Gọi A’, C’ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống SA, SC.. a Chứng minh: AC ⊥SD.. c Tính góc giữa SD và mp BA’C’; góc giữa SD và mp ABCD... Gọi A’, C’ lần lượt là chân đường vuôn
Trang 1KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2009-2010
Trường THPT Cao Thắng Môn Toán – Khối 11 – Ban cơ bản
Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian giao đề)
-Câu 1.(2,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
a) 22 3 1
2
3( 5 3)
lim
c)
2
2
x
x
lim
→−
+ + + d)
sin 3 3
x 0
x x
lim
→
Câu 2.(1,5 điểm) Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = x2 + x + 3 b) y = sin3( 2 x + 3 ) c)
3 2
1
2
−
+
=
x
x y
Câu 3.(1,0 điểm) Cho hàm số
2 4 5
1
x
= = −
Tìm m để hàm số liên tục trên R
Câu 4.(2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x3 − 6 x2 + 4 x − 4 có đồ thị là (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến (d ) với đồ thị (C) của hàm số biết rằng tiếp tuyến (d )
song song với đường thẳng :∆ y= − +5x 3.
b) Chứng minh phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm
Câu 5.(3,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,
SB⊥mp ABCD ,SB = a 2 Gọi A’, C’ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống SA, SC.
a) Chứng minh: AC ⊥SD
b) Chứng minh: SD ⊥ ( BA’C’).
c) Tính góc giữa SD và mp (BA’C’); góc giữa SD và mp (ABCD).
-Hết -nếu nếu
Trang 2ĐÁP ÁN BÀI THI MÔN TOÁN LỚP 11
1 2 điểm Tính các giới hạn sau:
a
0,5
điểm
2
2
3 1 lim
5 2
− + + −
2
2
2
2
3 1
5 2
n
n n n
n n
− +
+ −
0.25 0,25
b
0,5
điểm
2 3
lim( 5 3) 9 15 3 3
0,25
c
0,5
điểm
2
5 6 ( 2)( 3) 1
0,25 0,25
d
0,5
điểm
lim lim
3
x x
0,25
2 1,5 điểm Tính đạo hàm các hàm số sau:
a
0,5
điểm
a) y = x2 + x + 3
'
y
0,25 0,25
b
0,5
điểm
) x ( sin
y = 3 2 + 3
2 ' 3sin (2 3)(sin(2 3))'
2 ' 6sin (2 3) os(2 3)
0,25 0,25
c
0,5
điểm
3 2
1
2
−
+
=
x
x y
'
y
0,25 0,25
3 1,0 điểm
Trang 3Cho hàm số
2 4 5
1
x
= = −
• Xét x∈(-∞;1)∪(1;+∞),
2 4 5 ( )
1
f x
x
+ −
=
− nên f(x) liên tục trên (-∞;1) và (1;+∞)
• Xét tại x0 =1, ta có +
2
1
x
+ −
−
+ f(1)= +m 2
• Hàm số liên tục tại x0 =1 lim ( )1 (1) 2 6 4
→
• Vậy: với m=4 hàm số liên tục trên R ; m≠4hàm số không liên tục trên
R , khi đó nó liên tục trên hai khoảng (−∞;1)và (1;+∞)và bị gián đoạn tại
x0 =1.
0,25
0,25
0,25
0,25
4 2,0 điểm
Cho hàm số y = f ( x ) = x3 − 6 x2 + 4 x − 4 có đồ thị là (C)
a
1điểm
Viết phương trình tiếp tuyến (d ) với đồ thị (C) của hàm số biết (d ) song song với
đường thẳng :∆ y= − +5x 3.
• Vì (d) // ∆ nên (d) có hệ số góc k = −5
• Xét phương trình : f x'( )= ⇔k 3x2 −12x+ = − ⇔4 5 3x2 −12x+ =9 0
1 3
x x
=
⇔ =
• Với x= ⇒ = −1 y 5 ; x= ⇒ = −3 y 19
• Có 2 tiếp tuyến cần tìm là : ( ) :d1 y= −5x và ( ) :d2 y= − −5x 4
0,25
0,25
0,25 0,25
b
1điểm
Chứng minh phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm
• Hàm số f x( )= x3−6x2 +4x−4 là hàm đa thức nên liên tục trên R nên
liên tục trên đoạn [ 5; 6]
• Ta có: (5) (6) ( 9).20f f = − = −180 0<
• Do đó tồn tại số x0∈[ 5; 6] sao cho f x( ) 00 =
• Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm
0,25
0,25 0,25
0,25 nếu
nếu
Trang 45 3,5 điểm Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SB⊥mp ABCD( ),
2
a
SB = Gọi A’, C’ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống SA, SC.
a
1,5
điểm
• Hình vẽ
Chứng minh: AC ⊥SD
• AC ⊥ BD
• AC ⊥ SB
• AC⊥ (SBD)
• AC ⊥ SD
( có giải thích rõ ràngmới cho điểm).
0,5
0,25
0,25 0,25
0,25
b
1 điểm
Chứng minh: SD ⊥ ( BA’C’).
• AD ⊥ AB
AD ⊥ SB
• AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ BA'
• Có BA' ⊥ AS, BA' ⊥ AD ⇒ BA' ⊥ (SAD) ⇒ BA' ⊥ SD (1)
CD ⊥ BC, CD ⊥ SB ⇒ CD ⊥ (SBC) ⇒ CD ⊥ BC'
Có BC' ⊥ SC, BC' ⊥ CD ⇒ BC' ⊥ (SCD) ⇒ BC' ⊥ SD (2)
• Từ (1) và (2) suy ra SD ⊥ (BA'C')
0,25
0,25
0,25
0,25
c
1 điểm
Tính góc giữa SD và mp (BA’C’); góc giữa SD và mp (ABCD).
• Vì SD ⊥ (BA'C') nên góc giữa SD và (BA'C') là 900
• Do SB⊥mp ABCD( )nên góc giữa SD và mp (ABCD) là góc BDS∠ .
• Tam giác SBD vuông tại B có SB = BD = a 2 ⇒ ∆SBD vuông cân tại B nên góc ∠BDS=450
• Vậy: góc giữa SD và mp(ABCD) bằng 450.
0,25
0,25
0,25
0,25
A
B
C
D
S
A'
C'