Tìm trên trục hoành Ox điểm M sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng.. Tìm trên trục hoành Ox điểm P sao cho PA+PB nhỏ nhất.. Giao của đờng thẳng AB với trục hoành là điểm ; 0.. Từ điểm M nằm
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin) Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2 điểm):
Cho phơng trình: 2x2-5mx-m2+5m=0
1 Giải phơng trình khi m 2
2 Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Giải :
1 Với m 2 phơng trình đã cho trở thành 2 2 5 2. 2 5 2 0
Do tổng các hệ số bằng không nên pt có hai nghiệm là x1=1 và
2
2 2 5
2
2 Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi a.c<0
suy ra 2(-m2+5m)<0
vậy
0
5
m m
Câu 2 (2 điểm):
1 Giải hệ phơng trình:
115 4
54 3
2 2
y xy
xy x
2 Giải phơng trình: 2 2 4 8 2
x
Giải :
1 Cộng từng vế hai pt của hệ ta đợc hệ tơng đơng :
115 4
169 )
2 (
2 2
y xy
y x
115 4
13 2
2
y xy y x
Thay x 13 2y vào phơng trình thứ 2 của hệ, ta đợc:
0 115 13
2
0 115 13
2
2
2
y
y
y
y
Từ đó suy ra hệ đã cho có 4 nghiệm là (3;5),
2
23
;
36
; 2
23
,
2 Điều kiện: 4<x2<8 2
4 1
2
x
4 2 2
y
x
, do 2 4
2
x
nên y2<1
Từ đó suy ra x2=4y2+4 Thay vào phơng trình đã cho ta có:
2 2
2 2
y
hay 1+|y|=4-4y2 hay 4y2+|y|-3=0 Giải phơng trình này ta đợc
4
3
Suy ra
4
25
2
2
5
Câu 3 (1 điểm):
Cho x, y, z là ba số dơng thoả mãn xyz=1 Chứng minh rằng nếu
xyz 1x1y1z thì có một và chỉ một số lớn hơn 1
Giải :
Xét biểu thức A=(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1
zx yz
Trang 2Theo giả thiết,
z y x z y
x 1 1 1 suy ra A>0
Nếu cả ba nhân tử (x-1), (y-1), (z-1) đều dơng thi x, y, z đồng thời lớn hơn 1, trái với với giả thiết xyz=1
Vậy chỉ xảy ra trờng hợp có đúng một nhân tử dơng, tức là có đúng một số trong ba số x,
y, z lớn hơn 1
Câu 4 ( 2 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2;3) và B(-1;1)
1 Tìm trên trục hoành Ox điểm M sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng
2 Tìm trên trục hoành Ox điểm P sao cho PA+PB nhỏ nhất
Giải :
1 Phơng trình đờng thẳng AB có dạng: y=ax+b (vì xA≠xB) Thay các toạ độ vào ta có:
3 3 1
2
b
a
b
a
b
a
, vậy đờng thẳng AB có phơng trình:
3
5 3
2
x
y Giao của đờng thẳng AB với trục hoành là điểm ; 0 ).
2
5 (
M
2 Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua Ox, suy ra A1(2;-3) Gọi P là giao của A1B với Ox, thế thì P là điểm cần tìm Thật vậy:
Với điểm Q bất kỳ trên Ox, khác P thì QA+QB=QA1+QB>A1B=PA1+PB=PA+PB bé nhất
đờng thẳng A1B có phơng trình
3
1 3
4
y , P thuộc trục hoành nên y=0,
4
1
x vậy P có toạ độ ; 0 )
4
1
(
Câu 5 (2 điểm):
Cho đờng tròn tâm O Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến ME
và MF đến đờng tròn (E, F là các tiếp điểm) Trên cung nhỏ EF lấy điểm P bất kỳ Tiếp tuyến với đờng tròn tại P cắt ME, MF lần lợt tại A và B
1 Chứng minh rằng tam giác MAB có chu vi không đổi
2 Xác định vị trí điểm P để tam giác MAB có diện tích lớn nhất
Giải :
B
A
M O
E
F
P
1 Vì AE và AP là tiếp tuyến nên AE=AP
Tơng tự, BF=BP Chu vi tam giác ABM
là AB+BM+MA=MA+AE+MB+BF= 2ME không đổi
2 Trớc hết ta chứng minh ABC
có góc
A không đổi và đờng cao AH=h không đổi
Thì diện tich nhỏ nhất khi nó là tam giác cân Thật vậy: ta có thể giả sử AC>AB
Xét tam giác cân AB1C1 đỉnh A, góc A không đổi, đờng cao h Trên AC
lấy AQ=AB, suy ra tam giác ABB1
bằng tam giác AQC1 Suy ra diện tích AB1C1 bằng diện tích tứ giác ABC1Q<diện tích tam giác ABC
Trang 3Trở lại bài toán ta có:
SMAB= SMEOF – SAEOFB=SMEOF-2SOAB Do diện tích SMEOF không đổi nên SMAB lớn nhất khi SOAB nhỏ nhất Do góc AOB không đổi, đờng cao OP=R không đổi, vậy theo chứng minh trên, diện tích tam giác MAB lớn nhất khi OAB là tam giác cân, tức là P là điểm chính giữa cung EF
Câu 6 (1 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A Trên tia BA lấy điểm K sao cho AK=2AB Từ B
và K vẽ các tia Bx//CK và Ky//CB, Bx cắt Ky tại điểm P Chứng minh rằng
cos2KBC+sin2KAP>
2007
2006
Giải :
P
C Gọi H là trung điểm của AK, ta có
HK=AB, BP//CK, KP//CB, vậy BP=CK Góc ABP =góc HKC suy ra ABP=HKC Vậy CH=PA
Lại do CH=CB nên PA=CB Vậy PK=PA, hay góc PAK bằng góc PKA
và bằng góc KBC Suy ra cos2(KBC)=
2
2
BC
AB
sin2(KAB)= 2
2
BC
AC
, suy ra cos2(KBC)+ sin2(KAB)=1>
2007
2006
A
C1 Q