Phần I: Hướng dẫn giải số phức bằng máy tính cầm tay

Các biện pháp chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lợng giác và ngợc lại 1.. Hoặc bình thờng, máy tính luôn hiển thị ở dao diện nàyVới dao diện này, các lệnh có ý nghĩa nh sau: Nú

Phần I Hớng dẫn sử dụng máy tính để tính số phức

I Số phức

1 Giới thiệu chung

- Trong phép toán có: Tập hợp số thực R (Real)

Tập hợp số phức C (Complex)

- Tất cả các thực đợc coi là số phức đặc biệt, nhng số phức có thể không phải là số thực

- Số phức có thể tồn tại kết quả: i 2 = - 1

- Vì vậy khi giải phơng trình toán học ta có thể tìm đợc nghiệm phức

* Ví dụ: Giải phơng trình sau:

x2 + x + 1 = 0 Xác định nghiệm:  = b2 – 4ac

= 1 – 4 = -3  0 Bình thờng, nếu xét nghiệm thực thì phơng trình trên vô nghiệm Nhng

đa về dạng phức ta có:

 = - 3 = 3 i2

Vậy nghiệm của phơng trình trên là:

Với  = 3 i2  = i

Nh thế ta có 1,2 =

ký hiệu đại lợng phức

2 Các cách biểu diễn số phức.

- Có các kiểu biểu diễn 1 đại lợng phức là dạng đại số và dạng lợng giác.

- Một số phức đại số có dạng:

= a + i b (a, b R) + Với a là phần thực còn ib là phần ảo Ngời ta còn kí hiệu j thay cho kí hiệu i

+ Ví dụ: Công suất toàn phần của một máy bơm tới là:

= 750 + j 500 (KVA)

- Một số phức lợng giác có dạng:

= Z 

+ Với Z là biên độ,  là góc,  là giá trị của góc

+ Ví dụ: = 22045 0

II Các biện pháp chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lợng giác và ngợc lại

1 Chuyển đổi thông thờng

a Biện pháp chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lợng giác

Ta có Z =

 = arctg

Ví dụ: Cho số phức đại số nh sau:

= 4 + j 5 (a, b R) Chuyển về số phức lợng giác = Z 

Ta có Z =

=

 = arctg = 51.340

Vậy = 51.340

b Biện pháp chuyển đổi số phức từ dạng lợng giác sang dạng đại số

Ta có a = Z* Cos

b = Z* sin

Ví dụ: Cho số phức Lợng giác nh sau:

= 150600 Chuyển về số phức đại số = a + j b

= 75

b = 150*sin60

= 75

2 Chuyển đổi bằng máy tính cầm tay CASIO FX – 570ES (hoặc CASIO FX – 570MS)

Mở máy tính về dao diện màn hình Complex:

MODE  2(CMPLX)

Với dao diện này, các lệnh có ý nghĩa nh sau:

Shift và (-)  

Các phép toán Cộng, trừ, nhân, chia thực hiện bằng các dấu +, - , x,

 thông thờng

a Biện pháp chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lợng giác

Có số phức đại số dạng: = a + i b

Ta nhập lần lợt:

a + b ENG  SHIFT 2  3 =

Ví dụ: Cho số phức đại số nh sau:

= 4 + j 5 (a, b R) Chuyển về số phức lợng giác = Z 

Nhập 4 + 5 ENG  SHIFT 2  3 =

Đọc ngay kết quả trên màn hình

= 51.340

b Biện pháp chuyển đổi số phức từ dạng lợng giác sang dạng đại số

Có số phức lợng giác dạng:

= Z 

Ta nhập lần lợt:

Z SHIFT (-)    SHIFT 2  4 =

Ví dụ: Cho số phức Lợng giác nh sau:

= 800300 Chuyển về số phức đại số = a + j b

Ta nhập lần lợt:

800  SHIFT (-)  30  SHIFT 2  4 =

Đọc ngay kết quả trên màn hình

= 692.82 + j 400

* Chú ý: Với phép trừ đại lợng phức cách nhập trị số cũng tơng tự:

Ví dụ: = a - i b

Ta nhập lần lợt:

a - b ENG  SHIFT 2  3 =

Hay:

= Z -

Ta nhập lần lợt:

Z SHIFT (-)  -   SHIFT 2  4 =

3 Chuyển đổi bằng máy tính cầm tay CASIO FX – 500MS

Mở máy tính về dao diện màn hình Toán: (MTH IO)

MODE  1(COMP)

Hoặc bình thờng, máy tính luôn hiển thị ở dao diện này

Với dao diện này, các lệnh có ý nghĩa nh sau:

Nút: Pol (dùng với dạng đại số)

Shift và (Pol)  Rec (dùng với dạng lợng giác)

Dấu phảy (,) (thể hiện sự phân cách giữa các giá trị) Các phép toán Cộng, trừ, nhân, chia thực hiện bằng các dấu +, - , x,

 thông thờng

a Biện pháp chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lợng giác

Có số phức đại số dạng: = a + i b

Ta nhập lần lợt:

