Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

k là số thực, z biểu diễn bởi vecto u thì kz biểu diễn bởi k u... Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằn

Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi

vecto u = (a ; b) trong mp tọa độ Oxy (mặt phẳng phức).

3 Phép cộng và phép trừ số phức :

 (a + bi)  (c + di) = (a  c) + (b  d)i.

 Số đối của z = a + bi là −z = −a – bi

 Tính chất :

o Kết hợp : (z + z’) + z” = z + (z’ + z”) với mọi z, z’, z” 

o Giao hoán : z + z’ = z’ + z với mọi z, z’

o Cộng với 0 : z + 0 = 0 + z = z với mọi z

 z biểu diễn bởi u, z’ biểu diễn bởi vecto u ' thì : z  z’ biểu diễn bởi u  u'.

4 Phép nhân số phức :

 (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.

k là số thực, z biểu diễn bởi vecto u thì kz biểu diễn bởi k u.

 Tính chất :

o Giao hoán : zz’ = z’z với mọi z, z’

o Kết hợp : (zz’)z” = z(z’z”) với mọi z, z’, z” 

o Nhân với 1 : 1.z = z.1 = z với mọi z

o Phân phối : z(z’ + z”) = zz’ + zz” với mọi z, z’, z” 

5 Số phức liên hợp và môđun của số phức :

 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a – bi Như vậy : z a bi a bi   

 Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) : 1 2

a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức.

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức.

3 Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong

mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Gọi D là điểm biểu diễn số i A biểu diễn số −i

Dễ thấy điểm E có tọa độ os ;sin 3 1;

c) Với mọi số phức z, z’, ta có z z ' z z' , ' zz z z ' và nếu z ≠ 0 thì z' z'

z z

c) Gọi số phức z = a + bi và z’ = c + di Khi đó z = a – bi và ' z = c – di.

 z + ' z = (a + c) - (b + d)i, mà z + z’ = (a + c) + (b + d)i z z ' = (a + c) - (b + d)i = z + ' z

Tương tự cho các đẳng thức còn lại

7 Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có :

z  z . c) Với mọi số phức z, z’, ta có z z ' z  z'.

c) Ta có : z  z 3 4 i  a + bi = a – bi – 3 + 4i a + bi = (a – 3) + (4 – b)i

 a2 + b2 = (a – 3)2 + (4 – b)2  6a + 8b – 25 = 0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là mộtđường thẳng

LUYỆN TẬP

10 Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có :

1 + z + z 2 + + z 9 =

10 11

z z





Giải:

Do (1 + z + z2 + + z9)(z – 1) = z + z2 + z3 + .+z10 – (1 + z + z2 + + z9) = z10 – 1 nên khi z ≠

1 ta chia hai vế cho z – 1 thì được đẳng thức cần chứng minh

11 Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác

b) Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i

z i



 là số thực dương.

số −i)

15 a) Trong mp phức, cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z 1 ,

z 2 , z 3 Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào ?

b) Xét 3 điểm A, B, C của mp phức theo thư tự biểu diễn 3 số phức phân biệt z 1 , z 2 , z 3 thỏa mãn :

z1 = z2 = z3 Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của tam giác đều khi và chỉ khi z1 + z2 + z3 = 0

b) Ba điểm A, B , C (hay 3 vecto OA OB OC  , , ) biểu diễn 3 số phức z1, z2, z3 thỏa mãn z1 = z2 =

z3  OA = OB = OC (theo 8.a)) tức là điểm O cách đều 3 điểm A, B, C hay 3 điểm đó nằm trênđường tròn tâm O (gốc tọa độ)

A, B, C là 3 đỉnh của tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếptam giác ABC hay G  O  z1 + z2 + z3 = 0 (theo a))

16 Đố vui Trong mp phức cho các điểm : O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z

không thực, A’ biểu diễn số phức z’ ≠ 0 và B’ biểu diễn số phức z.z’ Hai tam giác OAB, OA’B’ cóphải là hai tam giác đồng dạng không ?

