Đờng trung trực của AB cắt AB ở H, M là một điểm trên đờng trung trực đó.. a Chứng minh rằng : Các tam giác MAB, BFO, OEA đồng dạng.. Cho trước gúc xOy; tỷ số m n và một điểm P nằm tr
Trang 1Phòng GD&ĐT diễn châu kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Trờng THCS diễn kim Năm học 2008 2009 –
Môn thi: Toán
Đề chính thức Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: Thực hiện phép tính:
a) 217−216−215 − −22 −21 −20.
b) 3.(22 +1)(24 +1)(28 +1) (264+1).
Câu 2:
a) Cho ba số dơng a; b; c thoả mãn điều kiện
2
1 b c=
Chứng minh rằng: (a+2).(b+2).(c+2)≥16.
b) Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện: x+y=1.
Chứng minh rằng:
2
1 3
3 +y +xy≥
c) Chứng minh rằng:
Nếu x+y+z=−6 thì (x+1)3+(y+2)3 +(z+3)3 =3.(x+1)(y+2)(z+3).
Câu 3: Giải phơng trình:
a) x4 +8x3+14x2 −8x−15=0.
b) (x2 −x+1)(x2 −x+2)=12.
Câu 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y+z)2 + y(z+x)2 +z(x+ y)2 −4xyz.
b) bc(a+d)(b−c)−ac(b+d)(a−c)+ab(c+d)(a−b).
Câu 5: Cho góc vuông xOy Trên cạnh Ox lấy điểm A sao cho OA = 4cm Trên tia đối
của tia Ox lấy điểm B sao cho OB = 2cm Đờng trung trực của AB cắt AB ở H, M
là một điểm trên đờng trung trực đó Các tia AM, MB cắt Oy lần lợt ở C và D
Gọi E là trung điểm của đoạn AC, F là trung điểm của đoạn BD.
a) Chứng minh rằng : Các tam giác MAB, BFO, OEA đồng dạng Tính tỷ số đồng dạng trong mỗi trờng hợp.
b) Tứ giác OEMF là hình gì ? Vì sao?
c) EF cắt AB ở P Tính
PA
PO d) Cho HM = 3 cm Tính diện tích tứ giác OEMF.
======= Hết ======
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng Giáo Dục&Đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Huyện thanh chơng Năm học 2008 2009 –
Môn thi: Toán 8
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (1,0 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:
Trang 2a) x2 – x – 12; b) x2 + 2xy + 4y – 4;
Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: P =
4 2
a Tỡm x để P xỏc định.
b Rỳt gọn P.
c Tỡm giỏ trị nguyờn của x để P nhận giỏ trị nguyờn?
Bài 3: (2,5 điểm).
a) Cho đa thức Q= +(x 3)(x+5)(x+7)(x+ +9) 2014 Tỡm số dư trong phộp chia đa thức Q
cho đa thức x2+12x+32.
b) Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 4
+ Với a b; là cỏc số dương.
Áp dụng bất đẳng thức trờn tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 2 2
M
+ với x y; dương và x+ =y 1.
Bài 4: (2,5 điểm) ABCD là hỡnh chữ nhật cú AB //CD, AB = 2CB Từ A kẻ đường thẳng
vuụng gúc với đường chộo BD tại H Trờn HB lấy điểm K sao cho HK = HA Từ K kẻ đường thẳng song song với AH cắt AB tại E
a) Chứng minh E là trung điểm AB.
b) Lấy M trung điểm DE, tia AM cắt DB tại N, cắt DC tại P.Tớnh tỷ số diện tớch tam giỏc AND với diện tam giỏc PMD?
Cõu 5:(1,5 điểm) Cho trước gúc xOy; tỷ số m
n và một điểm P nằm trong gúc xOy Dựng đường thẳng đi qua P cắt cỏc cạnh Ox, Oy lần lượt tại C và D sao cho: PC m
PD = n (Chỉ trỡnh bày cỏch dựng và chứng minh).
======= Hết ======
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng Giáo Dục&Đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Huyện diễn châu Năm học 2009 2010 –
Môn thi: Toán 8
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
.
