ôn TN -số phức

a: phần thực.. Phép chia cho số phức khác 0.. z ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với z nhân tử và mẩu với số phức liên hợp của mẩu... BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ

BÀI 1: SỐ PHỨC

1 Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = -1 Kí hiệu số phức

đó là z và viết z = a + bi i: đơn vị ảo a: phần thực b: phần ảo

• z = a + 0i (b = 0) = a được gọi là số thực (a∈ ⊂¡ £ )

• z = 0 + bi = bi (a = 0) được gọi là số ảo(số thuần ảo) và i = 0 + 1i được gọi là đơn vị ảo.

• 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo

Ví dụ: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau

1) z = 2 + 3i , z = -i 2/z = -3 + 2i , z = -i2 3

2 Hai số phức z = a + bi (a b, ∈¡ , z’ = a’ + b’i () (a b', '∈¡ ) gọi là bằng nhau nếu ) '

'

a a

b b

=



 =

 ta viết z = z’.

Ví dụ: Tìm các số thực x và y, biết: (2x +1) + (3y - 2)i = (x + 2) + (y + 4)i

II Biểu diễn hình học số phức

Số phức z = a + bi (a b, ∈¡ được biểu diễn bởi điểm M(a;b) (còn viết M(a + bi) hay M(z)) trong mặt phẳng tọa độ)

Oxy (mặt phẳng phức) (hình vẽ) y

• Trục hoành Ox (trục thực) biểu diễn các số thực

• Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn các số ảo

b M

Ví dụ: Biểu diễn hình học các số phức

A(3 + 2i), B(2 – 3i), C(-3 – 3i), D(3i) z ( ; ) u a br

E(-2i), F(4)

0 a x

III Phép cộng và phép trừ số phức

Cho hai số phức z = a + bi (a b, ∈¡ , z’ = a’ + b’i () (a b', '∈¡ ) Ta có:)

1) Cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’) + (b +b’)i

2) Trừ hai số phức: z – z’ = z + (-z’) = (a – a’) + (b – b’)i

 Chú ý: Phép cộng, trừ số phức có các tính chất tương tự như phép cộng, trừ số thực (kết hợp, giao hoán)

Số đối của z = a + bi là – z = - a – bi

3) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:

( ; )

OMuuuur r=u a b biểu diễn số phức z = a + bi, OMuuuuur r'=u a b'( ; )biểu diễn số phức z’ = a’ + b’i thì

• u ur ur+ ' biểu diễn số phức z + z’ u ur ur− ' biểu diễn số phức z - z’

Ví dụ: Tính tổng và hiệu hai số phức: (3 + i) và (2 – 3i), (1 – 2i) và (2 + 2i), (2 – 2i) và (-2 + 3i).

IV Phép nhân số phức

Tích của hai số phức z = a + bi (a b, ∈¡ , z’ = a’ + b’i () (a b', '∈¡ ) là số phức)

zz’ = (a + bi)( a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i

 Chú ý: Phép nhân số phức có các tính chất tương tự như phép nhân số thực (kết hợp, giao hoán và phân phối)

Ví dụ: Tính (2 - i)(1 + 2i), (2 + i)(2 - i), (2 + i)(1 + 2i),

V Số phức liên hợp và môđun của số phức:

1) Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi (a b, ∈¡ là z a bi) = −

Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của các số phức sau 2 + 3i, - 4 - 2i , i, -i

 Chú ý: Hai số phức liên hợp ⇔ các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục thực Ox

z z= z z+ = +' z z' 'z z =z z '

2) Môđun của số phức: Môđun của số phức z = a + bi (a b, ∈¡ là số thực không âm ) 2 2

a +b và được kí hiệu

là |z| (không phải trị tuyệt đối) Như vậy:

2 2

• z = z z = a2+b2 = OMuuuur

• z ≥ ∀ ∈0 z £ và |z| = 0 ⇔ =z 0

• z z ' = z z' , z z+ ≤ +' z z'∀z z, '∈£

Ví dụ: Tính môđun của các số phức sau 2 + 3i, -4 - 2i , i, -i

VI Phép chia cho số phức khác 0.

z ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với z (nhân tử và mẩu với số phức liên hợp

của mẩu)

• Với z≠0, z'

z = ω⇔ =z' ω.z và z' z', z' z'

  = =

 ÷

Ví dụ: Tính

i

Bài tập:

1) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi

số phức sau:

a) (4 - i) + (2 + 3i) – (5 + i)

b) (1 + i)2 – (1 - i)2

c) (2 + i)3 – (3 - i)3

d) (i + 1)2(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z (CĐ2009)

1

− − +

f) 1 7 17

2i i i

 − 

 .

g)

i

−

2) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của mỗi

số phức sau:

a/

33

10

(1 ) (2 3 )(2 3 ) 1

i

+

  + − + + − +

 − ÷

 

1 1+ +i + +(1 )i + +(1 )i + + + (1 )i

3) Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i,

z3 = 1 – i Hãy tính và sau đó tìm phần thực,

phần ảo, môđun, số phức đối và số phức liên

hợp của mỗi số phức sau:

a) z1+ +z2 z3

b) z z1 2+z z2 3+z z3 1

c) z z z 1 2 3

d) z12+z22+z32

z

z +z + z f/ 12 22

+ +

4) Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:

z

+ =− +

2

i

 + + +  + ÷=

c) z+2z= −2 4i d) z2+ =z 0 e) z2+ z2 =0

5) Tìm số phức z thỏa mãn:

4 1

z i

z i

+

  =

 − ÷

6) Tìm số phức z thỏa mãn: z− + =(2 i) 10

và z z=25 (ĐHKB – 2009) 7) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn

các số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) z z+ + =3 4

b) z z− + − =1 i 2

c) z− −(3 4 )i =2 (ĐHKD – 2009) d) 2 z i− = − +z z 2i

BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

I Căn bậc hai của số phức.