Pol( a, b =

Đọc kết quả trên màn hình, ta có Z, sau đó thao tác lệnh tiếp:

RCL  tan =

Đọc kết quả trên màn hình, ta có F = góc 

Ví dụ: Cho số phức đại số nh sau:

= 15 + j 6 (a, b R) Chuyển về số phức lợng giác = Z 

Pol( 15,6 =

Đọc ngay kết quả trên màn hình

Z = 16.155;

Thao tác tiếp:

RCL  tan =

Đọc ngay kết quả trên màn hình F = 21.8 Nghĩa là: = 16.15521.80

b Biện pháp chuyển đổi số phức từ dạng lợng giác sang dạng đại số

Có số phức lợng giác dạng:

= Z 

Ta nhập lần lợt:

SHIFT  Pol( Z,  =

Thao tác nh thế máy tính sẽ hiển thị tơng đơng là

Rec( Z,  =

Đọc kết quả trên màn hình, ta có a, sau đó thao tác lệnh tiếp:

RCL  tan =

Đọc kết quả trên màn hình, ta có F = b

Ví dụ: Cho số phức Lợng giác nh sau:

= 500350 Chuyển về số phức đại số = a + j b

Ta nhập lần lợt:

Rec( 500, 35 =

Đọc kết quả trên màn hình

a = 40.9576;

Thao tác lệnh tiếp:

RCL  tan =

Đọc kết quả trên màn hình F = 28.678

Nghĩa là: = 40.9576 + j 28.678

* Chú ý: Với các đại lợng phức mang dấu (-), cách nhập trị số cũng tơng tự

4 Chuyển đổi bằng máy tính cầm tay CASIO FX – 500ES

Mở máy tính về dao diện màn hình Toán: (MTH IO)

MODE  1(COMP)

Hoặc bình thờng, máy tính luôn hiển thị ở dao diện này

Với dao diện này, các lệnh có ý nghĩa nh sau:

Shift và (+)  Pol (dùng với dạng đại số)

Shift và (-)  Rec (dùng với dạng lợng giác)

Shift và )  dấu phảy (,) (thể hiện sự phân cách giữa các giá trị)

Các phép toán Cộng, trừ, nhân, chia thực hiện bằng các dấu +, - , x,

 thông thờng

a Biện pháp chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lợng giác

Có số phức đại số dạng: = a + i b

Ta nhập lần lợt:

Shift+  a  Shift )  b  =

Khi thao tác lệnh nh trên, màn hình sẽ hiển thị tơng đơng là:

Pol( a, b =

Đọc kết quả trên màn hình, ta có:

r = Z;  = 

Ví dụ: Cho số phức đại số nh sau:

= 15 + j 6 (a, b R) Chuyển về số phức lợng giác = Z 

Shift+  15  Shift )  6  =

Đọc ngay kết quả trên màn hình

r = 16.155;  = 21.8 Nghĩa là: = 16.15521.80

b Biện pháp chuyển đổi số phức từ dạng lợng giác sang dạng đại số

Có số phức lợng giác dạng:

= Z 

Ta nhập lần lợt:

Shift -  Z  Shift )    =

Khi thao tác lện nh trên, màn hình sẽ hiển thị tơng đơng là:

Rec( Z,  =

Đọc kết quả trên màn hình, ta có:

X= a; Y = b

Ví dụ: Cho số phức Lợng giác nh sau:

= 500350 Chuyển về số phức đại số = a + j b

Ta nhập lần lợt:

Shift -  500  Shift )  35  =

Đọc ngay kết quả trên màn hình

X = 40.9576; Y = 28.678 Nghĩa là: = 40.9576 + j 28.678

* Chú ý: Với các đại lợng phức mang dấu (-), cách nhập trị số cũng tơng tự

III Các phép toán của số phức.

A Tính toán thông thờng

1 Các phép toán đại số của số phức.

Cộng phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo ta có:

1 = a + i b

2 = c + i d

1 + 2 = (a + c) + i (b + d)

VÝ dô: 1 =

=

1 + 2 = +

= + + +

= -1

b. Trõ sè phøc: Trõ phÇn thùc víi phÇn thùc, phÇn ¶o víi phÇn ¶o

ta cã:

1 - 2 = -

= - - -

= -i

1* 2 = *

=

= = 1

=

= *

=

=

= - +

e. Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính toán biểu thức sau:

= (1 – j 2)*(2+j)2 + j5

= (1 – j 2)*(4 + j 4 +j2) + j 5

= (1 – j 2)*(3 + j 4) + j 5

= 3 + j 4 - j 6 + 8 + j 5

= 11 + j 3

Tìm nghiệm của phơng trình

(1 + j) x + (- 2 + j 5).y = - 4 + j 17

 x + j.x - 2 y + j 5.y = - 4 + j 17

 (x - 2 y) + j (x + 5 y) = - 4 + j 17

áp dụng phơng pháp đồng nhất hoá ta có:

