1đ Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.. 1đ Chứng minh rằng hai mặt phẳng SAC và SBD vuông góc với nhau.. 1đ Gọi P là mặt phẳng chứa AD và vuông góc với mặt phẳng SBC.. X
Trang 1Kiểm tra học kỳ II Môn : Toán 11 – Nâng cao Thời gian : 90 phút
*****
Câu I : (2 điểm) Tính các giới hạn sau :
1 (1đ) 1 lim 1 4 2
x
L
x
→+∞
=
2sin sin 2 lim
x
L
x
→
−
=
Câu II : (2 điểm)
1 (1đ) Cho hàm số :
2
3
1 víi 1
1 víi 1
x
x
≠
(m là tham số)
Tìm m để hàm số f liên tục tại x = 1
2 (1đ) Cho phương trình : ( 2008) ( )2009 2
Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Câu III : (3 điểm)
1 (1đ) Cho hàm số f x ( ) = x x2 + 1 Chứng minh rằng : '( ) 0, f x > ∀ ∈ x ¡
2 (1đ) Cho hàm số ( ) 1 4
1 tan
f x
x
= + Tính ' f π 3
÷
.
3 (1đ) Cho hàm số 2 1
2
x y x
−
= + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1
5
y = − x
Câu IV : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a
Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO 3
2
a
1 (1đ) Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) Tính cos α
2 (1đ) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau.
3 (1đ) Gọi (P) là mặt phẳng chứa AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Xác định
thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) Tính diện tích của thiết diện
này theo a.
-HẾT -ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
1
1
L
0,25 0,25
Trang 22
1
1 lim
3
x
x x
→+∞
− + ÷
+
0,25 0,25
L
x
−
0,25
Vì
0
sin
x
x x
sin
2
x x
−
÷
0,50
3 2 3 1
lim ( 1)( 1) 6
x
f x
→
= + + + =
0,50
x f x f
→
đó nó liên tục trên đoạn [−2 ; 1− ]
0,25
2008
f − =m + > ∀ ∈m ¡ ; ( 1)f − = − <1 0 0,50
Suy ra ( 2) ( 1) 0,f − f − < ∀ ∈m ¡ nên tồn tại số c∈ −( 2 ; 1)− sao cho ( ) 0f c = , suy ra
phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
0,25
1
+
Vì 2x2+ > ∀ ∈1 0, x ¡ và x2 + > ∀ ∈1 0, x ¡ nên '( ) 0, f x > ∀ ∈x ¡ 0,25
'
'( )
f x
12 3 '
f = − ÷π
Trang 33 Gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho.( 0; 0)
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng ( ) :d y y− =0 f x'( )(0 x x− 0)
0
5 '
2
f x
x
= +
0,25
5
y= − x khi và chỉ khi : f x'( )0 =5
0 2
0 0
1 5
3 2
x x
x x
= −
0,25
với x0 = −1 thì y0 = −3 nên ta có phương trình tiếp tuyến là ( ) :d1 y=5x+2 0,25
với x0 = −3 thì y0 =7 nên ta có phương trình tiếp tuyến là ( ) :d2 y=5x+22 0,25
thẳng SC và mp(ABCD) bằng góc giữa đường thẳng SC và OC và bằng góc ·SCO
0,25
OC
a
Vậy
2
2 cos
5
2
a OC
Trang 4Mà BD⊂(SBD) nên suy ra (SBD) (SAC)⊥ 0,25
3 Gọi P, K lần lượt là trung điểm của AD và BC Dễ thấy tam giác SPK đều
Trong ∆SPK, vẽ đường cao PQ nên PQ⊥SK (3)
Từ (3), (4) suy ra PQ⊥(SBC), mà PQ ⊂(ADQ) nên (ADQ) (SBC)⊥
Vậy (P) chính là (ADQ)
0,25
AD //(SBC)⇒(ADQ) (SBC) MN // AD∩ = ( Q MN∈ , M SB∈ , N SC∈ )
Vậy, thiết diện là hình thang ADNM
0,25
3 PQ
2
a
a
0,25
ADNM
3
S
a a a
a
+
HẾT