Giải:

Theo gt ta có: OA = 1; OA’ = z’ ; OB = z ; OB’ = z.z’ ; AB = z − 1 ; A’B’ = z.z’ −z’

Và : OA' = z' = z' , OB' = z.z' = z' , A'B'= z.z' - z' = z'

Do đó hai tam giác OAB, OA’B’ đồng dạng với tỉ số đồng dạng là z’

§2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Số tiết : 2LT + 1BT

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1 Căn bậc hai của số phức :

 z là một căn bậc hai của số phức w  z2 = w

 z = x + yi (x, yR) là căn bậc hai của w = a + bi (a, bR)



2 22

 Số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là 2 số đối nhau

 Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là  a

 Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là  a i



B MỘT SỐ VÍ DỤ :

Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của :

Giải:

a) −1 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là i

b) −a2 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là ai

c) Đặt w = −5 + 12i Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w

d) Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w = i

a) Ta có :  = 1 – 4 = −3 là số thực âm nên một căn bậc hai của  là : 3i

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt z1 = 1 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt : z1 = z =2 2 - i - 2 - i = i

C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :

17 Tìm các căn bậc hai của các số phức sau :

Hai căn bậc hai của 4i là : 2 2 ,i  2 2i

Hai căn bậc hai của 1 + 4 3 i là : 2 3 , 2i   3i

18 Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì z = w

Giải:

z là một căn bậc hai của số phức w  z2 = w  z2 = z2 = w  z = z = w 2

19 Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau :

a) z 2 = z + 1 b) z 2 + 2z + 5 = 0 c) z 2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0

Giải:

a) z = 1 5

20 a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình

bậc hai với hệ số phức không ? Vì sao ?

b) Tìm hai số phức , biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).

c) Có phải mọi phương trình bậc hai z 2 + Bz + C = 0 (B, C là 2 số phức ) nhận hai nghiệm là hai

số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực ? Vì sao ?Điều ngược lại có đúng không ?

Giải:

a) Từ công thức nghiệm của phương trình bậc hai (

2

B A

c) Nếu phương trình z2 + Bz + C = 0 có 2 nghiệm z1, z2 là 2 số phức liên hợp thì z2 = z 1

Theo công thức Vi-ét, B = −(z1 + z2) = −(z1 +z ) là số thực và C = z1.z2 = z1.1 z là số thực.1

Điều ngược lại không đúng vì nếu B, C thực thì khi  = B2 – 4C > 0 hai nghiệm là 2 số thực phânbiệt, chúng không phải là liên hợp với nhau, khi   0 thì phương trình mới có 2 nghiệm là 2 sốphức liên hợp

21 a) Giải phương trình sau : (z 2 + i)(z 2 – 2iz – 1) = 0

b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z 2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Giải:

a) Phương trình  z2 + i = 0 hoặc z2 – 2iz – 1 = 0 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm z1 = i, z2 =

b) Ta có : B = −(z1 + z2), z1.z2 = 3i (z1, z2 là 2 nghiệm phương trình : z2 + Bz + 3i = 0, mà theo gt ta

được : z12 + z22 = 8  (z1 + z2)2 – 2z1.z2 = 8  b2 – 6i = 8  b2 = (8 + 6i)  b =  (3 + i)

22 Đố vui Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của −1 là  và tính : 1  1  như sau :1

a) Theo định nghĩa căn bậc hai của −1 thì  1  = −1.1

b) Theo tính chất của căn bậc hai (tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó) thì  1  = ( 1)( 1)1    1 1 , từ đó học sinh đó suy ra −1 = 1 Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

Giải:

a) Lập luận a) đúng

b) Lập luận b) sai Vì  1  chỉ là một căn bậc hai của (−1)(−1) = 1 (theo H1 trang 194) Lưu ý1

có hai căn bậc hai của 1 là 1 và −1, các kí hiệu  1  và 1 1 chưa xác định

LUYỆN TẬP

23 Tìm nghiệm phức của phương trình sau : z + = k1

z trong các trường hợp sau :

25 a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) : z 3 + az 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm.

26 a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực, ta có :

(cos  + isin) 2 = cos2  + isin2

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2  + isin2 Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở §2.

b) Tìm các căn bậc hai của 2(1 )

2  i bằng 2 cách nói ở câu a).

Giải:

a) (cos + isin)2 = cos2

 − sin2

 + 2sin.cos i = cos2 + isin2

Các căn bậc hai của cos2 + isin2 là :  (cos + isin)

Còn theo cách giải trong bài học, ta cần giải hệ phương trình :

thì theo câu a), 2(1 )

2  i có hai căn bậc hai là1

b) Dạng lượng giác của số phức :

Dạng z = r(cos + isin) (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (a, bR) (z ≠ 0)



2 2os

sin

a c

r b r

( là acgumen của z,  = (Ox, OM).

