Với giá trị nào của x, y thì A đạt giá trị bé nhất, hãy tìm giá trị bé nhất đó.
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh thi chuyên Toán)
Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm):
Tìm 3 số x,y,z thoả mãn điều kiện:
44 1750 2
6 1750
256 2
4 6
16
z y
Giải :
Điều kiện để đẳng thức có nghĩa là x>6; y>2 và z>1750
Ta có:
6
) 6 4
( 6
6 6
6
4 2 6
x x
x x
x
Từ đó đẳng thức đã cho tơng đơng với:
0 1750
1750 16
2
2 2
6
6
z
z y
y x
Suy ra
16 1750
2 2
4 6
z
y
x
2006 6 22
z
Câu 2 (1,5 điểm):
Cho biểu thức: A=x2+xy+y2-3x-3y+2009 Với giá trị nào của x, y thì A đạt giá trị bé nhất, hãy tìm giá trị bé nhất đó
Giải :
Ta có :
A=x2-2x+1+y2-2y+1+xy-x-y+1+2006
A=(x-1)2+(y-1)2+(x-1)(y-1)+2006
A=[(x-1)+
2
1
(y-1)]2+
4
3
(y-1)2+2006
Amin=2006 khi x=1, y=1
Câu 3 (1,5 điểm):
Giải hệ phơng trình sau:
14 7 6
2 2
x
zx yz
x y
z y x
Giải :
Hệ đã cho tơng đơng với
14 ) (
2 ) (
7 6
z y x
zx yz xy
z y x
11 7 6
zx yz
xy
zx yz
xy
z y x
(3) 7
( 2) 9
) (
(1) 6
zx
y z
x y
z x y
z y x
Từ (1) và (2) suy ra xy và x+z là nghiệm của phơng trình bậc hai: t2-6t+9=0, phơng trình này có hai nghiệm t1=t2=3
Thay vào trên ta có:
2 3 3
zx z
x x, z là nghiệm của phơng trình m2-3m+2=0, m1=1, m2=2
Vậy hệ có nghiệm là (1;3;2) và (2;3;1)
Câu 4 (2 điểm):
Tìm các cặp số nguyên x; y thoả mãn điều kiện :
(x-2006)2=y(y+1)(y+2)(y+3)
Giải :
Ta có (x-2006)2 = (y2+3y)(y2+3y+2)
Trang 2TRƯỜNG THCS VINH THANH
Đặt t= y2+3y, ta đợc (x-2006)2 = t2+2t
Nếu t>0 thì t2<t2+2t<t2+2t+1=(t+1)2 nên (x-2006)2 không phải là số chính phơng
Vậy t<0, hay y2+3y=y(y+3)<0, hay y chỉ có thể bằng 0,-1, -2 hoặc -3 (do y` nguyên) Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (2006 ;-3), (2006 ;-2), (2006 ;-1), (2006 ;0)
Câu 5 (2,5 điểm):
Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy hai điểm E và F (E gần A hơn);
P là giao điểm của CE và DF Hai đờng tròn ngoại tiếp hai tam giác APE và BPF cắt
nhau ở điểm thứ hai Q Chứng minh rằng PQ||AD.
Giải :
Q P
C
D
E
F K
M
Kéo dài PQ căt AB tại
K, cắt CD tại M, ta chứng minh KM//AD hay ta chứng minh
MC
MD KB
KA
là đủ
Thật vậy: tứ giác AQPE nội tiếp , suy ra
KAQ đồng dạng với KPE, suy ra KE.KA=KP.KQ, tơng tự ta có KF.KB=KP.KQ, từ đó suy ra KE.KA=KF.KB hay
KE
KF KB
KA
(1) Theo giả thiết PKF đồng dạng với PMD nên
PM
KP MD
KF
(2) và PKE đồng dạng với PMC nên
PM
KP MC
KE
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
MC
KE MD
KF
hay
MC
MD KE
KF
(4) Từ (1) và (4) suy ra
MC
MD KB
KA
(điều phải chứng minh)
Câu 6 (1 điểm):
Cho hình tứ diện ABCD có AD=BC, AC=BD Gọi E và F lần lợt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng EF vuông góc với AB và CD
Giải :
F
E
A
B
C
D
Từ giả thiết ta có ACD=BCD (ccc)
Suy ra hai trung tuyến tơng ứng AF và
BF bằng nhau, vậy tam giác AFB cân,
Do đó trung tuyến FE cũng là đờng cao, vậy FE vuông góc vớiAB
Chứng minh tơng tự, tam giác CED cân, suy ra EF vuông góc với CD,
từ đó suy ra điều cần phải chứng minh
GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 1