Lúc đó ta giải hệ phơng trình này bình thờng để tìm x và y

Lấy (1) - (2) ta có: - 7 y = - 21

 y = 3 Thay vào (1) ta có đợc x = 2

Tóm lại: Giải toán với số phức nh bình thờng, không có gì khó khăn Vấn đề cơ bản là không đợc quên rằng phần ảo đợc biểu thị bằng chữ i hoặc j

2 Các phép toán dạng lợng giác của số phức.

1* 2 = Z1 * Z2 (1 +2)

Ví dụ: 1 = 220450

2 = 150400

1* 2 = 33 000850

= (1 - 2)

Ví dụ:

= = 1.466750

c Cộng và trừ số phức dạng lợng giác

- Chỉ thực hiện phép cộng và trừ số phức dạng lợng giác trực tiếp khi 2 đại lợng phức có trị số góc  bằng nhau Khi đó ta cộng (hoặc trừ) biên độ của đại lợng, còn góc giữ nguyên

Ví dụ: 1 = 220450 (V)

2 = 150450 (V)

Ta có: 1 - 2 = 70450 (V)

1 + 2 = 370450 (V)

- Nếu đại lợng phức có trị số góc không bằng nhau thì phải đổi

sang số phức dạng Đại số trớc khi thực hiện phép toán cộng (hoặc trừ)

B Tính toán bằng máy tính CASIO FX - 500 ES (Hoặc máy tính có đời thấp hơn loại máy này)

1 Các phép toán dạng đại số của số phức.

- Máy tính loại này chỉ thực hiện đợc phép Cộng hoặc phép Trừ dạng

đại số của số phức

- Cách thực hiện:

+ Số thực Cộng hoặc Trừ Số thực + Số ảo Cộng hoặc Trừ Số ảo

- Khi đại lợng phức đang ở dạng lợng giác mà bài toán yêu cầu Cộng

hoặc Trừ thì phải đổi về dạng đại số rồi mới thực hiện Cộng hoặc

Trừ

- Sau khi có kết quả cuối cùng lại đổi về dạng lợng giác nếu cần

(Xem kĩ phần II)

2 Các phép toán dạng lợng giác của số phức.

- Máy tính loại này chỉ thực hiện đợc phép Nhân hoặc phép Chia

dạng lợng giác của số phức

- Cách thực hiện:

+ Biên độ Nhân hoặc Chia biên độ + Số góc Nhân hoặc Chia Số góc

- Khi đại lợng phức đang ở dạng đại số mà bài toán yêu cầu Nhân

hoặc Chia thì phải đổi về dạng lợng giác rồi mới thực hiện Nhân

hoặc Chia

- Sau khi có kết quả cuối cùng lại đổi về dạng đại số nếu cần (Xem

kĩ phần II)

B Tính toán bằng máy tính CASIO FX - 570 ES (Hoặc máy CASIO FX - 570 MS )

- Loại máy tính này có thể thực hiện đợc tất cả các phép tính nh:

+, -, x, , , , các loại tích phân các đại lợng phức

- Khi tính toán, máy tính luôn trả kết quả mặc định dạng Đại số, (Kể cả nhập vào giá trị là đại số hay lợng giác) do đó, nếu muốn có

kết quả dạng lợng giác ta phải nhập lệnh yêu cầu cho máy

Cách thực hiện đợc thể hiện tổng quát nh sau:

1 Nhập phép toán dạng đại số của số phức.

Mở máy tính về dao diện màn hình Complex:

Bài toán phức đại số: = (a + i b) + (hoặc -, x, ) (c + i d)

a T hợp 1: yêu cầu kết quả dạng đại số

Ta nhập lần lợt:

(a + b ENG) + (hoặc -, x, ) (c + d ENG) =

b T hợp 2: yêu cầu kết quả dạng lợng giác

Ta nhập lần lợt:

(a + b ENG) + (hoặc -, x, ) (c + d ENG)  SHIFT 2  3 =

Ví dụ: Tính toán biểu thức:

= (4 + i 5) (6 + i 7)

Nhập vào máy tính

(4 + 5 ENG) (6 + 7 ENG) =

Máy tính sẽ trả kết quả dạng đại số:

2 Nhập phép toán dạng lợng giác của số phức.

Bài toán phức lợng giác: = (Z11 ) + (hoặc -, x, ) (Z22 )

a T hợp 1: yêu cầu kết quả dạng đại số

Ta nhập lần lợt:

(Z1SHIFT -  1 ) + (hoặc -, x, ) (Z2SHIFT -  2 ) =

b T hợp 2: yêu cầu kết quả dạng lợng giác

Ta nhập lần lợt:

(Z1SHIFT -  1 ) + (hoặc -, x, ) (Z2SHIFT -  2 )  SHIFT 2  3 =