2 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’) thì:

Với n là số nguyên, n  1 thì : r c( osisin ) n r n(cosnisin )n

Khi r = 1, ta được : ( os c isin ) n (cosnisin )n

4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :

Các căn bậc hai của số phức z = r(cos + isin) (r > 0) là : os isin

Số thực dương tùy ý có một acgumen là 0 Số thưc âm tùy ý có một acgumen là 

Số 3i có một acgumen là /2, số −2i có một acgumen là −/2, số 1 + i có một acgumen là /4

Ví dụ 2: Hãy tìm dạng lượng giác của số phức :

z = 13

i i

Tương tự, dạng lượng giác của 3 i là : 2 os isin

Ta có :

1 3 21os

23sin

Dạng lượng giác của 1 3i là : 2(cos/3 + isin /3)

C BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :

27 Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: z ; −z ; 1/ z ; kz (kR * ) trong mỗi trường hợp sau : a) z = r(cos + isin) (r > 0)

b) z = 1 3i

Giải:

a) z = r(cos − isin) = r(cos(−) + isin(−))

−z = − r(cos + isin) = r[cos( + ) + isin( + )]

kz = k r(cos + isin) khi k > 0

kz = − k.r[cos( + ) + isin( + )] khi k < 0

b) z = 1 3i = 2(cos/3 + isin /3) Khi đó :

z = 2(cos/3 − isin/3) = 2(cos(−/3) + isin(−/3))

−z = − 2(cos/3 + isin3) = 2[cos(4/3) + isin(4/3)]

kz = k 2(cos/3 + isin/3) khi k > 0

kz = − 2k[cos(4/3) + isin(4/3)] khi k < 0

28 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

d) z = sin + icos = cos(/2 −) + isin(/2 −).

29 Dùng công thức khi triển nhị thức Niu-tơn (1 + i) 19 và công thức Moa-vro để tính :

Cách khác: (1 + i)2 = 2i  (1 + i)19 = (2i)9(1 + i) = 29.i(1 + i) = 29(−1 + i), từ đó suy ra số cần tìm

30 Gọi M, M’ là các điểm trong mp phức theo thứ tự biểu diễn các số z = 3 + i ;

b) Ta có : sđ(OM, OM’) = sđ(Ox,OM’) – sđ(Ox, OM) = ’ -  = acgumenz'

cos4 + isin4 = (cos + isin)4 = cos4 + 4cos3.(isin) + 6cos2(i2sin2) + 4cos.(isin)3 +

i4sin4 = cos4 − 6cos2sin2 + sin4 + (4cos3.sin − 4cos.sin3).i

Từ đó : cos4 = cos4 − 6cos2sin2 + sin4 và sin4 = 4cos3.sin − 4cos.sin3

33 Tính :

21 2004

  Tìm các số nguyên dương n để w n là số thực Hỏi có chăng một

số nguyên dương m để w m là số ảo ?

c   (n guyên dương) Số này là

số thực khi và chỉ khi sin4 0

   8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2 Vậy không có

số nguyên dương m để wm là số ảo

35 Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trương hợp sau :

c) (z2 + 1)2 + (z + 3)2 = (z + 1)2 – [i(z + 3)]2 = (z2 + 1 + i(z + 3))(z2 + 1 – i(z + 3)) = 0 Nghiệmphương trình là z = 1 – 2i, z = −1 + i, z = 1 + 2i, z = −1 −i

a) Viết z 1 , z 2 , z 3 dưới dạng lượng giác.

b) Từ câu a), hãy tính cos7

a) Viết z 2 dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác.

b) Từ câu a), hãy suy ra dạng lượng giác của z.

b) a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 5 + i và 8 + i, hãy chứng minh rằng tana

= ½, tanb = 1/5, tanc = 1/8 với a, b, c(0 ; /2) thì a + b + c = /4.

