Tuyển tập một số Đề Thi HSG cấp Huyện (có đáp án)

Cho O;R và điểm S nằm ngoài đờng tròn với SA, SB là hai tiếp tuyến.. Gọi I là trung điểm của MN, hai đờng thẳng AB và OI cắt nhau tại E.. Tính diện tích tam giác ESM... Gọi D và E lần lợ

Phòng GD & ĐT quỳ hợp kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2009 2010 –

Đề chính thức Môn Thi: Toán 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu1 Chứng minh rằng nếu ba số a , a + k , a + 2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì k

chia hết cho 6

Câu2 Cho biểu thức A =  − − −   + + − 1 

2 1

1 :

1

x x

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x=3+2 2.

c) Tìm các giá trị của x sao cho A < 0

Câu 3 Cho a+b+c≠ 0 Chứng minh rằng: 3 0

3 3 3

≤ +

+

−

−

−

c b a

c b a abc

Câu4 a) Giải phơng trình sau: x2 +3x+1=(x+3) x2 +1

b) Cho a, b, c, d là các số nguyên không âm thoả mãn:









=

− +

= + + +

6 2 2

36 4

3 2

2 2 2

2 2 2 2

d b a

d c b a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 +b2 +c2 +d2.

Câu5 Cho (O;R) và điểm S nằm ngoài đờng tròn với SA, SB là hai tiếp tuyến Đờng

thẳng a đi qua S cắt (O) tại M và N ( M nằm giữa S và N, a không đi qua O) Gọi I là trung điểm của MN, hai đờng thẳng AB và OI cắt nhau tại E

a) Chứng minh OI OE = R2

c) Với SO = 2R; MN = R 3 Tính diện tích tam giác ESM

======= Hết ======

L

u ý: Học sinh bảng A làm cả 5 câu;

Học sinh bảng B không phải làm câu 4b

Học sinh bảng C không phải làm câu 4b và Câu5c

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

đáp án và biểu điểm

1

Câu Nội dung Bảng

A BảngB BảngC Câu1

3đ

Do a; a + k; a + 2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên đều là số

lẽ và không chia hết cho 3

+ Vì a và a+k đều lẽ nên (a+k) - a = k  2 (1)

+ Vì a; a+k; a+ 2k đều không chia hết cho 3 nên khi chia cho

3 thì ít nhất có hai số có cùng số d, khi đó

* Nếu a và a+k có cùng số d thì (a+k) - a = k  3

*Nếu a và a+ 2k có cùng số d thì (a+2k) - a = 2k  3

nhng (2;3) = 1 nên k  3

* Nếu a+k và a+2k có cùng số d thì (a+2k) - (a+k) =k  3

Vậy ta có k  3 (2)

từ (1) và (2) và do (2;3) = 1 ta suy ra k  6 (đpcm)

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Câu2

4đ

a) ĐK x > 0 và x≠1

A =  − − ( − )  + +( + 1)( − 1)

2 1

1 : 1

1

x x

2 1 :

1

1

− +

+

−

−

−

x x

x x

x

x x

1 :

1

1

− +

+

−

−

x x

x x

x

1 : 1

1

−

−

−

x x

x x

1

1

−

x x

x

x 1−

0,5

0,5 0,5 0,5

0,5

0,5 0,5 0,5

0,5

0,5 0,5 0,5

b) x= 3+2 2 = ( 1 + 2)2 => x = 1+ 2

2 1

2 1 2 2 1

1 2 2

+

+

= +

−

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

c) A < 0 < =>

x

x 1− < 0

< => x- 1 < 0 x<1

x> 0 < => x>0

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

Câu3

3đ

Ta có: 3abc - a3- b3 - c3 = - (a +b)3 - c3+ 3a2b + 3ab2 +3abc

= - [(a+b) + c][(a+b)2 - ( a+b)c + c2] + 3ab(a+b+c)

= - (a+b+c)(a2+b2+c2 - ab - bc - ac)

= - a b c(2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac)

2

2 2

+ +

c b a

− +

− +

− + +

2

≤

− +

− +

−

−

= +

+

−

−

c b a

c b a abc

(đpcm)

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,75 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5

