Rút gọn biểu thức M.. Tìm k để đoạn AB ngắn nhất.. Đờng thẳng d có phơng trình: y=kx-2... Cho hình chóp OABC, có OA, OB, OC vuông góc với nhau đôi một.. Từ O kẻ OH vuông góc với mặt phẳn
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Nga- Pháp) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm):
Cho biểu thức
86
1 :
1
1 1
2 1
−
−
+
−
+ + + +
a a
a
a a
a
a
1 Rút gọn biểu thức M
2 Tính M khi a=7−2 6
Giải :
1 Điều kiện của a: a>0 và a≠1
1
86 1
) (
) 1 (
2 )
1 (
+ +
− + +
−
=
a a
a a a
a
a
1
86 )
1 (
)
1
(
86 ) 1 2
(
2 + + = + +
−
+
−
a a a
a
a
a
a
2 a= 7 − 2 6 = ( 6 − 1 ) 2 ⇒ a = 6 − 1
) 6 7 ( 2 6 7
86 1
1 6 6 2 7
−
= +
− +
−
=
M
Câu 2 (2 điểm):
1 Giải phơng trình x−2− x+2 =2 x2 −4−2x+2
Giải :
- Điều kiện x>2
- Phơng trình tơng đơng với: x−2− x+2+x−2−2 x−2 x+2+x+2−2=0
⇔( x− 2 − x+ 2)2 + x− 2 − x+ 2 − 2 = 0 Đặt t= x− 2 − x+ 2, có phơng trình t2+t-2=0⇔
−
=
=
2
1
t
t
- Với t=1: ⇒ x− 2 − x+ 2 = 1⇔ x− 2 = 1 + x+ 2 x− 2 =x+ 3 + 2 x+ 2 ⇔2 x+ 2 = − 5,
ph-ơng trình này vô nghiệm
- Với t=-2 ⇒ x− 2 − x+ 2 = − 2⇔ x− 2 + 2 = x+ 2 x+ 2 + 4 x− 2 =x+ 2 ⇔
0
2 =
−
x , hay x=2, thoả mãn điều kiện
Câu 3 (1,5 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ cho parabol (P)
4
2
x
y= − , điểm M(0;-2) và đờng thẳng d qua I, có hệ số góc k
1 Chứng minh rằng đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi k,
2 Tìm k để đoạn AB ngắn nhất
Giải :
1 Đờng thẳng d có phơng trình: y=kx-2
Trang 2d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B có hoành độ x1, x2 là nghiệm phơng trình
4 2
2
x
tơng đơng với x2+4kx-8=0, phơng trình này có ∆’=4k2+8>0 với mọi k, suy ra phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là A, B là ghai điểm phân biệt
2 Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2), với y1=kx1-2, y2=kx2-2, khi đó
AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(x2-x1)2+k2(x2-x1)2=(k2+1) (x2-x1)2=
(k2+1) [(x2-x1)2-4x1x2]
∠Theo định lí Viet, x1+x2=-4k, x1x2=-8 ⇒AB2=(k2+1)(16k2+32)>32
Dấu (=) xảy ra khi k=0, vậy AB lớn nhất bằng 4 2 khi k=0
Câu 4 ( 3 điểm):
Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên cạnh Ox (OA<OB), điểm M bất kỳ trên cạnh Oy, M khác O Đờng tròn tâm I đờng kính AB cắt các tia MA, MB lần lợt tại điểm thứ hai là C, D Tia OD cắt đờng tròn (I)tại điểm thứ hai E
1 Chứng minh tứ giác OCEM là hình thang
2 Chứng minh OD.OE+BD.BM=OB2
3 Tìm vị trí điểm M để tứ giác OCEM là hình bình hành
Giải :
K
E D
C
I
y
M
1 Tứ giác OADM có
∠MOA=∠MDA=900, suy ra tứ giác OADM nội tiếp đờng tròn đ-ờng kính MA, suy ra
∠OMA=∠ODA
Tứ giác ACED nội tiếp đờng tròn tâm I, suy ra ∠ODA=∠ACE, suy
ra ∠OMA=∠ACE ⇒OM//CE ⇒ tứ giác OCEM là hình thang,
2 Ta có:
∆OAE∼∆ODB
⇒OD OA =OE OB
⇒ OA.OB=OD.OE (1)
∆OBM∼∆DBA
⇒OB DB = BM BA
⇒ BD.BM=OB.OA (2)
Từ (1) và (2) suy ra OD.OE+BD.BM=OA.OB+OB.OA= OB(OA+AB)=OB2
3 CM cắt OE tại H, CE cắt AB tại K
Tứ giác OCEM là hình bình hành , suy ra OH=HE
Từ OM//CE, suỷa CE⊥AB
, suy ra CK=KE ⇒A là trọng tâm ∆OCE
Suy ra OK=3AK
Ta xác định M bằng cách :
- Xác định K : lấy K thuộc cạnh Ox sao cho OK=3AK Kẻ đờng thẳng qua K, vuông góc với Ox, đờng thẳng này cắt đờng tròn tâm I tại điểm C (C thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa tia Oy) CA căt Oy tại M, M là điểm cần tìm
Câu 5 (1 điểm):
Trang 3Cho hình chóp OABC, có OA, OB, OC vuông góc với nhau đôi một Từ O kẻ
OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC Giải :
O
A
B
C H
- Ta có OH⊥mp(ABC)⇒BC⊥OH
- OA⊥mp(OBC)⇒BC⊥OA suy ra BC⊥mp(OHA)
Vậy AH⊥BC
Chứng minh tơng tự ta có
BH⊥AC, vậy H là trực tâm tam giác ABC
Câu 6 (1 điểm):
Cho hai số x, y lớn hơn 1, thoả mãn điều kiên xy<4 Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1 1
1
−
+
−
=
y x
Giải :
- Nhận xét: với mọi a, b dơng ta có a+b≥2 ab, dấu bằng xảy ra khi a=b
Ta có 4 ≥xy= (x− 1 + 1 )(y− 1 + 1 ) ≥ 2 x− 1 2 y− 1 = 4 (x− 1 )(y− 1 ), vậy 1
) 1 )(
1 (
−
− y
1
1 1
1 2 1
1
1
−
−
≥
−
+
x
M=2 khi x=y=2, vậy M đạt giá trị min bằng 2 khi x=y=2