− +
−
+
+
−
+
10 2 : 2
1 3
6
6 4
2 3
2
x
x x
x x x
x
x
a) Rỳt gọn M
b) Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất.
Trang 3B i 2 à :(3 điểm) Cho biểu thức: A = (b2 +c2 −a2)2 −4b2c2.
a) Phõn tớch biểu thức A thành nhõn tử.
b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc thỡ A < 0.
B i 3 à :(3 điểm).
a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = x2 +2y2 −2xy−4y+2014 b) Cho cỏc số x, y, z thỏa món đồng thời các điều kiện:
1
= + + y z
x ; x2 +y2 +z2=1 và x3 + y3 +z3 =1 Tớnh tổng: S = x2009 + y2010 +z2011.
Bài 4:(3 điểm).
a) Giải phơng trình:
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
+ +
+ + +
+ +
b) Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên: x(x2 +x+1)=4y(y+1).
B i 5 à :(7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Tính tổng:
CF
HF BE
HE AD
b) Chứng minh: BH.BE+CH.CF = BC2.
c) Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
d) Trên các đoạn HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM = CN Chứng minh rằng: Đờng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.
======= Hết ======
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng Giáo dục và đào tạo Diễn Châu
Hớng dẫn chấm môn toán 8
+
+
−
+
1 3 6
6 4
3
2
x x x
x
x
+
+
−
− +
1 ) 2 ( 3
6 )
2 )(
2 (
2
x x
x x x x
= 2( 2) ( 2)
( 2)( 2)
= 6
(x 2)(x 2)
−
+
− +
−
2
10 2
2
x
x
2
x
+ = 6
2
x+
⇒ M =
6
2 ) 2 )(
2 (
+
−
x
1
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 4b + Nếu x 〉 2 thì M 〈0 nên M không đạt GTLN.
+ Vậy x 〈2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M muốn đạt
GTLN thì Mẫu là (2 – x) phải là GTNN,
Mà (2 – x) là số nguyên dơng ⇒ 2 – x = 1 ⇒ x = 1
Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1
0,5 0,5 0,5 0,5
2 a A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc)
= (b c− )2−a2 (b c+ )2−a2
= (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)
0,5 0,5 0,5
b Ta cú: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giỏc)
Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0
Vậy A< 0
0,5 0,5 0,5
3 a A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010
Do (x-y)2 ≥0 ; (y - 2)2 ≥ 0
Nờn:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 ≥ 2010
Dấu ''='' xảy ra ⇔x – y = 0 và y – 2 = 0 ⇔x = y = 2
Vậy GTNN của A là 2010 tại x = y =2
0,5
0,5 0,5
b Ta cú: (x + y + z)3= x3+ y3+ z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)
kết hợp cỏc điều kiện đó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0
⇒Một trong cỏc thừa số của tớch (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0
Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = 1 ⇒ z = 1, lại kết hợp với
đ/k: x2+ y2+ z2= 1 ⇒ x = y = 0
Vậy trong 3 số x,y,z phải cú 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1,
Nờn tổng S luụn cú giỏ trị bằng 1
0,5 0,5 0,5
4 a Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: {x≠ − − − −4; 5; 6; 7} )
(x 4)(x 5) (+ x 5)(x 6) (+ x 6)(x 7)
1 18
+ + ) + (
+ + ) + (
1 18
+ + = 118 ⇒ (x + 4)(x +7) = 54
⇒ (x + 13)(x – 2) = 0 ⇒ x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phơng trình là: S = {−13; 2}
0,5 0,5 0,5 0,5
b + Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x2+ 1) = (2y + 1)2
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x2+ 1) nguyên tố cùng nhau !