0,75 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5

Câu4

4đ

a) (3đ) x2 + 3x +1 = ( x+3) x2 +1

< => x2 + 3x +1 - ( x+3) x2 +1 = 0

< => ( x2 +1)2 - x x2 +1 + 3x - 3 x2 +1 = 0

< => x2 +1( x2 +1 - x ) - 3( x2 +1 - x) = 0

< => ( x2 +1 - x)( x2 +1 - 3) = 0

< => x2 +1 - x = 0 < => x2 +1 = x

0,5 0,5 0,5

0,75 0,5 0,5

0,75 0,5 0,5 2

H

M E

O S

A

Phòng GD & ĐT yên thành kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2006 2007 –

Đề chính thức Môn Thi: Toán 9

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)









 +













+

+

x

1 1 1

1 1

1

a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của x để A> A

Bài 2 : Giải các phơng trình sau:

a) x+1= x−1

b) x+2 x−1+ x−2 x−1 =2

c) x+ y+z+ 4 = 2 x− 2 + 4 y− 3 + 6 z− 5

Bài 3:

a) Cho 2 số không âm a và b

Chứng minh rằng: a+b ≥ ab

2 , dấu “=”xảy ra khi nào?

b) Tìm cặp số x, y sao cho: x y− 1 + y x− 1 = xy

c) Cho 0 < a, b, c < 2

Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:

a(2 – b) > 1; b(2 – c) > 1; c(2 – a) > 1

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A,đờng cao AH Gọi D và E lần lợt là hình chiếu

của điểm H trên AB và AC Biết BH=4cm, CH=9cm

a) Tính độ dài đoạn DE

b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC

c) Chứng minh: AH3 = BC.BD.CE

Bài 5: Cho n số a1; a2; ; an, mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc bằng (–1)

và a1a2 + a2a3 + + ana1 = 0 Hỏi n có thể bằng 2006 đợc không? Tại sao?

======= Hết ======

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

đáp án, biểu điểm chấm môn toán 9

1

(1,5đ) Câu a:1 điểm, câu b: 0,5 điểm

a)TXĐ = {x∈R/x> 0 ;x≠ 1 } 0.5

3

A=

x

x x

x

1

1

−

− + +

=

1

2 ) 1 )(

1 (

) 1 ( 2 )

1 (

) 1 ( 2

−

= +

−

+

=

−

+

x x

x

x x

x

x x

b) A > A⇔ A( 1 − A) > 0 ⇔ A< 1 (§iÒu kiÖn:A≥0⇒ x −1>0⇒ x>1)

1

2 < ⇔ < − ⇔ < ⇔ >

−

VËy víi x>9 th× A > A

0.5 0.25 0.25

2

(3®)

C©u a:1 ®iÓm C©u b: 1 ®iÓm C©u c: 1®iÓm

a) x+1= x−1 §iÒu kiÖn:x≥1

⇔ x+ 1 = (x− 1 ) 2 ⇔ x(x− 1 ) = 0

⇔x= 0(lo¹i) hoÆc x=1 (Tháa m·n)

b) x+2 x−1+ x−2 x−1 =2

⇔ ( x− 1 + 1 ) 2 + ( x− 1 − 1 ) 2 =2

⇔ x− 1 + 1 + x− 1 − 1=2

§iÒu kiÖn x≥ 1

NhËn xÐt: x− 1 + 1 + x− 1 − 1 = x− 1 + 1 + 1 − x− 1 ≥2

DÊu b»ng xÈy ra khi x− 1 + 1 ).(1- x− 1 ) ≥0 ⇒2-x≥ 0 ⇒x≤2

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:1≤x≤ 2

0) x+y+z+4 = 2 x− 2 + 4 y− 3 + 6 z− 5 §iÒu KiÖn :x≥ 2 ;y≥ 3 ;z ≥ 5

⇔[(x− 2 ) − 2 x− 2 + 1] [+ (y− 3 ) − 4 y− 3 + 4] [+ (z− 5 ) − 6 z− 5 + 9]= 0

⇔ ( x− 2 − 1 ) 2+( y− 3 − 2 ) 2 + ( z− 5 − 3 ) 2 = 0













=

−

−

=

−

−

=

−

−

⇔

0 3 5

0 2 3

0 1 2

z y

x









=

=

=

⇔

14 7 3

z y

x

Lµ nghiÖm

0.25 0.5 0.25

0.25 0.25

0.25 0.25 0.25 0.5 0.25

3

(2®)

