da thi dap an Toan 9 - 23

Chứng minh rằng Khi M thay đổi trên d thì OA.OK không đổi và BC luôn đi qua một điểm cố định.. Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đờng tròn cố định.. Xác định vị trí của điểm M để

Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (1,5điểm):

Cho biểu thức:

















































1

2 1

1 : 1

2 1

x x x x

x x

x

x

1 Rút gọn M

2 Tính M khi x 2006  2 2005

Giải :

1 Điều kiện để M có nghĩa: x>0

 

























1

2 1

1 : 1

2 1

x x x x

x x

x

x

 

x  x x

x x

x

x

















1 1

1

2 1 : 1

12

2 Khi x=2006  2 2005= 2

1

2005 

ta có M= 2005

Câu 2 (2 điểm):

Cho phơng trình : 2 2 ( 1 ) 4 0









1 Giải phơng trình khi m= 1

2 Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất

3 Tìm m để phơng trình có nghiệm khác 2

Giải :

1 Khi m=1, ta có phơng trình x2-4x+5=0, ’=4-5=-1<0, vậy phơng trình vô nghiệm

2 - Với m=0, phơng trình trở thành -2x+4=0, x=2

- Với m≠0, ta có ’=(m+1)m+1)2-m(m+1)m+4)=1-2m

Phơng trình có nghiệm duy nhất khi ’=0, tức là

2

1



Vậy khi m=0 hoặc

2

1



m , phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất

3 - Khi m=0, phơng trình có nghiệm x=2

- Khi m ≠0, phơng trình có nghiệm khác 2 khi và chỉ khi :

2

2 1 1 1

2 2 0 0

























































m m m m m

a

Vậy phơng trình có nghiệm khác 2 khi m<

2

1

Câu 3 (1,5 điểm):

Giải phơng trình:

2 7 5 2 3 2 5

2

x

Giải :

- Tập xác định : , ]

2

5 [ 



- Nhân hai vế phơng trình với 2 ta đợc:

2x 4  2 2x 5  2x 4  6 2x 5  14

 2x 5  1  2x 5  3  14

15 5

5 2 14 3 5 2 1

5

2x   x    x   x

Câu 4 ( 3 điểm):

Cho đờng tròn tâm O, bán kính R (m+1)O;R), điểm A nằm ngoài đờng tròn và đờng thẳng d vuông góc với OA tại A.Từ điểm M trên d ta vẽ các tiếp tuyến MB, MC tới đ-ờng tròn (m+1)B, C là các tiếp điểm) Dây cung BC cắt OM và OA lần lợt tại H và K

a Chứng minh rằng Khi M thay đổi trên d thì OA.OK không đổi và BC luôn

đi qua một điểm cố định

b Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đờng tròn cố định

c Xác định vị trí của điểm M để tứ giác MBOC có diên tích nhỏ nhất

Giải :

K H

M

B

C

a Ta có tam giác OHK đồng dạng với tam giác OAM, suy ra

OA.OK=OH.OM

Trong tam giác vuông OBM có OB.OB=OH.OM

suy ra OA.OK=OB.OB=R2

suy ra OK=

OA

R2

không đổi Vậy điểm K

cố định

b Ta có góc OHK là góc vuông, O và K cố

định, vậy H thuộc đờng tròn đờng kính OK

cố định

c Diện tích MBOC bằng 2 lần diện tích tam giác OBM Vì OB=R nên diện tích tam giác này nhỏ nhất khi BM nhỏ nhất

Theo định lý Pytago BM nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất, mà OM nhỏ nhất bằng OA, vậy khi M trùng với A thì tứ giác có diện tích nhỏ nhất

Câu 5 (1 điểm):

Cho hình chóp SABC, có đáy ABCD là hình bình hành Cạnh bên SA vuông góc với đáy, điểm I thay đổi trên CD, H là hình chiếu của S trên BI Chứng minh rằng khi I thay đổi thì H luôn thuộc một đờng tròn cố định

Giải :

D A

S

I H

Ta có BHSA và BHSH vậy BH vuông góc với mặt phẳng SAH

Từ đó BHAH, vậy AHB=900 Vì AB cố định, điểm H thuộc mặt phẳng ABCD, H thuộc đờng tròn đờng kính AB trong mặt phẳng ABCD

Câu 6 (1 điểm):

Tính tổng

484 483 483 484

1

4 3 3 4

1 3

2 2 3

1 2

2

1



















S

Giải :

Với mọi n nguyên dơng ta có:

1

1 1

) 1 (

1 )

1 ( 1 )

1

(

1





















n n n n n

n

n

n

áp dụng đẳng thức trên với n lần lợt lấy các giá trị từ 1 đến 483, ta đợc:

22

21 22

1 1 484

1



S