ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN: TOÁN - ĐỀ SỐ 06 docx

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C của hàm số.. 2 Tìm các giá trị của k để tồn tại hai tiếp tuyến với C phân biệt nhau và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua cá

ĐỀ SỐ 06

Thời gian làm bài 180 phút

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I:

Cho hàm số: yx33x29x3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số

2) Tìm các giá trị của k để tồn tại hai tiếp tuyến với (C) phân biệt nhau và có cùng hệ số góc k, đồng thời

đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến với (C) cắt các trục tọa độ Ox, Oy tương ứng ở A và

B sao cho OB = 2011.OA

Câu II:

1) Giải hệ phương trình:

x 2y x y 2xy

2 x 2y 1 y 14 x 2





 2) Giải phương trình:

2 3x x

2 3 17

Câu III:

Tính tích phân:  

3

2011

3 2 1

I x 3x 2 dx



Câu IV:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC = a và  0

ABC30 Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 600 Biết rằng hình chiếu của đỉnh S trên mặt đáy thuộc cạnh

BC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Câu V:

Tính giá trị lớn nhất biểu thức

3 3

2

x y P

x yz y zx z xy



, trong đó x, y, z là các số dương thỏa mãn

x  y 1 z

PHẦN RIÊNG

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a:

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết ba chân đường cao ứng với các đỉnh A,

B, C lần lượt là A ' 1;1 , B '  2;3 , C ' 2; 4    Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 7 , B   4;0; 0 , C 5; 0; 1    và mặt cầu

 S : x2y2z22x4y 7 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện MABC lớn nhất, nhỏ nhất

Câu VII.a:

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức 2z 3 i  , biết rằng 3z i 2zz 9.

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b:

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M 2; 1   và đường tròn   2 2

1

C : x y 9 Viết phương trình đường tròn (C2) có bán kính bằng 4 và cắt (C1) theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ

nhất

Đ

www.laisac.page.tl

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ giác ABCD với A 1; 2;1 , C 2; 4; 1      Hai điểm B, D

thuộc đường thẳng x 1 y 2 z

  sao cho BD = 4 Gọi I là giao điểm hai đường chéo của tứ giác và biết rằng SABCD 2011.SIAD Tính khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC

Câu VII.b:

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết rằng z 2  z 2 6

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I:

1) Tự giải

2) ky '3x26x 9 3x26x 9 k  0 (*)

Để (C) có hai tiếp tuyến phân biệt, cùng hệ số góc k thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

36 4.3 9 k 0 k 6

Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai tiếp điểm:



Tọa độ giao điểm của (d) với Ox, Oy tương ứng lần lượt là A k ;0

k 12



 ,

k

B 0;

3

 

 

 

Ta có: OB 2011.OA k 2011 k k 6021

 Vậy k = 6021

Câu II:

1)

x 2y x y 2xy (1)

(2)

2 x 2y 1 y 14 x 2







Điều kiện: x22y 1

Từ (1) suy ra:      

2

x 2y x y 0

x y

 



 Với x = y từ (2) ta có phương trình: 2 x22x 1 3x314x 2

3 3

2

2 2

2 2

x 14 x 2

6x 12x 6

3 x 2x 1

2 x 2x 1 0 x 2x 1 0 x 1 2

  

 

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: 1 2;1 2 , 1   2;1 2 

2)

2

3x x

2 3 17 (*)

Điều kiện: x0

ĐỖ BÁ CHỦ  (GV THPT Đông Hưng Hà, Thái Bình)

Đặt x 1log 98 8xy 9

y

Phương trình (*) x y

8 8 17

   (2) Lấy (1) trừ (2) ta được: 8xy8x8y  8 8xy8x 8y8 (3)

Với y = 1, (3) thỏa mãnxlog 98

Với y 1 , đặt a8y 8

Xét hàm số:   x x

f x a 8 , với a > 8

Ta có:   x x  

f ' x a ln a 8 ln 8  0 f x luôn tăng

Mà từ (3) ta có: f x f 1 x 1 ylog 98  (thỏa mãn) 1

Với y 1 , đặt a8y 8

Xét hàm số:   x x

f x a 8 , với a < 8

Ta có:   x x  

f ' x a ln a 8 ln 8  0 f x luôn giảm

Mà từ (3) ta có: f x f 1 x 1 ylog 98  (không thỏa mãn) 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1 hoặc xlog 9.8

Câu III:

3 2

Đặt: tx 1 dtdx

Đổi biến: x 1 t 2

     





 

2

2011

2011 2

2

I t t 3 dt



Đặt: u  t du dt

Đổi biến: t 2 u 2

    



   



2011





Từ (1) và (2) suy ra: I    I I 0

Vậy I = 0

Câu IV:

Vẽ HIAB, HKAC

Ta có: AB HI AB SHI AB SI

AB SH













SIH

 là góc tạo bởi (SAB) và đáy  0

SIH 60

Tương tự: SKH là góc tạo bởi (SAC) và đáy  0

SKH 60

Hai tam giác vuông SHI và SHK bằng nhauHIHK

 tứ giác AIHK là hình vuông

a 3

AB BC.cos B

2

  , AC BC.sin B a

2

Ta có:

