Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và nhận x=A là nghiệm.. Cả 4 nghiệm đều thoả mãn điều kiện trên... Khi nào xảy ra dấu bằng.. Trên các cạnh AB và AC lần lợt lấy các điểm D và E sa
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2 điểm):
Cho
2005 2003
1
7 5
1 5
3
1 3
1
1
1 Rút gọn A
2 Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và nhận x=A là nghiệm
Giải :
1 Ta có
1 2005.
2
1
2005 2003
7 7 5 5 3 3
1
2
1
2
2005 2003
2
7 5 2
5 3 2
3
1
A
2 Phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và nhận x=A là nghiệm cho nên 2x+1= 2005,
hay 4x2+4x-2004=0, hay x2+x-501=0
Câu 2 (2 điểm):
Giải các phơng trình sau:
5
3 5 2
2
x x
x x
x x
2 2(x2+x+1)2-7(x-1)2=13(x3-1)
Giải :
1 Điều kiện: x≠0
2
20 1
Đặt t=
x
x
x2 5, phơng trình trở thành t2+4t+3=0, suy ra t=-1 và t=-3
Với t=-1, suy ra x 1 6
Với t=-3, suy ra x 1 , x=-5
Cả 4 nghiệm đều thoả mãn điều kiện trên
2 Đặt v=x2+x+1 và u=x-1, phơng trình trở thành 2v2-7u2=13uv
Do v>0 với mọi x, chia hai vế cho v2 ta đợc:
v
u v
7 2
2
Lại đặt
v
u
t , ta có phơng trình 7t2+13t-2=0 Suy ra , 2
7
1
- Với
7
1
t , suy ra
7
1 1
1
x x
x
, giải phơng trình này ta đợc x=2 và x=4
- Với t 2, suy ra 2
1
1
x x
x
, giải phơng trình này ta đợc
2
1 ,
1
Cả 4 nghiệm đều thoả mãn điều kiện bài toán
Câu 3 (1,5 điểm):
Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình
0 2 4
2 2
x m m m
Giải :
Điều kiện đối với m là m2-4m>0, suy ra m<0 hoặc m>4
Trang 2Ta có =m2+8>0 với mọi m, nên phơng trình luôn có hai nghiệm x1, x2 Ta có
B=x1 +x2 =(x1+x2)2-2x1x2=m2-2m+4=(m-1)2+3
B>3, dấu bằng xảy ra khi m=1 (loại do điều kiện)
Xét m<0, ta có B>4, có dấu bằng khi m=0
Xét m>4, suy B>12, có dấu bằng khi m=4, vậy B nhỏ nhất bằng 4 khi m = 0
Câu 4 (1 điểm):
Cho x, y là hai số dơng thoả mãn x+y=1 Chứng minh rằng
2 25 1
y
y x
x Khi nào xảy ra dấu bằng
Giải :
- Từ bất đẳng thức (a-b)2>0, suy ra
2 2
2
2
b a b a
, dấu bằng xảy ra khi a=b áp dụng với
y y b x
x
1 1 2
1 1 1
1 2
2 2
2 2
y y x
Do 1 4
xy , dấu bằng xảy ra khi x=y=
2
1
Câu 5 (2 điểm):
Cho tam giác đều ABC Trên các cạnh AB và AC lần lợt lấy các điểm D và E sao cho BD=AE Gọi K là giao điểm của BE và CD
1 Chứng minh DKE+DAE=1800
2 Chứng minh nếu 3BD=AB thì AK vuông góc với DC
Giải :
F
K
A
D
E
1 Ta có tam giác ABE và tam giác BCD bằng nhau (cgc) Vậy AEB=BDC,
vậy suy ra AEB+ADK=1800
2 Theo ý 1, tứ giác ADKE nội tiếp Gọi F là trung điểm của AD, vậy
AF=FD=DB=AE, chứng tỏ tam giác AED vuông tại E, vậy suy ra AKD=900, suy ra AKDC
Câu 6 (1,5 điểm):
Cho tam giác ABC cố định có diện tích S Trên các cạnh AB, BC và CA lần
l-ợt lấy các điểm M, N, P sao cho k
PA
CP NC
BN MB
AM
Tìm k để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Giải :
Trang 3M
N
P
Goi S1, S2, S3 lÇn lît lµ diÖntÝch c¸c tam gi¸c AMP, BMN, CPN vµ S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC
Ta cã
AC AB
AP AM S
S
.
.
1
Theo gi¶ thiÕt ta cã
1
k
k MB AM
AM k
MB
AM
, vËy
1
k
k AB
AM
,
t-¬ng tù,
1
1
k AC
AP
, vËy 1 2
) 1 (
k
k S
S
T¬ng tù 2
2
) 1 (
k
k S
S
) 1 (
k
k S
S
L¹i cã diÖn tÝch tam gi¸c MNP=S-(S1+S2+S3)=
) 1 (
3 1
k
k
S VËy diÖn tÝch tam
gi¸c MNP nhá nhÊt khi 2
) 1 (
3
k
k
lín nhÊt L¹i cã (k+1)2>4k, suy ra
1
12
k
k
, dÊu b»ng x¶y ra khi k=1, vËy M, N, P lµ trung
®iÓm c¸c c¹nh AB, BC, CA th× diÖn tÝch tam gi¸c MNP bÐ nhÊt vµ b»ng
4
S