Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng ABCD tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a.. a Tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng SAC.. Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất 2
Trang 1éỀ THI thử ĐẠI
HỌC lần ii
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 cú đồ thị là (Cm); ( m là tham số)
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
2 Xỏc định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phõn biệt C(0;1), D, E sao cho cỏc tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuụng gúc với nhau
Cõu II: (2 điểm)
1 Giải hệ phương trỡnh: 2 0
x y xy
2 Tìm x(0;) thoả mãn phương trình: cotx – 1 = x x
x
x
2 sin 2
1 sin
tan 1
2
Cõu III: (2 điểm)
1 Trờn cạnh AD của hỡnh vuụng ABCD cú độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x a)
Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho
SA = 2a
a) Tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)
b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất
2 Tớnh tớch phõn: I = 4 2
0 (x sin 2 ) cos 2x xdx
Cõu IV: (1 điểm) : Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1
Trang 2Chứng minh rằng : a b b c c a 2
PHẦN RIấNG (3 điểm) ( Chú ý!:Thí sinh chỉ được chọn bài làm ở một phần)
A Theo chương trỡnh chuẩn
Cõu Va :1.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng
3
2 và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4)
và đường thẳng : 1 2
x y z
Tìm toạ độ điểm M trên sao cho:MA2 MB2 28
Cõu VIa : Giải bất phương trình:
3 2
4 )
3 2 ( )
3 2
x x x x
B Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu Vb: 1 Trong mpOxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0 Tỡm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà gúc giữa hai tiếp tuyến đú bằng 600
2.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d với
d : x 1 y 1 z
2 1 1
Viết phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuụng gúc với đường thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua
d
Cõu VIb: Giải hệ phương trỡnh
4 2 ( ) log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
xy
xy
……… … ……… Hết………
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Hướng dẫn chấm môn toán
Trang 3Câu ý Nội Dung Điểm
y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm)
1 m = 3 : y = x3 + 3x2 + 3x + 1 (C3) + TXẹ: D = R
+ Giới hạn: lim , lim
+ y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 0; x hàm số đồng biến trên R 0,25
Baỷng bieỏn thieõn:
0,25
+ y” = 6x + 6 = 6(x + 1) y” = 0 x = –1 tõm đối xứng U(-1;0)
* ẹoà thũ (C3):
Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1)
Trang 40,25
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là:
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0
2
x 0
0,25
* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0;1), D, E phân biệt:
Phương trình (2) có 2 nghiệm xD, xE 0
9 4m 0
4 m
9
Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
kD=y’(xD)=3x2D 6xD m (3xD 2m);
kE=y’(xE)= 3x2E 6xE m (3xE 2m).
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE
0,25
Trang 5= –1
(3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1
9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo
ñònh lý Vi-ét) 4m2 – 9m + 1 = 0
8
8
m
m
So s¸nhÑk (*): m = 1
8
0,25
1 §k:
1 1 2
x y
(1)
( ) 0 ( )( 2 ) 0
2 0
2 0( )
0,5
x = 4y Thay vµo (2) cã
1 ( )
2
x
0,25
V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 0,25
Trang 6®K:
1 tan
0 2 sin 0
cos sin
0 2 sin
x
x x
x x
x x
x x x
x x
cos sin sin
sin cos
cos 2 cos sin
sin
x
x x
cos sin sin
cos sin cos
sin
sin
0,25
cosxsinxsinx(1sin2x)
(cosxsinx)(sinxcosxsin2 x1)0
0,25
(cosxsinx)(sin2xcos2x3)0
(cos )( 2sin(2 ) 3) 0
4
4
x sinx
x voly
0,25
cosxsinx0 tanx = 1 ( )
Do
4 0
;
x
0,25
Trang 7Do ( ) ( ) ( )
SA ABCD
SAC ABCD
SA SAC
Lai cã
2
o
x
0,25
Ta cã
0
MHC
O,5
Tõ biÓu thøc trªn ta cã:
3 2
2
2
SMCH
a
a
a
x a
M trïng víi D
0,25
I =
1 2
(x sin 2 )x cos xdx2 xcos xdx2 sin 2xcos xdx2 I I
0,25
Trang 8IV 1 1
Ta có :VT =
b c caa b b c caa b
0,25
0,25
Tính I1
đặt
4 1
0
1 sin 2 4 sin 2 1
0 2
du dx
1 2 4 1
0
cos x
0,25
Tính I2
4
2 0
sin 2 (sin2 ) sin 2
0
0,25
Vậy I= 1 1 1
Trang 9
2
3 2
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a A
1
1 2
2
a b b c c a
Từ đó tacó VT 3 1 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3
0,25
Ta có: AB = 2, trung điểm M ( 5; 5
2 2),
pt (AB): x – y – 5 = 0
0,25
SABC= 1
2d(C, AB).AB = 3
2 d(C, AB)= 3
2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1
2
0,25
d(G, AB)= (3 8) 5
2
t t
= 1
2 t = 1 hoặc t = 2
G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
0,25
Mà CM 3GM
C = (-2; -10) hoặc C = (1; -1)
0,25
Trang 102 1
1
2
z t
0,5
Bpt 2 3 2 2 3 2 4
2 2
2 3 2 ( 0)
2
t
t x x BPTTT : 1 4
t t
t2 4 1 0t 2 3t2 3
(tm)
0,25
Khi đó : 2 3 2 3 2 2 3
2
x x 1 x2 2x 1
0,25
x22x101 2x1 2
0,25
Trang 11V.b 2
(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M Oy M(0;m) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
Vậy
0 0
60 (1)
120 (2)
AMB AMB
Vì MI là phân giác của AMB
(1) AMI = 300 0
sin 30
IA MI
MI = 2R
m m
(2) AMI = 600 0
sin 60
IA MI
MI = 2 3
9 3
m
Vô nghiệm Vậy có hai điểm M1(0; 7) và M2(0;- 7)
0,5
0,5
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d
d có phương trình tham số là:
x 1 2t
y 1 t
z t
Vì H d nên tọa độ H (1 + 2t ; 1 + t ; t).Suy ra :MH
= (2t 1 ;
2 + t ; t)
0,25
Vì MH d và d có một vectơ chỉ phương là u
= (2 ; 1 ; 1), nên :
2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0 t = 2
3 Vì thế, MH
=
1 4 2
; ;
3 3 3
3 (1; 4; 2)
MH
u MH
0,25
Trang 12Suy ra, phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng MH là:
0,25
Theo trên có ( ;7 1; 2)
H mà H là trung điểm của MM’ nên toạ độ
M’(8; 5 ; 4)
3 3 3
0,25
ĐK: x>0 , y>0
(1) 22log3xy 2log3xy 2 0
0,5
log3xy = 1 xy = 3y= 3
x
(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) x2+ 2y2 = 9
0,25
VIb
Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( 3; 3) hoặc ( 6; 6
2 ) 0,25
Trang 13M
D
S
H