ĐỀ THI HỌC KỲ II
Môn TOÁN 11 - Thời gian: 90’
ĐỀ B
Bài 1:( 3đ ) Tính các giới hạn sau:
1/
1
1
lim 2
+
−
→ x
x
x 2/
3
5 lim
3 −
+
−
→ x
x
x 3/
1
3 2 1 lim 2
+
+ + + +
n
n
Bài 2: ( 1đ ) Xét tính liên tục của hàm:
≠ +
−
−
=
−
=
1 2
3 1
1
1 ) (
x x x
khix x
Bài 3: ( 2,5đ )
1/ Tính đạo hàm: a/ ( 3 )5
1
+
y b/ y= sin3x
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong ( C ) :
x
y= 1 biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng d: y =−x+3.
Bài 4: ( 3,5đ )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a SA vuông góc với
(ABCD ) và SA = a
1/ Chứng minh : BD ⊥ SC
2/ Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AB và SC ?
ĐÁP ÁN
Bài 1: (3 đ) Tính các giới hạn:
1) (1 đ)
) 1 )(
1 (
1 lim
1
1 lim
1 2
+
=
−
+
−
→
−
x x
x
x
=
1
1 lim
1 −
−
→ x
x (0,25 đ);
=
2
1 (0,5 đ);
2) (1 đ)
3
5 lim
3 −
+
−
→ x
x
x
Ta có: lim3−( +5)=8
→ x
x (0,25 đ);
lim3−( −3)=0
→ x
x (0,25 đ);
Và: x – 3 < 0 ∀x< 3 (0,25 đ);
−
+
−
5 lim
3 x
x
x (0,25 đ);
3) (1 đ)
1 2
) 1 ( lim 1
3 2 1
+
+
= +
+ + + +
n
n n n
=
)
1 1 ( 2
) 1
1 ( lim
2 2 2
n n n n
+ +
(0,25 đ);
Trang 2=
2
1 (0,25 đ);
Bài 2: (1 đ) xét tính liên tục:
• MXĐ: D = R (0,25 đ);
2
1 lim 2 3
1 lim
) (
lim
1 2
1
−
= +
−
−
=
→
→
x x
f
x x
Bài 3: (2,5 đ)
1) Tính đạo hàm:
a) MXĐ: D = R (0,25 đ);
y'=5(x3 +1)4.(x3 + )' (0,25 đ);
= 5(x3 +1)4.(3x2) (0,25 đ);
b) Đk: sin3x≥0
x
x y
3 sin 2
)' 3 (sin '= (0,25 đ);
x
x x
3 sin 2
)' 3 (
3 cos
= (0,25 đ);
x
x
3 sin 2
3 cos 3
= (0,25 đ);
2) d: y = -x + 3 => Kd = -1 vì tiếp tuyến song song với d nên ktt = kd = -1 (0,25 đ)
Gọi (xo; yo) là toạ độ tiếp điểm, vậy f’(xo) = -1
−
=
=
⇔
=
⇔
−
=
−
⇔
−
=
1
1 1
1
1 1
)
(
'
0
0 2
0 2
0 0
x
x x
x x
f
xo = 1 => yo = 1
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y – 1 = -1(x-1) <=> y = -x + 2 (0,25 đ)
xo = -1 => yo = -1
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y + 1 = -1(x+1) <=> y = -x - 2 (0,25 đ)
Bài 4: (3,5 đ)
Hình vẽ đúng (0,5 đ)
a) (1 đ)
Ta có: BD⊥ AC (2 đường chéo hình vuông) (0,25 đ)
BD⊥SA (vì SA⊥(ABCD)) (0,25 đ)
Nên BD⊥(SAC) (0,25 đ)
=> BD⊥SC (0,25 đ)
b) (2 đ)
Ta có: AB // CD => AB // (SCD) (0,25 đ)
CD (SAD) (SCD) (SAD)
SA CD
AD CD
⊥
⇒
⊥
⇒
⊥
⊥
(0,25 đ) )
(SCD
AH SD
AH ⊥ ⇒ ⊥ (0,25 đ)
Trong mặt phẳng (SCD) từ H kẻ IH // AB
Từ I kẻ IJ // AH (IJ∈AB)
S
D A
H I
J
Trang 3=> IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SC (0,25 đ);
Ta có: IJ = AH (0,25 đ)
Trong tam giác vuông SAD:
2 2 2 2 2
2
2 1 1 1 1
1
a a a AD SA
=>
2 2
2 2
AH a
AH = ⇒ = (0,25 đ)