C©u a:0,5 ®iÓm c©u b: 1 ®iÓm c©u c: 0.5 ®iÓm

a) v× a vµ b kh«ng ©m nªn tån t¹i avµ b

Ta cã( a− b)2 ≥0⇔a+b− 2 ab ≥ 0 ⇔a+b≥ 2 ab ⇔ a+b ≥ ab

2 DÊu “=” x¶y ra khi a=b

0.25 0.25

(2,0đ)

b) Điều kiện : x≥1 ; y≥1

2

1 2

2

1 1 ) 1 ( 1

Tơng tự

2

1 2

Từ (1) và (2) ta có : x y− 1 +y x− 1 ≤xy

Dấu "="xảy ra ⇔







=

−

=

−

1 1

1 1

y

x

⇔







=

=

2

2

y x

c) Giả sử các BĐT trên đều đúng Khi đó nhân vế với vế các BĐT lại với

nhau ta đợc:

a(2 - b)b(2 - c)c(2 -a) > 1 (1)

Ta lại có a(2 - a) = 2a - a2 = 1 - (1-a)2 ≤1

Tơng tự b(2 - b) ≤1

c(2 - c) ≤1

Do 0 < a, b, c < 2 nên a( 2 - a) > 0; b(2 - b) > 0; c(2 - c) > 0

Suy ra: a(2 - a)b(2 - b)c(2 - c) ≤1 Mâu thuẫn với (1)

Vậy có ít nhất một trong các BĐT đã cho là sai

0.25

0.5 0.25

0.25 0.25

4

(2,5đ)

Câu a: 1điểm; câu b: 1điểm; câu c: 0.5đ

a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông⇒DE = AH

Tam giác ABC vuông ở A, có AH⊥BC, nên AH2=BH.CH=4.9=36

⇒AH=6(cm) Vậy DE=6cm

b) Ta có AH2=AD.AB ; AH 2=AE.AC

⇒AD.AB=AE.AC

c) Ta có AH2=BH.CH

⇒AH4=BH2CH2=AB.BD.AC.CE=AH.BC.BD.CE

⇒AH3=BC.BD.CE

0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25

5

(1đ)

Vì aj = + 1 nên aiaj = + 1

Do đó tổng n số hạng a1a2 + a2a3 + + ana1 mỗi số hạng bằng 1 hoặc -1

Mà tổng này bằng 0 (g thiết) nên suy ra n chẵn

Giả sử n = 2k với k số hạng bằng 1, k số hạng bằng -1

Tích của n số hạng đó (a1a2)(a2a3) (ana1) = (a1a2 an)2 = 1

Nên số hạng bằng -1 phải là số chẵn, k = 2p

Vậy n = 2k = 4 p

Mà 2006 không chia hết cho 4, suy ra n không thể bằng 2006

0.5 0.25 0.25

Các cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa

Phòng GD & ĐT quỳ hợp kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2009 2010 –

Đề chính thức Môn Thi: Toán 9 (Vòng 2)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

5

A

D

E

H

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chử số abc sao cho:









−

=

−

=

2

2 ) 2 (

1

n cba

n abc

Bài 2: Tìm các nghiệm của phơng trình x2 + px+q= 0 Biết rằng chúng là số nguyên

và p+q= 10

Bài 3: Giải phơng trình: ( x+5− x+2)(1+ x2 +7x+10)=3

Bài 4: a) Cho a, b, c ∈ N* Chứng minh rằng: 1 < 2

+

+ +

+ +

<

a c

c c b

b b a a

4

1

8 2 + 2 + 2 =

x y

giá trị nhỏ nhất

Bài 5: Cho nữa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R M, N là hai điểm trên nữa đờng tròn (O)

sao cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN bằng R 3

a) Tính độ dài MN theo R

b) Gọi I là giao điểm của AN với BM, K là giao điểm của AM với BN Chứng minh M, N,

I, K cùng thuộc một đờng tròn Tính bán kính đờng tròn đó

c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi nhng vẩn thoả mãn giả thiết bài toán

======= Hết ======

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Phòng GD & ĐT nghi lộc kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2009 2010 –

Đề chính thức Môn Thi: Toán 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: Chứng minh rằng: A = 21 30 + 39 21 chia hết cho 45.

