Giải phơng trình khi k=2.. Kẻ PH vuông góc với OM.. Khi đờng thẳng MAB thay đổi, chứng minh điểm P luôn nằm trên một... Gọi I là trung điểm của đoạn AB, K là giao điểm của PH với AB.. Ch
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Nga- Pháp) Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
2
3 2
2
2
+
+ +
=
x
x x y
Giải :
Biểu thức xác định với mọi x thuộc R
Ta có 12 2 2 3 12 2(( 22)2) 0
2 2
2
≥ +
+
=
− +
+ +
=
−
x
x x
x x
y , vậy y≥ 21, dấu bằng xảy ra khi x=-2, suy ra ymin2
1
khi x=-2
2
) 1 ( 2 2
3 2
2 2
2
≤ +
−
−
=
− +
+ +
=
−
x
x x
x x
suy ra ymax=2 tại x=1
Câu 2 (2 điểm):
Cho phơng trình (k-1)x2-(2k+3)x+k+4=0
1 Giải phơng trình khi k=2
2 Tìm k để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 +x2 =2
Giải :
1 Khi k=2, ta có phơng trình : x2-7x+6=0 Phơng trình có tổng các hệ số bằng không nên
có hai nghiệm là x1=1 và x2=6
2 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi k khác 1 và ∆>0 Nhng tổng các hệ số bằng không đã cho có hai nghiệm x1=1 và
1
4
+
=
k
k
x Từ x1 +x2 =2, suy ra x2=-1
1
4 = −
−
+
k
k , suy ra
2
3
−
=
Câu 3 (1,5 điểm):
Cho parabol (P): y=x2 và đờng thẳng (d): y=x+b Xác định b sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B với AB=4 3
Giải :
Parabol cắt (d) tại hai điểm A, B có hoành độ là nghiệm phơng trình x2=x+b hay x2-x-b=0
Điều kiện: ∆=1+4b>0 hay
4
1
−
>
Giả sử A(x1;y1), B(x2; y2), trong dó x1, x2 là nghiệm phơng trình trên Khi đó AB2=(x2-x1)2+ (y2-y1)2= 2(x2-x1)2 =2[(x1+x2)2-4x1x2] Theo Viet suy ra AB2=2(1+4b) mà theo giả thiêt
AB2=48 vậy 1+4b=24, hay b=
4
23
Câu 4 ( 3 điểm):
Cho điểm M cố định nằm ngoài đờng tròn (O;R) Một đờng thẳng thay đổi luôn đi qua M cắt (O;R) tại A và B Các tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt nhau ở
điểm P Kẻ PH vuông góc với OM
1 Chứng minh 5 điểm O, A, P, B, H cùng nằm trên một đờng tròn
2 Khi đờng thẳng MAB thay đổi, chứng minh điểm P luôn nằm trên một
Trang 2B
C
A
S
H
I
3 Gọi I là trung điểm của đoạn AB, K là giao điểm của PH với AB Chứng minh MA.MB=MI.MK
Giải :
K I
D
P
O
A
B
M
1 Các góc PAO, PBO, PHO cùng bằng 900,
vậy 5 điểm O, A, P, B, H cùng nằm trên
đờng tròn đờng kính PO
2 MO cắt đờng tròn tại hai điểm
C, D Ta có tam giác MBC đồng dạng với tam giác MDA
(dễ thấy) Từ đó suy ra MA.MB=MC.MD Tơng tự, tam giác MBH đồng dạng với tam giác MOA, suy ra MH.MO=MA.MB, vậy ta có MC.MD=MH.MO, suy ra
MO
MD MC
MH = . không đổi
Vậy H cố định, từ đó suy ra P nằm trên đờng thẳng (d) cố định, vuông góc với OM và đi qua điểm H
3 Ta có ∆MHK đồng dang với ∆MIO, suy ra MI.MK=MO.MH Sử dụng kết quả ý 2, suy
ra MA.MB=MI.MK
Câu 5 (1 điểm):
Cho đờng tròn đờng kính BC nằm trong mặt phẳng (P) Điểm A thuộc đờng tròn (A khác B và C) Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy điểm
S Gọi H là trực tâm tam giác SBC Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng (SBC) Giải :
SH cắt BC tại I,
CH cắt SB tại K,
Ta có SI⊥BC, SA⊥BC nên
BC⊥(SAI), suy ra BC⊥AH
Mặt khác AC⊥AB, SA⊥AC
SB⊥(AKC) Vậy SB⊥AH
Do đó AH ⊥ (SBC)
Câu 6 (1 điểm):
Chứng minh
2006
1 2 2006
1
3
1 2
1
1 + 2 + 2 + + 2 < − Giải :
Với mọi số nguyên dơng n>2, ta có:
n n n
n
n
1 1
1 )
1
(
1
1
−
=
−
Trang 3Khi n chạy từ 2 đến 2006, ta có:
2006
1 2 2006
1 2005
1
3
1 2
1 2
1 1
1 1 2006
1
3
1
2
1
1 + 2 + 2 + + 2 < + − + − + + − = − , suy ra điều phải chứng minh