số phức lớp 12 trương trình mới

Vậy tập hợp M là hình tròn tâm A , bán kính 1, không kể biên.

y

ur

b M(a+ bi)

O a x

1 Một số kiến thức cơ bản cần l u ý :

y

i là đơn vị ảo, i2=-1)

a là phần thực, b là phần ảo của z

z là số thực ⇔ b= 0

z là số ảo ⇔ a = 0

• Biểu diễn hình học :

số phức z =a+bi có sự tơng ứng 1-1 với điểm M(a, b) Mỗi điểm M(a, b) lại có sự

t-ơng ứng 1-1 với vectơ OMuuurhay với vectơ ur(a, b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức)

Để chỉ số phức z tơng ứng với điểm M ta viết M(z)

• Môđun của số phức z =a + bi (a, b ∈ R) :

z = a +b = z z =OMuuur =OM

⇒z =1 : tập hợp các điểm M(z) là đờng tròn (O,R=1)

z ≤ 1 : tập hợp các điểm M(z) là hình tròn tâm O, bán kính R=1,

kể cả biên là đờng tròn

• M(z) là trung điểm của đoạn M1(z1)M2(z2) ⇔ z = 1

2(z1+z2) Với z1=a1+b1i ;

z2 = a2+b2i

• MMuuuuur0 = -z z0 Với z0=a0+b0i

• MM02 = (z z- 0).(z -z0)

(vì z z = z )

(z z- ).(z z- ) =R là phơng trình đờng tròn tâm I0(z0), bán kính R

2 Các ví dụ :

Ví dụ 1 : Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau :

a) z = z - 3 4 + i b) z+ + =z 3 4 c) z z- + - 1 i = 2

Giải :

a) Cách 1 :

sử dụng kết quả z = z , và z+z1= +z z1, ta có:

z = z- 3 4 + i ⇔z =z- 3 4 + i ⇔ z = -z 3 4 - i

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z1=3+4i ; M là điểm biểu diễn số phức z=x+yi

Thì z- 3 4 - i =AMuuuur

Vậy z = -z 3 4 - i ⇔OM=AM ⇒Tập hợp M là đờng trung trực của đoạn thẳng OA Cách 2 :

z=x+yi ⇒z = -x yi

Do đó : z = -z 3 4 - i ⇔ x2+y2=(x-3)2+(y-4)2⇔6x+8y=25 (*)

Vậy tập hợp M là đờng thẳng có phơng trình (*)

b) Vì: z+ + =z 3 2x+ 3 nên:

3 4

z+ + =z ⇔ 2x +3=4 ⇔ (2x+3)2=16 ⇔

1

2

x x

ộ

ờ =

-ở

c) Vì z z- + - 1 i=1+(2y-1)i ⇒ z z- + - 1 i = 2 ⇔1+(2y-1)2=4

⇔4y2-4y-2=0 ⇔

2

2

y y

ờ = ờ ờ

-ờ = ờ

Vậy tập hợp M là hai đờng thẳng có phơng trình

2

y= ±

Ví dụ 2 : Cho hai điểm M(z) và I(z1) tơng ứng với số phức z=x+yi , x, y ∈R và số phức

z1=a+bi

a) Chứng minh hệ thức ;

(z-z1).(z z- 1) =(x-a)2+(y-b)2

b) suy ra hệ thức :

(z-z1).(z z- 1) =R2 ( R> 0)

Là phơng trình một đờng tròn tâm I, bán kính R

Giải :

a) z-z1= (x-a) +(y-b) i ;

z z- 1=(x-yi) –(a-bi) =(x-a)- (y-b)i

Từ đó (z-z1).(z z- 1) =[(x-a)+(y-b)i].[(x-a) –(y-b)i]

=(x-a)2 +(y-b)2

b) (z-z1).(z z- 1) =R2 ⇔ (x-a)2 +(y-b)2 = R2 Đây là phơng trình đờng tròn tâm I(z1) , bán kính R