Bài 2: Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:

a) x+3+4 x−1+ x+8−6 x−1 =5

b)









+

−

=

−

= +

) )(

(

2

2010 2010

2 2

y x

x y y x

y x

Bài 3: Tìm tích abc biết rằng:









= + +

= + +

1

1 3 3 3

2 2 2

c b a

c b a

Bài 4: Cho x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = ( 2 −x)( 2 −y)

Bài 5: Cho tam giác ABC có AH là đờng cao, nội tiếp đờng tròn tâm O đờng

kính BC Đờng tròn tâm O’ đờng kính AH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2

là G, cắt AB và AC lần lợt tại M và N

a) Chứng minh : AM.AB = AN.AC

b) Các tiếp tuyến của đờng tròn (O’) tại M và N cắt BC lần lợt tại I và K

so sánh IK và BC

c) Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm

======= Hết ======

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

h ớng dẫn chấm toán lớp 9.

Bài 1 (3,0 đ): A= 2130 + 3921 = 330 730 + 321 1321 0,5 đ

A= 321( 39.730 + 1321)

Bài 2: a, Nhận xét : =

(3.0 đ) = ( x−1-3)2

Vậy tìm đợc ĐK là: x≥ 1

0,75 đ 0,5 đ

HS biến đổi đợc: + ( x−1-3)2 = 5

+ Nếu 1≤ x<10, ta có 5=5 (luôn đúng)

7

b, Điều kiện x,y≥ 0

(2,0 đ) Từ x2 +y2 =2 ⇒ (x,y)≠ (0,0) ⇒ x2010+y2010 > 0 0,5 đ

Nếu x>y thì PT thứ 2 có VT > 0 > VP ( Vô nghiệm)

Nếu y>x thì PT thứ 2 có VP > 0 > VT (Vô nghiệm) 0,5 đ0,5 đ

Nếu x=y , HS kết luận đợc thoả mãn PT thứ 2

Bài 3 (2,0 đ): Ta có a2 +b2 +c2 =1 nên a ≤1;b ≤1;c ≤1 0,5 đ

Ta có : (a2 +b2 +c2)−(a3 +b3 +c3)=0

Vì a2(1− a) ≥ 0;b2(1 − b) ≥ 0;c2(1 − c) ≥ 0

Nếu a=b=c=1 thì trái với giả thiết a2=b2=c2=1

Câu 4: Ta có: S = 4-2x-2y+xy

(3,0 đ) 2S = 8 - 4x – 4y + 2xy

2S = x2 + y2 + 4 - 4x – 4y + 2xy +3

2S =(x+y-2)2 + 3

S =

2

3 2) -y

Ta có (x-y)2≥ 0 với mọi x,y ⇒ 2xy ≤ x2+y2 ⇒ (x+y)2 ≤ 2(x2+y2)=2

⇒ S≤ = =

Vậy SMax = Đẳng thức xảy ra ⇔ x=y= - 0,5 đ

 S ≥

2

2 4 9 2

3 4 2 4 2 2

3 ) 2 2

Vậy SMin = Đẳng thức xảy ra ⇔ x=y= 0,5 đ

Bài 5:a) (2 đ) HS kết luận đợc :

AM.AB = AH2 (0,75 đ)

AN.AC = AH2 (0,75 đ)

 AM.AB = AN.AC (0,5 đ)

b) Kết luận đợc ∆IMH cân tại I (0,5 đ)

Kết luận đợc : MI=BI=IH (0,75 đ)

 IH=1/2 BH (0,25 đ)

 Tơng tự kết luận đợc:

C) (2,0 đ) Nối AO căt MN tại P; gọi giao AG và CB là S

Kết luận đợc ∠ OAC = ∠ OCA

∠ O’NA = ∠ O’AN

∠OAC+∠O’NA=∠OCA+∠O’AN =900

0,5 đ

Xét tam giác : SAO có AH là đờng cao; OO’ là đờng cao => O’ là trực tâm của

=> SO’ ⊥ AO (2) kết hợp với (1) => SO’ và MN cùng vuông góc với AO 0,25 đ

Và có chung điểm O’ => đờng thẳng SO’ trùng đờng thẳng MN =>

9

(3,0 đ)