Vì nếu d = UCLN (x+1, x2+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)
⇒ 2 1
1
+
+
M
2
2 1 1
+
+
M M M
1
+
−
M
M ⇒2 dM mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x2+ 1) là số chính phơng
Thì (x+1) và (x2+ 1) đều phải là số chính phơng
Đặt:
2
1 1
+ =
+ =
⇒(k + x)(k – x) = 1⇒
1 0
k x
=
=
hoặc
1 0
k x
= −
=
+ Với x = 0 thì (2y + 1)2= 1 ⇒ y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt)
Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) ={(0;0),(0; 1)− }
0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 5O
K I
N
M
E
H F
A
D B
C
0,5
a
Trớc hết chứng minh: HD
AD =
S HBC
S ABC
Tơng tự có: ( )
Nên HD HE HF
S ABC
⇒ HD HE HF
0,5 0,5 0,5 0,5
b Trớc hêt chứng minh ∆BDH : ∆BEC
⇒BH.BE = BD.BC
Và ∆CDH : ∆CFB ⇒ CH.CF = CD.CB
⇒BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2 (đpcm)
0,5 0,5 0,5 0,5
c Trớc hết chứng minh: ∆AEF : ∆ABC ⇒ ãAEF =ãABC
Và ∆CDE : ∆CAB ⇒ ãCED CBA=ã
⇒ ãAEF CED=ã mà EB⊥AC nên EB là phân giác của góc DEF
Tơng tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE
Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF
nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
0,5 0,5 0,5
d Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có
∆OMH = ∆ONC (c.c.c) ⇒ ãOHM =OCNã (1) Mặt khác ta cũng có ∆OCH cân tại O nên: ãOHC OCH=ã (2)
Từ (1) và (2) ta có: ãOHC OHB=ã ⇒HO là phân giác của góc BHC
Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc BHC nên
O là điểm cố định
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O
0,25 0,25 O,25 0,25
Chú ý:
+ Hớng dẫn chấm này có 3 trang, chấm theo thang điểm 20
+ Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn
+ Bài số 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm
+ Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tơng ứng với từng nội dung
của bài đó
Trang 6Phòng GD&Đt diễn châu kì thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Trờng THCS Diễn thọ Năm học 2009 2010 – (vòng 1)
Môn thi: Toán 8
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
.
Câu I (3 điểm) Cho biểu thức: A =
) 1 (
2 : 1
1 1
2 4 1 1
1
3
2 2
2
+
−
−
−
−
− +
− + +
+
−
x x
x x x x
x x x
x
x x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.
b) Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên.
Câu II:(2 điểm) Cho 2a2 +2b2 =5ab và b>a>0.
Tính giá trị của biểu thức: P =
b a
b a
− + .
Câu III:(2 điểm) Cho x, y là 2 số thỏa mãn điều kiện: 2 2 + 2 + 12 =4
x y
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = x y.
Câu IV: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD M là một điểm tùy ý trên đờng chéo BD Kẻ
ME ⊥AB, MF ⊥AD.
a) Chứng minh DE = CF và DE ⊥CF.
b) Chứng minh rằng 3 đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất ?
Trang 7======= Hết ======
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng GD&Đt diễn châu kì thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Trờng THCS Diễn đồng Năm học 2008 2009 – (vòng 2)
Môn thi: Toán 8
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
.
2
3 : 2
2 4
4 2
2
x x
x x x
x x
x x
x
−
−
+
−
−
−
−
−
+
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
b) Tìm giá trị của x để A dơng.
c) Tính giá trị của A trong trờng hợp x−7 =4.
Câu II:(2 điểm).
a) Cho 7x2 +8xy+7y2 =10 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + y2 b) Giải phơng trình: (4x+3)3 +(5−7x)3 +(3x−8)3 =0.
Câu III: (2 điểm) Trong một cái giỏ đựng một số quả táo Đầu tiên ngời ta lấy ra một nửa
số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra
3
1 số táo còn lại và lấy thêm 4 quả Cuối cùng trong giỏ còn lại 12 quả Hỏi lúc đầu trong giỏ có bao nhiêu quả táo?
Câu IV:(3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AF, BD và CE là các đờng cao cắt
nhau tại H Chứng minh rằng:
a) HD.HB = HE.HC.
b) ∆HDE ∆HCB.
c) BH.BD + CH.CE = BC2
d) H là giao điểm ba đờng phân giác trong của ∆DEF
======= Hết ======
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)