da thi dap an Toan 9 - 20

aChứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng bChứng minh tam giác ABE cân.. cGọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G.

KÌ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008-2009

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1:(1 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4+2009x2 +2008 x +2009

Giải :

4

x +2009x2 +2008 x +2009

= (x4+x2+1) +2008(x2+ x +1)

= (x2+ x +1)( x2- x +1)+ 2008( x2+ x +1)

= (x2+ x +1)( x2- x +2009)

Câu 2:(1 điểm)

Giải phương trình sau:

13

2



x

+

15

45

2 x

=

37

8

3 x

+

9

69

4 x

Giải :

x132+2 x1545=3 x378+4 x969

 (

13

2



x

+1)+(

15

45

2 x

-1)=(

37

8

3 x

+1)+(

9

69

4 x

-1)

13

15

x

15

) 15 (

2 x

=3(x3715)+4(x915)

9 4 37 3 15 2 13

1

)(

15

(x    

 x=-15

Câu 3: (2 điểm)

a/ Chứng minh rằng

2

4

4 b

b a b a



b/ Cho hai số dương a,b và a=5-b

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P=

b a

1 1



Giải :

a/

2

4

4 b

b a b a



 a4b4  2ab3  2a3b 2a2b2

 a4b4 2ab3  2a3b 2a2b2  0

( 4 2 3 2 2 ) ( 4 2 3 2 2 )

b a ab b

b a b a

( 2 ) 2 ( 2 ) 2 0









 a ab b ab

b/ P=

b a

1 1

 =

ab

b

a 

=

ab

5

P= ( ) 2 20 4 20 b a ab   = 54

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 54 khi a=b=25

Câu 4:(2 điểm) a/ Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện: a2006 b2006 a2007 b2007 a2008 b2008 Hãy tính tổng: S=a2009 b2009

b/ Chứng minh rằng :A= 2 6 48 13 5 3 2     là số nguyên Giải : a/ Ta có: a2008b2008 (a2007 b2007 )(ab)  ab(a2006 b2006 )

 1=ab ab

 ( 1  a)( 1  b)  0

 a 1 ,b 1

Vậy S=1+1=2

b/ A= 2 6 48 13 5 3 2     A= 2 6 ) 1 3 2 ( 5 3 2 2    

= 2 6 ) 1 3 ( 3 2 2   

= 2 6 3 2 2   = 2 6 ) 2 6 ( 2  

=1 Z

Câu 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau: xy-2x-3y+1=0 Giải : xy-2x-3y+1=0  xy-3y=2x-1  y(x-3)=2x-1

Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x 3 thì

y=2+

3

5



x

Để y nguyên thì x-3 phải là ước của 5

Suy ra: (x,y) là (4,7) ;(8,3)

Câu 6: (3điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.Đường vuông góc với với BC tại

D cắt AC tại E

a)Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng

b)Chứng minh tam giác ABE cân

c)Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G Chứng minh rằng:

HC AH

HD BC

GB





Giải :

M G

E D H

CD CA

CE CB ( vì hai tam giác CDE

và CAB đồng dạng) GócC:chung

Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c)

b) Theo câu ta suy ra:

ADC



có: ADC  EDC ADE  135 0

Suyra:BEC  135 0

Suyra:AEB 45 0

Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vuông có một góc bằng 450)

c)Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC

Suy ra: GB AB

GC AC , mà AB ED ABC DEC AHED AH//  HD

AC DC   HC HC

GC HC  GB GC HD HC  BC AH HC