KIỂM TRA HỌC KÌ III.. Tìm a để hàm số fx liên tục trên tập xác định của nó.. a Chứng minh rằng: CB vuông góc với mặt phẳng SAB.. b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC.. PHẦN RIÊ
Trang 1KIỂM TRA HỌC KÌ II
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1(0,75 đ) Tính giới hạn : lim2 4 22
1
+ + + +
n
Câu 2(0,75 đ) Tính giới hạn :
2 2
5 3 lim
2
→
x
x x
Câu 3(1,5 đ) Cho hàm số
2 7 6
, khi x 1
2 1, khi x 1
+
x a
(a là tham số).
Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên tập xác định của nó.
Câu 4(1,5 đ) Cho hàm số y x= +1
x , có đồ thị là (C).
a) Chứng minh rằng: xy" 2 ' 2 0 + y − =
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng 3
4
y= x.
Câu 5(2,5 đ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), SA = AB = a
a) Chứng minh rằng: CB vuông góc với mặt phẳng (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,0 đ) Tính đạo hàm của hàm số
2 2
+
= +
x x y
x
Câu 7a (1,0 đ) Chứng minh rằng phương trình : x5 − 10x3 + 100 0 = có ít nhất một nghiệm âm.
Câu 8a (1,0 đ) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Xác định đường vuông góc chung
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng C’D’ và CB’
(Vẽ hình: 0,25 đ).
2 Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (1,0 đ) Tính đạo hàm của hàm số y= sinx+ sin 2x+ 1
Câu 7b (1,0 đ) Cho a, b, c là các số khác 0.Chứng minh rằng phương trình :
0
x a x b x c
có ít nhất một nghiệm.
Câu 8b (1,0 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông tâm O, AB = a, SO vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SO = 2
3
a
Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và SC
(Vẽ hình: 0,25 đ).
Trang 2ĐÁP ÁN
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
1
(0,75 đ)
2
2 4 2 lim
1
+ + + +
n n
= 2
( 1) lim
1
n n n
+
=
2
1 1 lim
1 1
n n
+
2
(0,75 đ)
2 2
5 3 lim
2
→
x
x x
=
2 2 2
4 lim
→
x
x
= lim2 2 2
5 3
→
+ +
x
x
= 2
3
(1,5 đ)
2 7 6
, khi x 1
2 1, khi x 1
+
x a
TXĐ: D = R Khi x ≠ -1 thì f(x)= 2 7 6
1
+
x liên tục trên R\{-1} 0,25 Hàm sô liên tục trên R khi hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -1,
tức là lim ( ) 1 ( 1)
2 1
lim
1
→−
+
x
1
lim( 6)
→− +
x
a
(0,75 đ)
y’ = 1 - 2
1
y" = 3
2
xy" + 2y’ – 2 = 2
2
x + 2(1 - 2
1
b
(0,75 đ)
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3/4 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = 3/4
0,25
Trang 3⇔ x = ±2 Khi x = 2 thì tung độ tiếp điểm là y = 5/2 ta được tiếp tuyến: y =
Khi x = -2 thì tung độ tiếp điểm là y = -5/2 ta được tiếp tuyến: y
5
S
A
C
B
H
0,5
a
(1,0 đ)
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SA vuông góc với CB 0,25 Tam giác ABC vuông tại B nên ta có AB vuông góc với CB 0,25 Vậy CB vuông góc với mặt phẳng (SAB) 0,5
b
(1,0 đ)
Dựng AH vuông góc với SB thì H là trung điểm của SB 0,25
Ta lại có CB vuông góc với mp(SAB) nên AH vuông góc với
Suy ra AH ⊥ mặt phẳng(SBC) nên khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SBC) là AH = 2
2
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
6a
(1,0 đ)
2 2
+
= +
x x y
x
y' =
2 2
(2 )
+
y' =
2 2
(2 )
+
Trang 4(1,0 đ)
Đặt f(x) = x5 − 10x3 + 100
Hàm số f(x) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [-4; -3] 0,25
Và ta có f(-4).f(-3) = -36068 < 0 0,5 Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm âm 0,25
8a
(1,0 đ)
B'
O
A'
B
D
C A
0,25
Ta có: C’D’ ⊥ (CBB’C’) ⇒ C’D’ ⊥ OC’ 0,25
Tứ giác CBB’C’ là một hình vuông nên CB’ ⊥ OC’ 0,25 OC’ là đường vuông góc chung cần tìm và OC’ = 2
2
a là khoảng cách giữa hai đường thẳng C’D’ và CB’
0,25
2 Theo chương nâng cao
6b
(1,0 đ)
2
2 2
(sin ) ' ' cos
2 sin 1
+
x
x
0,5
2
sinx.cos ' cos
+
x
x
0,5
7b
x a x b x c (1)
( )
f x =a x b x c− − +b x c x a− − +c x a x b− − liên tục trên
R
0,25
Trang 5( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2( ) (2 ) (2 )2
f a f b f c f = − a b c a b− b c− c a− < 0,25
( ) ( ) 0 hoÆc ( ) ( )0 0
f a f b < f c f < Do đó phương trình f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm
0,25
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm 0,25
8b
(1,0 đ)
N I
O A
J
B
S
0,25
Gọi I và J là trung điểm của AB và CD thì O là trung điểm của
IJ và CD⊥ (SIJ)
Dựng IH vuông góc với SJ thì IH vuông góc với mặt phẳng
(SCD) và IH vuông góc với SC
0,25
Qua H dựng đường thẳng song song với CD cắt SC tại M
Qua M dựng đường thẳng song song với IH cắt AB tại N
Ta có MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và
SC
0,25
Vậy khoảng cách là: 4 .
5
a