b Chứng minh trên đồ thị C không có hai điểm nào mà tiếp tuyến với đồ thị C tại hai điểm đó vuông góc với nhau.. Chứng minh hàm số này liên tục tại x= 0 nhưng không có đạo hàm tại x= 0..
Trang 1ĐỀ THI HỌC KÌ II MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 90’
… …
ĐỀ BÀI
Bài 1: 1,5 điểm
Tính các giới hạn sau:
a) lim
1
) 5 7 (
13 8 3 2
2
2 + + +
− +
−
−
−
−
n n n n
n
b)
5 3 3
1 4 3 lim
2
+ +
−
x x
x
0
2 cos 2
cos
lim
x
x x
x
−
→
Bài 2: 2 điểm
a) Tính đạo hàm của hàm số sau: cos3
2
3
b) Cho hàm số y=
x
x x
x
cot 1
sin tan
1
+
+
1 ) 4 ( ' )
4 − π =
Bài 3: 1,5 điểm
Cho hàm số y= 2x3 + x2 + x + 1, có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 5x – 6y – 5 = 0
b) Chứng minh trên đồ thị (C) không có hai điểm nào mà tiếp tuyến với đồ thị (C) tại hai điểm đó vuông góc với nhau
Bài 4: 1 điểm
Cho hàm số y= f(x)=
1 2
/ /
+
x
x
Chứng minh hàm số này liên tục tại x= 0 nhưng không có đạo hàm tại x= 0
Bài 5: 2 điểm
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC= AD= 5, AB= 12, BC= 13
a) Vẽ đoạn vuông góc chung của AD và BC Tính d(AD; BC)
b) Tính d(A; (BCD)
Bài 6: 2 điểm
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Lấy điểm M trên cạnh DC và điểm
N trên cạnh BB’ sao cho DM= BN= x, 0 < x < a
a) Chứng minh CD’ vuông góc với AC’ và mặt phẳng (A’BD) vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’)
b) Chứng minh AC’ vuông góc với MN
… Hết…
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài 1:
2
5 3 3 )(
1 3 ( lim 5 3 3
1 4 3
lim
1
2
+
− +
+ +
−
→
−
→
x x
x x
x
x x
x
4
4 2 sin ) 2 cos 1 ( 2
cos
2 2
x x
x
) 1 (
2
) 5 7 2 ( lim
2
+ + +
− +
n n n n
n n
Bài 2:
a) y’ = 2sin
2
3x
.(sin
2
3x
)’.cos3x - 3sin3x
2
3 sin 2 x
0,5đ
=
4
3
sin6x – 3
2
3 sin 2 x
b) y= 1 -
2
1
y(
4
π
)=
2
1
, y’(
4
π
Bài 3:
a) y’(x0)=
6
1 6
5 1 2 6 6
5
0 0
2
0 + + = ⇔ = −
y(x0)= ⇒
27
23
phương trình tiếp tuyến: y=
108
107 6
5
+
b) y’= 6x2 + 2x + 1> 0, y’(x1).y’(x2)= -1: vô lý 0,5đ
Bài 4:
a) lim→0+ y= lim→0−y = y(0) =0
x
) 1 2 ( lim ) 0 ( ) ( lim , 1 ) 1 2 ( lim ) 0 ( ) (
lim
0 0
0
+
−
=
−
= +
=
−
−
− +
x x
f x f x
x
x x
f x
f
x x
x
Bài 5:
a) Tam giác ABC vuông tại A
Vẽ AH⊥BC, AH là đoạn vuông góc chung
0,5đ
13
60 1
1
1
2 2
2 = + ⇔ AH =
AC AB
b) Vẽ AK⊥SH ⇒ AK ⊥(SBC), 0,5đ
313
60 1
1
1
2 2
2 = + ⇔ AK =
SA AH
Trang 3
A
B
C
H K
Baìi 6:
P C' B'
D'
D
B
A
C
A'
M
N
a) CD’⊥C’D, CD’⊥AD nãn CD’⊥AC’ 0,5â
BD⊥AC, BD⊥CC’, suy ra BD⊥(ACC’A’) 0,5â b) Veỵ MP//CD’ ta cọ: AC’⊥MP, 0,5â
BD//NP, BD⊥AC’, suy ra AC’⊥NP
Do âọ, AC’⊥(MNP) Hay AC’⊥MN
0,5â