phương trình mặt cầu

Hệ trục tọa độ trong không gian Phươngưtrìnhưmặtưcầu... Trongư khôngư gianư tọaư độư Oxyzư choư mặtưcầuưSưcóưtâmưIx0;ưy0;ưz0ưvàưbánưkínhưR Hay IM2 = R2 nghĩaưlàưưưưx-x02ư+ưy-y02ư+ưz-z02ư

Hệ trục tọa độ

trong không gian

(Phươngưtrìnhưmặtưcầu)

Trongư khôngư gianư tọaư độư Oxyzư choư mặtư

cầuư(S)ưcóưtâmưI(x0;ưy0;ưz0)ưvàưbánưkínhưR

Hay IM2 = R2 nghĩaưlàưưưư(x-x0)2ư+ư(y-y0)2ư+ư(z-z0)2ư=ưR2ư

6) Ph ơng trình mặt cầu

I

M

R

ưvàưđiểmưM(x;ưy;z)

Phươngưtrìnhư(x-x0)2ư+ư(y-y0)2ư+ư(z-z0)2ư=ưR2ưđượcư

gọiưlàưphươngưtrìnhưmặtưcầuưS(I;R)

ưĐiểmưM(x;ưy;z)ưthuộcư(S)ưkhiưvàưchỉưkhiưIMư=ưR

HãyưxácưđịnhưưưưưưvàIMuuur uuurIM

a) Định nghĩa:

(x-x 0 ) 2 + (y-y 0 ) 2 + (z-z 0 ) 2 = R 2

Bài tập 1:ưChoưA1ư(a1;ưb1;ưc1ư)ưvàưA1 (a1; b1; c1 ) ư

Hãyưviếtưphươngưtrìnhưmặtưcầuư(S)ưcóưđườngưkínhưA1A2ưtheoưhaiư cáchưsau:ư

1) Biếtưtâmưvàưbánưkínhưcủaưmặtưcầu.

2) Nhậnưxétưrằngưđiểm M ∈ ( )S ⇔ uuuur uuuuurA M A M1 2 = 0

I

A 1

M

A2

Bài tập 2:ưhãyưviếtưphươngưtrìnhưmặtư

cầuưSưđiưquaư4ưđiểmưA(0;ư0;ư0)ư,ư

B(1;ư0;ư0),ưC(0;ư1;ư0)ưvàưD(0;ư0;ư1)

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by –2cz + d = 0

* Nhaọn xeựt:

KhiưđóưtâmưmặtưcầuưlàưđiểmưI(-a;ư-b;ư-c)ưvàưbànưkínhư

mặtưcầuưlàưRư=ưư

⇔ (x – a)2 + (y – b )2 + (z – c)2 - (a 2 + b 2 + c 2 )+ d = 0

⇔ (x – a)2 + (y – b )2 + (z – c)2 = (a 2 + b 2 + c 2 )- d

Vậy: ph ơng trình x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by –2cz + d = 0

laứ phửụng trỡnh maởt caàu khi và chỉ khi a 2 + b 2 + c 2 – d > 0

Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là:

x2 + y2 + z2 = R2

* Chĩ ý:

x

y z

R

I

a

b

c

Mặt cầu có tâm I(a ; b ; c)

và tiếp xúc với mp (Oxy) t¹i

®iĨm K th×

H

K

K( a ; b ; 0 )

 IK = OH = c

* Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (Oxy) (hoặc (Oxz) ; (Oyz)) có phương trình :

(x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = c 2 ( hoặc b 2 ; a 2 )

x

y z

a

b c

Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với trục Oz

I

R H

K

T¹i­®iĨm H( 0 ; 0 ; c )

Th×

R = IH = OK = a2 + b2

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường

hợp sau:

Bán kính R =

(x + 1)2 + (y – ) 1 2 + (z – 4)2 = 17

2

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

a +c = 1+16 = 17

a) (S) có tâm I( –1 ; ; 4) và tiếp xúc với trục Oy1

2

Gi¶i:

b) (S) có đường kính AB với A(3 ; 2 ; – 4) ;

B(– 3 ; 0 ; –2)

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các

trường hợp sau:

Tâm I của (S) là trung điểm của AB ⇒ I (0 ; 1; –3)

Vậy phương trình mặt cầu (S):

A

B

2

Bán kính R =

36 4 4

11 2

+ +

Gi¶i:

Bài tập 1:

Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình mặt

cầu? Nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính: 1) x 2 + y 2 +z 2 - 2x - 6y - 8z + 1 = 0

2) x 2 + y 2 +z 2 + 10x + 4y + 2z + 30 = 0

3) x 2 + y 2 +z 2 - y = 0

4) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2x- 3y+5z - 2 = 0

5) x 2 + y 2 +z 2 - 3x + 4y - 8z + 25 = 0

Tâm I(1;3;4) và R=5

Tâm

1; ;0 ;

1 3 5 3 6

; ; ;

2 4 4 4

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) biết:

1) Tâm O(0; 0 ; 0) và tiếp xác với mặt cầu (S’) có tâm I(3; -2; 4) và bán kính bằng 1

2) Tâm I(3;-2; 4) và đi qua điểm A(7; 2; 1)

3) Tâm I(2; -1; 3) và tiếp xúc với mp (Oxy)

Bài tập về nhà

Bài tập trong sách Bài tập Hình 12:

Bài 31, 32, 33, 34 trang 121

Bài 13; 14 trang 82