HK HC

HK / /AB AB BC HK HI

1

HI / /AC HI HB AB AC

AC BC









3 3 a

2x 2x

1 x

a 3



 3 3 a 3 3 1 a

SH HI.tan SIH 3

2 ABC

  2   3 S.ABC ABC

Câu V:

Ta có:

xyzyz   y z 1 y 1 z 1 

yzxzx   x z 1 x 1 z 1 

zxyxyx  y 1 x 1 y 1 

z 1 xy

P

x yz y zx z xy z 1 x 1 y 1 x y x 1 y 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

2

2

3

2

3

x y 2 xy x y 4xy

Suy ra:

3 3

2 2

P

27 27 729 4xy x y

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 4

729, khi đó: xy2, z5.

PHẦN RIÊNG

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a:

1)

Ta dễ dàng chứng minh được AA’ là phân giác trong của tam giác ABC

Mà BCAA ' BC là phân giác ngoài tại A ' của A ' B ' C '

A ' B' 3; 2 



véctơ pháp tuyến đường thẳng A’B’:nA 'B'2;3

 Phương trình đường thẳng A’B’:2 x 1  3 y 1  02x3y 5  0

 

A 'C ' 1;3 

véctơ pháp tuyến đường thẳng A’C’:nA 'C '3; 1 

Phương trình đường thẳng A’C’:3 x 1    y 1 03x  y 2 0

Phương trình đường phân giác trong(AA’) và phân giác ngoài(BC) của góc A’:

2x 3y 5 3x y 2



Ta thấy B và C nằm về cùng một phía đối với BC

Thay tọa độ B và C lần lượt vào (1) và (2) ta thấy (1) thỏa mãn

Vậy phương trình cạnh BC là: 2 3 x 3 1 y 5 2 0

2)

AB  5; 2; 7 , AC 4; 2; 6

Véctơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC): nAB, AC 2;58;18

Phương trình mặt phẳng (ABC): 2 x 458y 18z 0x29y 9z   4 0

Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2; 0 , bán kính R  1 4 7  2 3

Ta có: d I, ABC    1 29.22 42 63 R 2 3

923

1 29 9

 Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu (S)

MABC

MinV 0

  , khi đó tọa độ điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S)

Thể tích MABC lớn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu (S) vuông góc mặt

phẳng (ABC) với mặt cầu (S)

Phương trình đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc (ABC):

x 1 t

y 2 29t

z 9t

 





 



 Tọa độ giao điểm của M của (d) với mặt cầu (S):

 2  2

1

2 3 58 3 18 3

923 923 923

hoặc M2 1 2 3 ; 2 58 3; 18 3

 1 

 2 

 1   2   

d M , ABC d M , ABC

 Thể tích MABC lớn nhất khi MM1

Vậy tọa độ điểm M để thể tích MABC lớn nhất là: M 1 2 3 ; 2 58 3 18 3;

923 923 923

Câu VII.a:

Đặt z a biZ2z 3 i  2a 3 2b 1 i 

Số phức Z được biểu diễn dưới dạng Zxyi

x 3 a

b 2









 



3z i zz 9 9a  3b 1 a b  9 4a 4b 3b  4 0

2 2

2 2

3

2

7 73

4 16

     

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức 2z + 3 – i là các điểm nằm bên trong và kể cả biên của đường

tròn tâm I 3; 7

4



 , bán kính

73 R 4



B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b:

1)

Ta có: xM2yM2  5 9 Mnằm trong đường tròn (C1)

Xét các dây cung đi qua M ta thấy dây cung vuông góc với O1M tại M là dây cung có độ dài nhỏ nhất

O M 5MAMB R O M  2

Tọa độ tâm (C2) nằm trên đường thẳng OM nên tọa độ O2 có

dạng: O 2t; t2  

2

2

2

t 1

5

5 t 1 2 3



 







Vậy ta có hai phương trình đường tròn (C2) thỏa mãn:

hoặc

2)

Phương trình đường thẳng AC:

x 1 t

y 2 2t

z 1 2t

 





 



  

 Góc tạo bởi AC và BD: 1.1 2.2  2 3 1

cos

1 4 4 1 4 9 3 14

  

AC 1 4 4 3

phamtuan_khai20062000@yahoo.com

ABCD

S AC.BD.cos 3.4

Ta có: SABCD 2011.SIAD SIAD 2

2011 14

Tọa độ giao điểm I của AC và BD:

1

1 t 1 t ' t

6 12 3 5

t '

1 2t 3t '

5



  



           

IAD IAD

2S

2 AI 2011 14 3 6033 14

Vậy khoảng cách từ D đến đường thẳng AC bằng 20

6033 14

Câu VII.b:

Đặt zxyi

z2  z 2 6 x2 y  x2 y  6

Đặt:  2 2

a x2 y ,  2 2

b x2 y

Ta có: 2 2  2 2  2 2   

a b  x2 y  x2 y 8x ab ab 8x

Mà:a b 6 a b 4x

3

    

2 2

a b 6

4

a b x

3

 



 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elíp (E):

2 2

x y

1

9  5 