y = x-2 Mật
độ của vật thể đó được xác định là p(x, y) = 2 – x - y
Hãy xác định độ cao tối đa (thông qua tham số b) của vật thể để vật thể đó không bị đổ dưới tác động duy nhất là của lực trọng trường
Câu 4 (3 điểm): Giải hệ phương trình vi phân:
'
'
10
2 3
với điều kiện: khi x = 0 thì y = 0 và z = 0
Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
Trang 26 4 2
y
N
Câu 1: 1 Tìm điểm cực trị:
3 2 2 2 4 3 6
z x x y xy x y
' 2
'
x
y
Thay vào ta có:
2
( 1,1), (5,13)
M 1( 1,1) M25,13
xx
zxy'' 4 s -2 -4
z''yy 2 t 2 2
s2 - rt 16+20=36 16-52=-36<0
Không cực tiểu r=26→ cực tiểu
1 Xét N(-1, 2)
Trong đó có cosα= 3
2 cosβ=1
2
'
'
4 2
x
y
z
N
z
N
z
Vậy hàm sẽ giảm nếu đi ra khỏi điểm N theo hướng lập với Ox góc 300.
3 Hướng tăng nhanh nhất của hàm z tại N (-1, 2) là (-4, 2).
Ta có hình vẽ trên:
Câu 2:
1 Chứng minh rằng trường vector V
là trường có thế:
Trang 3
2
2 2
2
y Q
x
Vậy P y Q x
→Vậy trường V có thế.
Hàm thế( , )x y được tìm theo công thức ( , )x y =
0 0
7
( , 0) ( , )
x
P x y Q x y dy C
Ta chọn x0=0, y0=0 Ta có:
2
( , )
y x
y
2
( , )
Tại O (0, 0), Ф có giá trị là 1 nên C=1 Vậy hàm Ф phải tìm là:
2
2
2 2 ( )
2 2
L BA
y
A (-1, 1), B(2, 4), L: y=x2.
2 2 2
2 2 1
2
2 2
2
2 5
24
y
x
3 Tính qua hàm thế ( , )x y
Trang 4
2
2 2 ( )
2 2 ( ) ( ) ( 1,1) (2, 4)
L BA
y
Câu 3:
1 Vẽ hình:
Phương trình của các biến:
AB: y=0
BC: y=x-2
CD: y=b
DA: y=x
2 Khối lượng của vật thể:
2 0
2
2
0
0 0
1
1
2
x y b
x y
x y b
b
b
x
3 Moment của vật thể đối với trục Oy:
2
0
0
0
yx 2
x y b x
x y
x y
x y
x y b
b
x
Trang 52 2 0
0 0
8
3
b
b
b
Vậy toạ độ x của trọng tâm M là :
2 2
x
M
4 Để vật thể không bị đổ thì Mx < 2
Ta có:
2
2
2
b
b
Giải:
1,2
3 265
9 256 265
8
Chiều cao tối đa là: 265 3
8
Câu 4:
* Phương pháp khử:
'
'
10
3
Vậy y'' 2y'2y4x1
* Giải phương trình thuần nhất: y'' 2y' 2y 0
Phương trình đặc trưng:
2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
i i
i i i
Vậy phương trình thuần nhất có hai nghiệm:
1 xsinx
y e và y2 e xcosx
Trang 6Nghiệm tổng quát là: 1 xsinx 2 xcos
y c e c e x
* Giải phương trình không thuần nhất: Phương pháp hằng số biến thiên.
c e c e x
c e x c e x x
'
1 x 4 1 cos
2 x 4 1 sinx
* Giải tìm c x1( ) và c x2( )
Xét xcos ?
e x xdx
2
x=u→du=dx
Vậy
Vậy
1
2
1
2 1
2
* 1
1 2
Tương tự
Xét ex.sinx .x dx ?
2
x=u→du=dx
Trang 7Vậy
Vậy
3
2
5
2
1
2
x x
*
Thang điểm
Bài 1: 1 x2 4x 5 0 →M 1( 1,1) 36 Không cực trị (0.5)
2(5,13)
2 z x' 4, z 'y 2 (tại N)→ 4 3 2.1 0
3 Hướng tăng nhanh nhất (-4, 2) (0.5)
Bài 2: 1 P y 2x P V
Hàm thế Ф có giá trị là 1 tại O (0, 0) là hàm
Trang 82 2 3 2
2 Tính trực tiếp:
2
4 24
x
(1.0)
3 Tính qua hàm thế: ( ) 2
3
A
( ) 3
B
(1.0)
A (-1, 1) B (2, 4) →=-24
2
2 0
x y b
3 Moment tục Ox
2 0
x y b x
b
(0.5)
Toạ độ trọng tâm:
3 2 2
5
x
b
M
Để vật thể không đổ: 0<Mx < 2→
2
ax
265 3
8
m
Bài 4: 1 Khử → '' '
2 Phương trình đặc trưng:
2
→y1e xsinx, y2 e xcosx (0.5) 3.
'
'
và c2 (0.5)