Mot so de thi HSG huyen NHo Quan

d áp dụng các kết quả trên, ta giải bài toán nh sau: Dựng ngoài tam giác NPQ các tam giác đều NPA và NQB.. Nối AQ và BP chúng cắt nhau tại I.

Phòng GD-ĐT Đức thọ

Trờng THCS Hoàng Xuân

H nã

Đề thi chọn học sinh giỏi trờng năm học

2006–2007 Môn Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài:90 phút

Câu1: Cho: a + b + c = 2007 và 1 1 1 1

90

a b b c c a+ + =

Tính: S = a b c

b c c a a b+ + + + + . Câu2: Tìm 3 phân số tối giản Biết tổng của chúng bằng 15 83

120, tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5 ; 7 ; 11, mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với: 1 1 1; ;

4 5 6 Câu3: Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn đẳng thức: 2x2 + 3y2 = 77

Câu4: Tìm x biết rằng: x− − 2 2x+ − = − 3 x 2.

Câu5: Cho tam giác ABC có Aˆ 120 < °.Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE

a) Gọi M là giao điểm của BE và CD Tính ∠BMC

b) Chứng minh rằng: MA + MB = MD

c) Chứng minh: ∠AMC = ∠BMC

d) áp dụng các kết quả trên giải bài toán sau: Dựng điểm I trong tam giác NPQ (có các góc nhỏ hơn 120°) sao cho: ∠NIP = ∠PIQ = ∠QIN

Đáp án và biểu điểm Toán 7 năm học: 2006 – 2007

Câu1: Từ: a + b + c = 2007 =>a = 2007 – (b + c); b = 2007 – (a + c); c = 2007 – (b + a)

 S = 2007 (b c) 2007 (a c) 2007 (a b)

− + + − + + − +

90

b c a c a b

 + + − = −

 + + + ữ

10 − = 10 = 10

Câu2: Gọi các phân số cần tìm là: a c e; ; ;( ; ; ; ; ;a b c d e f Z b d f; ; ; 0)

Tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5; 7; 11 nên ta có a:c:e = 5:7:11 hay:

5 7 11

a = =c e

Mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với 1 1 1; ;

4 5 6=> mẫu số tỉ lệ thuận với 4; 5; 6=>

4 5 6

b d f

= =

Đặt:

5 7 11

a = =c e = k;

4 5 6

b = =d f = p => a = 5k ; c = 7k ; e = 11k; b = 4p; d = 5p; f = 6p

5 7 11 75 84 110 269

+ +

120 120

a c e

b d+ + =f = => 269. 1883 7

p = ⇒ =p

=> 5.7 35

4.2 8

a

b = = ; 7.7 49

5.2 10

c

d = = ; 11.7 77

6.2 12

e

f = = Câu3: Từ 2x2 + 3y2 = 77 => 0 3 ≤ y2 ≤ 77 => 0 ≤ y2 ≤ 25 kết hợp với 2x2 là số chẵn =>3y2

là số lẻ => y2 là số lẻ => y2 ∈ { 1; 9; 25 }

+ Với y2 = 1 => 2x2 = 77 – 3 = 74 => x2 = 37 (KTM)

+ Với y2 = 9 => 2x2 = 77 – 27 = 50 => x2 = 25 => x =5 hoặc x = -5

+ Với y2 = 25 => 2x2 = 77 – 75 = 2 => x2 = 1 => x = 1 hoặc x = -1

Vậy ta có các trờng hợp sau:

Câu4: x− − 2 2x+ − = − 3 x 2 (1)

+ Với 3

2

x≤ −

thì: (1)  2 – x + 2x +3 – x = -2  0x = -7 ( KTM)

2 x

− < ≤ thì (1)  2 – x – 2x – 3 – x = -2  - 4x = - 1 => x =1

4 (TM) + Với x > 2 thì (1)  x - 2 – 2x – 3 – x = -2  - 2x = 3 => x = 3

2

− (KTM) Vậy x =1

4

Bài5:

a)Ta có: ∆ADC = ∆ABE (c-g-c) => ∠ADC =∠ABE Gọi F là giao điểm của AB và CD Xét ∆ADFvà∆BMF

Có D Bˆ = ˆ; ∠AFD = ∠BFM ( đối đỉnh)

=> ∠BMF =∠FAD => ∠BMF = 60°=>∠BMC =120°

b)Trên tia MD lấy điểm P sao cho BM = MP

=>∆BMP là tam giác đều => BP = BM; ∠MBP =60°

Kết hợp với ∠ABD =60° => ∠MBA = ∠PBD => ∆PBD = ∆MBA (c-g-c) => AM = DP

 AM + MB = DP + PM = DM

c) Từ: ∆PBD = ∆MBA => ∠AMB = ∠DPB, mà: ∠BPD = 120°=>∠BMA =120°

=> ∠AMC =120° =>∠AMC = ∠BMC

d) áp dụng các kết quả trên, ta giải bài toán nh sau: Dựng ngoài tam giác NPQ các tam giác đều NPA và NQB Nối AQ và BP chúng cắt nhau tại I Thì I là điểm thỏa mãn:

∠NIP = ∠PIQ = ∠QIN => Điểm I là điểm cần dựng