Giải:

a) Biểu diễn hình học 2 + i, 3 + i theo thứ tự bởi M, N trong mp phức Ta có : tan(Ox, OM) = ½ =tana ; tan(Ox, ON) = 1/3 = tanb Do a, b (0 ; /2), còn M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất nênsuy ra một acgumen của 2 + i bằng a, một acgumen của 3 + i bằng b

Mặt khác, (2 + i)(3 + i) = 5(1 + i) có một acgumen bằng /4, mà acgumen của tích các số phức bằngtổng các acgumen của các số phức đó (sai khác k2, kZ), nên từ a, b(0 ; /2)  a + b = /4.b) Biểu diễn hình học 2 + i, 5 + I, 8 + i theo thứ tự bởi M, N, P trong mp phức Ta có : tan(Ox, OM)

= ½ = tana ; tan(Ox, ON) = 1/3 = tanb ; tan(Ox, OP) = 1/8 = tanc Do a, b, c (0 ; /2), còn M, N, Pnằm trong góc phần tư thứ nhất nên suy ra một acgumen của 2 + i bằng a, một acgumen của 5 + ibằng b, một acgumen của 8 + i bằng c

Mặt khác, (2 + i)(3 + i)(8 + i) = 65(1 + i) có một acgumen bằng /4, mà acgumen của tích các sốphức bằng tổng các acgumen của các số phức đó (sai khác k2, kZ), nên từ a, b, c(0 ; /2) Suy ra : a + b + c = /4

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

43 (C) ; 44 (A) ; 45 (A) ; 46 (B) ; 47 (B) ; 48 (A) ; 49 (B) ; 50 (C) ; 51 (A) ; 52 (B) ; 53 (B) ;

54 (B) Chú ý : −sin − icos = −i(cos - isin) = −i[cos(−) + isin(−)].

ÔN TẬP CUỐI NĂM

1 a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = e x – x – 1 đồng biến trên nửa khoảng [0 ; +).

b) Từ đó, suy ra e x > x + 1 với mọi x > 0.

Giải:

a) Vì f(x) liên tục trên R và f’(x) = ex – 1 > 0 với mọi x > 0

b) Do f(x) đồng biến trên [0 ; +) nên với mọi x > 0, ta có f(x) = ex – x – 1 > f(0) = 0  ex > x + 1với mọi x > 0

2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số f(x) = 2x 3 – 3x 2 – 12x – 10.

b) Chứng minh rằng phương trình 2x 3 – 3x 2 – 12x – 10 = 0 có nghiệm thực duy nhất.

c) Gọi nghiệm thực duy nhất của phương trình là  Chứng minh rằng 3,5 <  < 3,6.

3 Gọi (C) là đồ thị hàm số y = lnx và (D) là một tiếp tuyến bất kì của (C) Chứng minh rằng trên

khoảng (0 ; +), (C) nằm ở phía dưới của đường thẳng (D).

4 Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ Chi phí để vận hành một

máy trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn đồng Hỏi nếu in 50.000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất ?

Kết quả n = 5

 và hai số a, b thỏa mãn a + b = 1 Hãy tính P(a) + P(b).

b) Hãy so sánh A = 318 và B = 6 6

1 log 2 log 5 21

8 a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = cosx.e 2tanx và y = log 2 (sinx).

b) Chứng minh rằng hàm số y = e 4x + 2e −x thỏa mãn hệ thức : y (3) – 13y’ – 12y = 0.

9 a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = 2 x , y = ( 2)x và y = ( 3)x trên cùng một mp tọa độ Hãy nêu nhận xét về vị trí tương đối của 3 đồ thị đó.

b) Vẽ đồ thị hàm số y = log 3 x Từ đó hãy suy ra đồ thị của hàm số y = 2 + log 3 x và đồ thị của hàm

số y = log 3 (x + 2).

16 a) Cho hình thang cong A giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = e x , trục hoành và các đt x = 0 và x

= 1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục hoành.

b) Cho hình phẳng B giới hạn bởi parabol y = x 2 + 1 và đt y = 2 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay B quanh trục tung.

1

zz

18 Tính :

a) ( 3 )i 2 ( 3 ) i 2 b) ( 3 )i 2( 3 ) i 2

c) ( 3 ) ( 3 )i 3   i 3 d)

2 2

( 3 )( 3 )

i i

z+1z-1, nhân chéo ta được : z 1z − 1 = 0  z = 1.

20 Xác định tập hợp các điểm M trên mp phức biểu diễn các số phức :

21 Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức : −8 + 6i ; 3 + 4i và 1 2 2.i

Giải:

Hai căn bậc hai của −8 + 6i là : (1 + 3i).

Hai căn bậc hai của 3 + 4i là : (2 + i).

Hai căn bậc hai của 1 2 2.i là : ( 2 −i)

22 Giải các phương trình sau trên C:

a) z 2 – 3z + 3 + I = 0 b) z 2 – (cos + isin)z + isin.cos = 0, trong đó  là số thực cho trước.

i i

3

i i