Ví dụ 3 : Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn từng điều kiện sau :

a) z- 1 + =i 2

b) 1≤z+ - 1 i ≤ 2

c) z- 4i +z+ 4i =10

Giải :

a) Xét số phức z=x+yi và z1=1-i tơng ứng với các điểm M và M1, thế thì :

z- 1 + =i 2⇔ z z- 1 = 2⇔ (x- 1) (+ y+ 1)i =2 ⇔ (x-1)2+(y+1)2=4

Vậy tập hợp M là đờng tròn tâm M1(z1) , bán kính bằng 2

Cách 2 : z- 1 + =i 2⇔ z z- 1 = 2⇔M1M = 2 ⇔M cách M1 cố định một khoảng bằng 2

Vậy tập hợp M là đờng tròn tâm M1 , bán kính bằng 2

b) Xét điểm A(-1,i) Từ giả thiết :

1≤ MA≤ 2

Vậy tập hợp M là hình vành khăn giới hạn bởi

hai đờng tròn đồng tâm, tâm A, bán kính

thứ tự bằng 1 và 2

3 Bài tập :

1 Cho điểm M(z) với số phức z = a-3 +ai , a là tham số

a) tìm tập hợp các điểm M khi a thay đổi

b) Xác định a để tọa độ điểm M thỏa mãn : xy = 1

c) Xác định a sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất

2 Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn từng điều kiện sau :

2

z- - i =

-b) (2 z- ) (i +z) là số ảo tùy ý

3 Tìm tập hợp các điểmM(z) thỏa mãn :

a) 2z i- =z z- + 2i

b) 2 ( )2

z - z = 4

4 Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn :

Y

A 1 -1 0 x

a) z i- ≤1 b) z- 1 - i < 1

5 Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z =x+yi thỏa mãn

từng điều kiện sau :

2

1

x y

ỡù Ê + Ê

ùùớ

ù Ê - +

ùùợ

Giải :

1 a) Ta có : ỡù = -x y a a 3

ùớ

ù =

có phơng trình : y = x+3

b) Ta có : ỡù = - ùớù =x y a a 3

2

a= ±

c) z =(a- 3) +ai =(a-3)2+a2=2a2-6a+9=2(a2-3a+9

2) =2(a-3

2)2+9

2

z ≥ 9

2 Vậy môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9

2 khi và chi khi a = 3

2

2 a)

2

z- - i = - ⇔ ( 2 2 )

z- + i = 6 2

4

- ( * )

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z1= 2

2 + 2

2 i, thế thì :

4

- ⇔AMuuuur = 6 2

4

4

-⇔Tập hợp M là đờng tròn tâm A(z1), bán kính 6 2

4

- b)

Ta có z =x+yi thì z = -x yi

(2 z- ) (i +z)=[(2-x)-yi].[(x+(1-y)i]=(-x2-y2+2x+y)+(-x-2y+2)i

(2 z- ) (i +z) là số thuần ảo ⇔ -x2-y2+2x+y = 0⇔x2+y2-2x-y=0

⇔(x-1)2+(y-1

2)2=5

4 Vậy tập hợp M là đờng tròn, tâm là điểm I biểu diễn số phức z= 1+1

2i, bán kính bằng 5

2

3 a)

2z i- =z z- + 2i ⇔ 2x+(y- 1)i =2(y+ 1)i ⇔4[x2+(y-1)2]=4(y+1)2⇔y=1

4x2

Y

1

0 1 x

Vậy tập hợp M là parabol : y=1

4x2 b)

( )2

2

z - z = 4⇔ (z z- ) (. z+z) = 4⇔4xyi =4 ⇔16x2y2=16⇔y= 1

x

±

Vậy tập hợp M là hai hypebol có phơng trình : y= 1

x

±

4

a) Xét điểm A(0,1) biểu diễn số phức z1=i Thế thì :

z i- ≤1⇔ z z- 1 ≤1 ⇔AMuuuur≤ 1⇔ AM≤ 1 Vậy tập hợp M là hình tròn tâm A , bán kính 1, kể cả biên

b) z- 1 - i < 1

Xét điểm A (1, 1), thế thì : z- 1 - i < 1⇔AMuuuur < 1⇔ AM< 1

Vậy tập hợp M là hình tròn tâm A , bán kính 1, không kể biên

5 Tập hợp các điểm M là miền hình phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng song song y=-x ; y=-x+1 và parabol y=-x2 +1

Y

1 A

0 1 x