 Định nghĩa: Cho số phức z’ Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = z’ được gọi là một căn bậc hai của z’.

1) Trường hợp z’ là số thực:

a) Z’ = a = 0 Có đúng một căn bậc hai là 0

b) Z’ = a khác 0

• a > 0: z’ có hai căn bậc hai là ± a

• a < 0: z’ có hai căn bậc hai là ±i a

2) Trường hợp z’ = a + bi (a b, ∈¡ , b khác 0 z = x + yi ) (x y, ∈¡ là căn bậc hai của z’ khi và chỉ khi)

2 2

2

xy b

 − =

 =

 Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z của số phức z’

Ví dụ: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

1) -1, -i2, - 5 + 12i, i

2) − +1 4 3i , 4 6 5i+ , 1 2 6i− −

II Phương trình bậc hai.

Mọi phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (1) (a,b,c là số phức cho trước, a khác 0) đều có hai nghiệm phức ( có thể trùng nhau) Việc giải phương trình được tiến hành tương tự như trong trường hợp a,b,c là những số thực

cụ thể:

Xét biệt thức ∆ = −b2 4ac

• Nếu ∆ ≠0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 , 2

a a , trong đó δ là một căn bậc hai của ∆.(nếu ∆<0 δ = ± ∆i )

• Nếu ∆ =0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2

2

= = − b

a .

S=z1+z2=

b a

−

; P=z1.z2 =

c

a Khi đó z1,z2 cũng là nghiệm của pt : Z 2-S.Z+P=0 VD/Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức :

a x2 + = 9 0; b x2 + 4 x + = 5 0; c 2 x2 − 5 x + = 4 0;

d − 2 x2 + 3 z − = 5 0; e x4 + 5 x2 + = 4 0; f x3− 2 x2 + 10 x = 0;

g x3 + = 1 0; h ( x2 − 4 )( x2 + 2 x + = 5 ) 0

BT: Giải các phương trình sau:

1) z2 – z + 1 = 0

2) z2 + (-2 + i)z – 2i = 0

3) z2 = z + 1

4) z2 + 2z + 5 = 0

5) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0

6) (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0

7) 8z2 – 4z + 1 = 0,( TNPT – 2009 )

8) 2z2 – iz + 1 = 0

16/4z 3 7i z 2i

z i

− − = −

(CĐ – 2009 phần ban NC) 17/z2 + 2z + 10 = 0 (z1 và z2 là nghiệm)

Tính giá trị biểu thức A= z12+ z22

(ĐHKA – 2009)

18/z2−8(1 )−i z+ −63 16i=0 9/z2+ + =z 1 0

10/(2 + 3i)z = z – 1.

(1 )+i z = − +1 7i

(z i z− )( +1)(z + =i) 0

13/( 2 ) (2 2 )

z +z + z + − =z

z+ −i − z+ − + =i

15/

2

19/( 2 )2 ( )2

20/z3= +2 11 ,i z x yi x y= + ( , ∈¢) 21/iz2+ +(1 2 )i z+ =1 0

22/z4+6(1 )+i z2+ + =5 6i 0 23/(1 )+i z2+ +2 11i=0

24 Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8

25 Tìm các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm

26 Tìm các số thực a, b, c để phương trình z3 + az2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i và z = 2 làm nghiệm

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG 4 (Tham khảo)

Đề 1:

Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính:

a/ (3 2 )[(4 3 ) (1 2 )]

5 4

i

i i

+ + Câu 2: (3điểm) Tìm số phức z,biết z =2 5và phần

ảo của z bằng hai lần phần thực của nó

Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: z4+z2-3=0

Đề 2:

Câu 1:Thực hiện các phép tính :

a/ (2-3i)(1+2i)+ 4

3 2

i i

− + b/

3 4 (1 4 )(2 3 )

i

−

Câu 2: Giải phương trình:

(1+i)z+(2-i)(1+3i)=2+3i

Câu 3: Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và

tích của chúng bằng 3

Đề 3:

Câu 1: Thực hiện các phép tính

(1 )(4 3 ) 8 6

i

− +

33 1

1

i i

+

−

Câu 2: Giải các pt sau:

a/ 2z2+3z+4=0 b/(z+3-i)2-6(z+3-i)+13=0 Câu 3: Không giải pt z2+(2-i)z+3+5i=0 hãy tính z1+z2

Đề 4:

Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính:

+ + +

3

Câu 2: (3điểm) Tìm số phức z,biết z z+ = +3 4i

Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: z4+3=0

Đề 5:

Câu 1(4điểm) Thực hiện các phép tính:

a/ (3 2 )(1 )

5 2

i

− b/ (1+i)+

2 3

i i

− + Câu 2: (3điểm) Lập pt bậc hai có hai nghiệm phức là z1=6-i ; z2=4+3i

Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: 2z4+3z2-5=0